ch31微分中值定理

1、 3 31 1 微分中值定理微分中值定理 3 32 2 函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性函數(shù)單調(diào)性與曲線的凹凸性3 33 3 函數(shù)的極值與最值函數(shù)的極值與最值 3 34 4 函數(shù)圖形的描繪函數(shù)圖形的描繪3 35 5 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則3 36 6 泰勒（泰勒（taylor)taylor)公式公式第一節(jié)第一節(jié) 微分中值定理微分中值定理0 洛爾定理洛爾定理0 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理0 柯西中值定理柯西中值定理; 0)()(, cxcfxfcx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)費(fèi)馬定理費(fèi)馬定理 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) f (x)在在a , b上有定義，并且在點(diǎn)上有定義，并且在點(diǎn)c (a , b)取到最值，取到最值， f (x)

2、在點(diǎn)在點(diǎn)c可導(dǎo)，則可導(dǎo)，則 f (c)=0。; 0)()(lim)( cxcfxfcfcx由由極極限限的的保保號號性性 證明：不失一般性。設(shè)證明：不失一般性。設(shè) f (x)在點(diǎn)在點(diǎn) x = c = c 取到最大值，取到最大值，則則 f (x) f(c)(c)，x (a,b)(a,b)。; 0)()(, cxcfxfcx有有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng); 0)()(lim)( cxcfxfcfcx從而從而 f (c)=0。一、羅爾一、羅爾(rolle)定理定理羅爾羅爾（r rolleolle）定理）定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間 ,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且

3、在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)且在區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值相等，即值相等，即)()(bfaf , ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba , ,使得函數(shù)使得函數(shù))(xf在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零， 即即0)( f)1()2()3(例如例如,32)(2 xxxf).1)(3( xx,3 , 1上連續(xù)上連續(xù)在在 ,)3 , 1(上可導(dǎo)上可導(dǎo)在在 , 0)3()1( ff且且,)3 , 1(1(, 1 取取. 0)( f),1(2)( xxf幾何解釋幾何解釋: :ab1 2 xyo)(xfy .,水平的水平的在該點(diǎn)處的切線是在該點(diǎn)處的切線是點(diǎn)點(diǎn)上至少有一上至少有一在曲線弧在曲線弧cabc證證

4、.)1(mm 若若,)(連續(xù)連續(xù)在在baxf.mm 和最小值和最小值必有最大值必有最大值.)(mxf 則則. 0)( xf由此得由此得),(ba . 0)( f都有都有.)2(mm 若若),()(bfaf .取取得得最最值值不不可可能能同同時(shí)時(shí)在在端端點(diǎn)點(diǎn)),(afm 設(shè)設(shè).)(),(mfba 使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)則則在在. 0)(: f由由費(fèi)費(fèi)馬馬定定理理知知羅爾定理的三個(gè)條件，缺一不可羅爾定理的三個(gè)條件，缺一不可.),)0(f)(2(不存在不存在不滿足條件不滿足條件 ,)2 , 2(內(nèi)內(nèi)找找不不到到一一點(diǎn)點(diǎn)在在 例如例如,2 , 2, xxy.2 , 2,132 xxy及及.

5、0)0(,1 , 0(,1 fxxy又例又例,注注: :. 0) x(f 使使羅爾定理結(jié)論均不成立羅爾定理結(jié)論均不成立.1 , 0 x, xy 不滿足條件不滿足條件(3), 不滿足條件不滿足條件(1);. 0)0(,1 , 0(,1 fxxy.1 , 0 x, xy 不滿足條件不滿足條件(3), 不滿足條件不滿足條件(1);. 0)0(,1 , 0(,1 fxxy例例1驗(yàn)證洛爾定理對函數(shù)驗(yàn)證洛爾定理對函數(shù) f (x)=sinx在在0, 上的正確性。上的正確性。解：解： f (x)在在0, 上連續(xù)，在上連續(xù)，在(0, )上可導(dǎo)，上可導(dǎo)， 且且 f(0) = f( ) 由洛爾定理知：由洛爾定理知：

6、 在在(0, )內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn) ，使，使 f ( )=0， 即即: cos =0, 故故 = /2。例例2 2.10155的的正正實(shí)實(shí)根根有有且且僅僅有有一一個(gè)個(gè)小小于于證證明明方方程程 xx證證, 15)(5 xxxf設(shè)設(shè), 1 , 0)(連續(xù)連續(xù)在在則則xf. 3)1(, 1)0( ff且且由零點(diǎn)定理由零點(diǎn)定理. 0)(),1 , 0(00 xfx使使即為方程的小于即為方程的小于1的正實(shí)根的正實(shí)根.,),1 , 0(011xxx 設(shè)另有設(shè)另有. 0)(1 xf使使,)(10件件之間滿足羅爾定理的條之間滿足羅爾定理的條在在xxxf使得使得之間之間在在至少存在一個(gè)至少存在一個(gè)),(1

7、0 xx . 0)( f)1(5)(4 xxf但但)1 , 0( , 0 x矛盾矛盾,.只只有有唯唯一一實(shí)實(shí)根根至至少少有有一一個(gè)個(gè)根根。內(nèi)內(nèi)，在在求求證證例例)10(0234323 cbacxbxaxcbacxbxaxxf 234)(23分析：分析：),()0(cbaf cbacbacbaf 23234)1(cbacxbxaxxf 234)(23設(shè)設(shè)證證明明：xcbacxbxaxxf)()(234 , 0)1()0(10)(,1 , 0)( ffxfcxf）內(nèi)可導(dǎo)，）內(nèi)可導(dǎo)，在（在（, 0)(),10( froll使使，定理，定理，據(jù)據(jù). 0234:23 cbacba即即有有幾幾個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根

8、。判判斷斷設(shè)設(shè)例例0)()3)(2)(1()(4 xfxxxxxf0)3()2()1()0( ffff證證; 0)()10(10)(11 frxf使使，定定理理的的條條件件，則則上上滿滿足足，在在; 0)()21(21 )(22 frxf使使，定定理理?xiàng)l條件件，則則上上滿滿足足，在在, 0)()32(32)(33 frxf使使，定理?xiàng)l件，則定理?xiàng)l件，則上滿足上滿足，在在個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根。至至少少有有即即30)( xf有有三三個(gè)個(gè)零零點(diǎn)點(diǎn)。多多是是三三次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式，所所以以至至又又)(xf 個(gè)實(shí)根。個(gè)實(shí)根。有有30)( xf二、拉格朗日二、拉格朗日(lagrange)中值定理中值定理拉格朗日拉格

9、朗日（lagrangelagrange）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù) f(x)在在閉區(qū)間閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,那末在那末在),(ba內(nèi)至少有一點(diǎn)內(nèi)至少有一點(diǎn))(ba ，使等式，使等式 )()()(abfafbf 成立成立. .)1()2().()(:bfaf 去掉了去掉了與羅爾定理相比條件中與羅爾定理相比條件中注意注意).()()( fabafbf結(jié)論亦可寫成結(jié)論亦可寫成作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)).()()()()()(axabafbfafxfxf ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件xf. 0)(,),( fba使得使得內(nèi)至少存在

10、一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在0)()()( abafbff即即).)()()(abfafbf 或或拉格朗日中值公式拉格朗日中值公式證法二證法二)()()()(abxfxafbfxf 設(shè)設(shè)證證f(x)在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a,b 上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間( (a,b) )內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), , )()()()()()(abfbafabbfbafbfbf )()()()()()(abfbafabafaafbfaf ),()(bfaf 有有 由由r-定理知定理知:, 0)(),( fba使使).)()()(abfafbf 即即注意注意: :拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的拉氏公式精確地表達(dá)了函

11、數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.,),()(內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo)在在在在設(shè)設(shè)baxf).10()()()(000 xxxfxfxxf則有則有),(,00baxxx ).10()(0 xxxfy也可寫成也可寫成.的精確表達(dá)式的精確表達(dá)式增量增量 y 拉格朗日中值定理又稱拉格朗日中值定理又稱有限增量定理有限增量定理.微分中值定理微分中值定理拉格朗日中值公式的拉格朗日中值公式的有限增量公式有限增量公式形式：形式：證明：設(shè)證明：設(shè)x1,x2是是(a, b)內(nèi)任意兩點(diǎn)，由內(nèi)任意兩點(diǎn)，由拉格朗日拉格朗日定理有定理有0)()()(1212 xxf

12、xfxf( 在在x1,x2之間之間) )()(12xfxf 由由x1, x2的任意性知的任意性知: f (x)=常數(shù)常數(shù), x(a, b) . 定理得證定理得證設(shè)設(shè) 如果對任意的如果對任意的x(a, b)都有都有f (x)=0, 則則 f (x)在在(a, b)內(nèi)恒為一常數(shù)內(nèi)恒為一常數(shù) .)(,)(上是一個(gè)常數(shù)上是一個(gè)常數(shù)在區(qū)間在區(qū)間那末那末上的導(dǎo)數(shù)恒為零上的導(dǎo)數(shù)恒為零在區(qū)間在區(qū)間如果函數(shù)如果函數(shù)ixfixf推論推論0)(f 例例5 5).11(2arccosarcsin xxx證證明明證證 1 , 1x, xarccosxarcsin)x( f 設(shè)設(shè))x11(x11)x(f22 . 0 )1

13、 , 1(x,c)x( f 0arccos0arcsin)0( f 20 ,2 .2c 即即2)1(f2)1(f ).1x1(2xarccosxarcsin 例例6 6.)1ln(1,0 xxxxx 時(shí)時(shí)證明當(dāng)證明當(dāng)證證),1ln()(xxf 設(shè)設(shè), 0)(上滿足拉氏定理的條件上滿足拉氏定理的條件在在xxf)0(),0)()0()(xxffxf ,11)(, 0)0(xxff 由上式得由上式得,1)1ln( xxx 0又又x 111, 11111 x,11xxxx .)1ln(1xxxx 即即例例7 7xee,1x:x 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)證證明明三、柯西三、柯西(cauchy)中值定理中值定理柯西柯西（

14、cauchycauchy）中值定理）中值定理 如果函數(shù)如果函數(shù))(xf及及)(xf在閉區(qū)間在閉區(qū)間,ba上連續(xù)上連續(xù), ,在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo), ,且且)(xf在在),(ba內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在內(nèi)每一點(diǎn)處均不為零，那末在),(ba內(nèi)至少內(nèi)至少有一點(diǎn)有一點(diǎn))(ba , ,使等式使等式 )()()()()()( ffbfafbfaf成立成立. .幾何解釋幾何解釋:)(1 f)(2 fxoy )()(xfyxfx)(afa)(bfbcd)(xfnm.),(),(abffcab弦弦該點(diǎn)處的切線平行于該點(diǎn)處的切線平行于在在一點(diǎn)一點(diǎn)上至少有上至少有在曲線弧在曲線弧 證證1作輔助函數(shù)

15、作輔助函數(shù)).()()()()()()()()(afxfafbfafbfafxfx ,)(滿滿足足羅羅爾爾定定理理的的條條件件x . 0)(,),( 使得使得內(nèi)至少存在一點(diǎn)內(nèi)至少存在一點(diǎn)則在則在ba, 0)()()()()()( fafbfafbff即即.)()()()()()( ffafbfafbf,)(xxf 當(dāng)當(dāng), 1)(,)()( xfabafbf)()()()()()( ffafbfafbf).()()( fabafbf特別特別證證2柯西定理的幾何意義柯西定理的幾何意義:( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag ( ):( ) , xg xcyf xxa b

16、d( )d( )yftxf t 注意注意: :xyo弦的斜率弦的斜率切線斜率切線斜率( )g a( )g ( )g b( )f a( )f b( ( ),( ),.abc gfab在曲線弧上至少有在曲線弧上至少有一點(diǎn)在一點(diǎn)在該點(diǎn)處的切線平行于該點(diǎn)處的切線平行于弦弦maxd曲線上到弦曲線上到弦abab的距離的距離最遠(yuǎn)點(diǎn)處的切線平行最遠(yuǎn)點(diǎn)處的切線平行于于abab ab弦的方程：弦的方程：( ( )( )( )( ( )( )( )0f bf axg ag bg ayf a曲線上點(diǎn)曲線上點(diǎn)m(g(x),f (x)到到ab弦的距離為弦的距離為22( )( )( ( )( )( ( )( )( )( )

17、( )( )( )( ( )( )f bf ag xg ag bg af xf ad xf bf ag bg a 柯西定理證明分析( )0,( , ),( )( )gxxagbbag 曲線上到弦曲線上到弦ab的距離的距離最遠(yuǎn)點(diǎn)處的切線平行于最遠(yuǎn)點(diǎn)處的切線平行于ab xyo( )( )xg xyf x ( ( ),( )a g af a( ( ),( )b g bf b( )d xm柯西定理證明作輔助函數(shù)作輔助函數(shù)2( )( )h xux ( )( ( )( )( ( )( )( ( )( )( ( )( )u xf bf ag xg ag bg af xf a( ) , ,( ) ,( , )

18、,h xc a bh xxa b ( )( )0h ah b(1)( )0( )0h xh x對任意對任意x 有有 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0f bf a gxg bg afx； , (2) ( )0( , )( )max ( )0 xa bh xa bhh x 當(dāng)，當(dāng)，由費(fèi)馬引理知，由費(fèi)馬引理知， ( )0h ，( )2 ( ) ( )0huu 即即，( )0u 即即 ( )( ) ( ) ( )( ) ( )0f bf a gg bg af 即即( )( )( )( )( )( )f bf afg bg ag 即即( , )a b 例例8 8)(g)b(g)a(f)(f)

19、(g)(f),b, a(: 使使在在柯柯西西定定理理的的條條件件下下證證明明例例9 9).0( f)1( f 2)(f),1 , 0(:,)1 , 0(,1 , 0)x( f 使使至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)證證明明內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)證一證一結(jié)論可變形為結(jié)論可變形為 2)(01)0()1(fff.)()(2 xxxf,)(2xxg 設(shè)設(shè),1 , 0)(),(條條件件上上滿滿足足柯柯西西中中值值定定理理的的在在則則xgxf有有內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)在在,)1 ,0( ,2)()0()1()0()1( fggff).0()1(2)(fff 即即證二證二例例10 設(shè)設(shè)f(

20、x)在在a, b上可微，且上可微，且ab0，求證：，求證：)( )()()(1 ffabfbafba (ab)證明證明 令令,)()(xxfx xxg1)( a, b同號，故同號，故x=0不在不在(a, b)內(nèi)內(nèi); (x),g(x)在在(a, b)內(nèi)可微。內(nèi)可微。,)()()(2xxfxfxx 21)(xxg 由柯西中值定理由柯西中值定理),( )()()(1 ffabfbafba即即).,(ba )()()()()()( gagbgab例例1111).10()(f,)1 , 0(:.2121f , 0)1( f)0( f,)1 , 0(,1 , 0)x( f 使使存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)內(nèi)內(nèi)至至少少

21、在在求求證證且且內(nèi)內(nèi)可可導(dǎo)導(dǎo)在在上上連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)四、小結(jié)四、小結(jié)rolle定理定理lagrange中值定理中值定理cauchy中值定理中值定理xxf )()()(bfaf 羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理羅爾定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之間的關(guān)系；之間的關(guān)系；注意定理成立的條件；注意定理成立的條件；注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟注意利用中值定理證明等式與不等式的步驟.造造技技巧巧：注注：常常見見的的一一些些函函數(shù)數(shù)構(gòu)構(gòu) )()(),(1ffba 使使）證）證（xxfxf)()( 0)()(),(2 ffba使使）證）證（)()(xfexfx 0)()()(xfexfexfxx若若0)()( xfxf0)()(),(3 ffba使使）證）證（)()(xfexfx 0)()()()()()()()(),(4 fggfgfgfba即即使使）證）證（)()()()()(xgxfxgxfxf )()()()()()()()()(xgxfxgxfxgxfxgxfxf z 思考思考證明證明bbabaaba ln解答解答2o 對對f(x)在在b, a上用拉格朗日公式上用拉格朗日公式 ,即即),(1lnlnbaba .111,baab )(1lnln)(1babbabaa 證明證明 1o 由