礦大高數(shù)82偏導(dǎo)數(shù)

1、1一、偏導(dǎo)數(shù)的定義及其計算法:一元函數(shù)一元函數(shù))(xfy :點導(dǎo)數(shù)點導(dǎo)數(shù)在在0 xxxfxxfxfx)()(lim)(0000?),(:怎樣定義偏導(dǎo)數(shù)怎樣定義偏導(dǎo)數(shù)對對問題問題yxfz 第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)2定義300yyxxxz ，00yyxxxf ，00yyxxxz 或或),(00yxfx.xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000即即4處的兩個偏導(dǎo)數(shù)在求例) 1 , 1 (),(12yxyxf:解解xfxffxx),(),(lim),(1111110 xxx11120)(lim)(limxx202yfyffyy),(),(lim),(1111110yyy111

2、0)(lim15同同理理),(yxfz 對對自自變變量量y的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)，記記作作yz ，yf ，yz或或),(yxfy. xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0即即yyxfyyxfyxfyy),(),(lim),(0即即:說明說明6:由此知由此知0000yyxxxxyxfyxf),(),(0000yyxxyyyxfyxf),(),(yxyxf2),(如上例如上例xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0 xy21111yxxxyxff),(),(112yxyx270) ),(),()2(000 xxxyxfdxdyxf 0000yyyyxfdydyxf) ),(

3、),(8(3)(3)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上函數(shù)如如 在在 處處 ),(zyxfu ),(zyx,),(),(lim),(0 xzyxfzyxxfzyxfxx ,),(),(lim),(0yzyxfzyyxfzyxfyy .),(),(lim),(0zzyxfzzyxfzyxfzz 9:偏導(dǎo)數(shù)的求法偏導(dǎo)數(shù)的求法.,導(dǎo)導(dǎo)法法則則及及公公式式求求偏偏導(dǎo)導(dǎo)用用一一元元函函數(shù)數(shù)求求數(shù)數(shù)就就將將其其它它自自變變量量看看作作常常量量的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)求求多多元元函函數(shù)數(shù)對對哪哪個個自自變變10例例 2 2 求求 223yxyxz 在點在點)2 , 1(處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏

4、導(dǎo)數(shù) 解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 11例例 3 3 設(shè)設(shè)yxz )1, 0( xx， 求求證證 zyzxxzyx2ln1 . 證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z 原結(jié)論成立原結(jié)論成立12例例 4 4 設(shè)設(shè)22arcsinyxxz ，求求xz ，yz . 解解 xz xyxxyxx2222211322222)(|yxyyyx .|22yxy |)|(2yy 13 yz yyxxyxx222221132222)()(|yxxyyyx 例例 4 4 設(shè)設(shè)22ar

5、csinyxxz ，求求xz ，yz . 14例例 5 5 已知理想氣體的狀態(tài)方程已知理想氣體的狀態(tài)方程rtpv （r為常數(shù)） ，求證：為常數(shù)） ，求證：1 pttvvp. 證證 vrtp;2vrtvp prtv;prtv rpvt;rvpt pttvvp2vrt pr rv . 1 pvrt 15偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)xu 是一個整體記號，不能拆分是一個整體記號，不能拆分;).0, 0(),0, 0(,),(,yxffxyyxfz求求設(shè)設(shè)例例如如 有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點說明：、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用求分界點、不連續(xù)點處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；定義求；解解0| 00|0(0,0)

6、limxxxfx （）0 ).0 , 0(yf 16、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系、偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系例如例如,函數(shù)函數(shù) 0, 00,),(222222yxyxyxxyyxf,依定義知在依定義知在)0 , 0(處，處，0)0 , 0()0 , 0( yxff.但函數(shù)在該點處并不連續(xù)但函數(shù)在該點處并不連續(xù). 偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù).一元函數(shù)中在某點可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，17?:連續(xù)是否偏導(dǎo)數(shù)存在連續(xù)是否偏導(dǎo)數(shù)存在問題問題.),(連連續(xù)續(xù)但但偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在點點在在如如00yxz,連連續(xù)續(xù)不不一一定定偏

7、偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在也也不不一一定定連連184、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義、偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義,),(),(,(00000上一點上一點為曲面為曲面設(shè)設(shè)yxfzyxfyxm 如圖如圖19 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(00yxfx就就是是曲曲面面被被平平面面0yy 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0m處處的的切切線線xtm0對對 x軸軸的的斜斜率率. 偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)),(00yxfy就就是是曲曲面面被被平平面面0 xx 所所截截得得的的曲曲線線在在點點0m處處的的切切線線ytm0對對 y 軸軸的的斜斜率率. 幾何意義幾何意義: :20),(22yxfxzxzxxx ),(22yxfyzyzyyy )

8、,(2yxfyxzxzyxy ),(2yxfxyzyzxyx 函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為純偏導(dǎo)純偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)混合偏導(dǎo)定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階定義：二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù).二、高階偏導(dǎo)數(shù)21例例 5 設(shè)設(shè)13323 xyxyyxz， 求求22xz 、xyz 2、yxz 2、22yz 及33xz . 解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx22例例 6 6 設(shè)設(shè)byeuaxcos ，求

9、求二二階階偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù).解解,cosbyaexuax ;sinbybeyuax ,cos222byeaxuax ,cos222byebyuax ,sin2byabeyxuax .sin2byabexyuax 23定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz 的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)的兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)xyz 2及及yxz 2在區(qū)域在區(qū)域 d d 內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這內(nèi)連續(xù)，那末在該區(qū)域內(nèi)這兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等兩個二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等問題：問題：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎？具備怎樣的條件才相等？相等？例例 6 6 驗證函數(shù)驗證函數(shù)22ln),(yxyxu 滿足拉普拉滿足拉普拉斯方程斯方程. 02222 yuxu24解解),ln(21ln2222yxyx ,22yxxxu ,22yxyyu