4二階常系數(shù)齊次線性微分方程

1、第八節(jié)第八節(jié) 二階常系數(shù)齊次線性微分方程二階常系數(shù)齊次線性微分方程一、定義一、定義二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法三、小結(jié)一、定義一、定義0 qyypy二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式二階常系數(shù)齊次線性方程的標(biāo)準(zhǔn)形式定理定理 設(shè)設(shè)y=y1(x)及及y=y2(x)是上述方程的兩個解，那么，對于任何是上述方程的兩個解，那么，對于任何常數(shù)常數(shù)c1、 c2，y= c1 y1(x)+ c2y2(x)仍然是上述方程的解。仍然是上述方程的解。由此定理可知，只要找到方程的兩個解由此定理可知，只要找到方程的兩個解y1(x)及及y2(x)，且，且y1/y2常數(shù)，常數(shù)，那么那么 y= c

2、1 y1(x)+ c2y2(x)就是含有兩個任意常數(shù)的解，即方程的通解。就是含有兩個任意常數(shù)的解，即方程的通解。二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法二、二階常系數(shù)齊次線性方程解法-特征方程法特征方程法,rxey 設(shè)設(shè)將其代入上方程將其代入上方程, 得得0)(2 rxeqprr, 0 rxe故有故有02 qprr特征方程特征方程,2422,1qppr 特征根特征根0 qyypy 有兩個不相等的實根有兩個不相等的實根,2421qppr ,2422qppr ,11xrey ,22xrey 兩個線性無關(guān)的特解兩個線性無關(guān)的特解得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;2121xrxrececy )0( 特征根為

3、特征根為 有兩個相等的實根有兩個相等的實根,11xrey ,221prr )0( 一特解為一特解為得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為;)(121xrexccy 代入原方程并化簡，代入原方程并化簡，將將222yyy , 0)()2(1211 uqprrupru, 0 u知知,)(xxu 取取,12xrxey 則則,)(),(/xr2121221exuyxuyyyyy 即即常常數(shù)數(shù)，故故可可設(shè)設(shè)，且且設(shè)設(shè)另另一一特特解解為為特征根為特征根為解得解得u=c1+c2x,由于我們只要得到一個不為常數(shù)的解，由于我們只要得到一個不為常數(shù)的解，故可故可 有一對共軛復(fù)根有一對共軛復(fù)根,1 ir ,2ir ,)

4、(1x iey ,)(2x iey )0( 重新組合重新組合)(21211yyy ,cos xex )(21212yyiy ,sin xex 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為).sincos(21xcxceyx 特征根為特征根為定義定義由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其由常系數(shù)齊次線性方程的特征方程的根確定其通解的方法稱為特征方程法通解的方法稱為特征方程法. .032的通解的通解求微分方程求微分方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0322 rr解得解得, 3, 121 rr故所求通解為故所求通解為.321xxececy 例例1 1例例2求方程求方程0222 sdtdsdtsd滿足初

5、始條件滿足初始條件2400 ttss、的特解。的特解。解解所給方程的特征方程為所給方程的特征方程為0122 rr其根為其根為, 121 rr所求方程的通解為所求方程的通解為tetccs )(21將條件將條件2400 ttss、帶入上式帶入上式2, 421 cc所求方程的特解為所求方程的特解為tets )24(.052的通解的通解求方程求方程 yyy解解特征方程為特征方程為,0522 rr解得解得,2121ir ，故所求通解為故所求通解為).2sin2cos(21xcxceyx 例例3 3四、小結(jié)四、小結(jié)二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟二階常系數(shù)齊次微分方程求通解的一般步驟:（1）寫出相應(yīng)的特征方程）寫出相應(yīng)的特征方程;（2）求出特征根）求出特征根;（3）根據(jù)特征根的不同情況）根據(jù)特征根的不同情況,得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解. (見下表見下表)02 qprr0 qyypy 特征根的情況特征根的情況 通解