第3章一階動態(tài)電路分析63431

1、1 第三 一階動態(tài)電路分析v 3.1 電容元件和電感元件v3.2 換路定律及初始值的確定v 3.3 零 輸 入 響 應v 3.4 零 狀 態(tài) 響 應v 3.5 全 響 應v 3.6 求解一階電路三要素法返回2 學學 習習 目目 標標 理解動態(tài)元件l、c的特性，并能熟練應用于 電路分析。 深刻理解零輸入響應、零狀態(tài)響應、暫態(tài)響 應、穩(wěn)態(tài)響應的含義，并掌握它們的分析計算 方法 。 弄懂動態(tài)電路方程的建立及解法。 熟練掌握輸入為直流信號激勵下的一階電路的三要素分析法。3 3.1 電容元件和電感元件3.1.1 電容元件電容元件 電容器是一種能儲存電荷的器件,電容元件是電容器的理想化模型。斜率為r0qu

2、圖3-1 電容的符號、線性非時變電容的特性曲線當電容上電壓與電荷為關(guān)聯(lián)參考方向時，電荷q與u關(guān)系為：q(t)=cu(t)c是電容的電容量，亦即特性曲線的斜率。當u、i為關(guān)聯(lián)方向時,據(jù)電流強度定義有： i=c dq/dt非關(guān)聯(lián)時： i= -c dq/dt +-uci+q-q4電容的伏安還可寫成：dicdictut)(1)(1)(00tdicu0)(1)0( 式中，u(0)是在 t=0 時刻電容已積累的電壓，稱為初始電壓；而后一項是在 t=0 以后電容上形成的電壓，它體現(xiàn)了在0t的時間內(nèi)電流對電壓的貢獻。 由此可知：在某一時刻 t，電容電壓u不僅與該時刻的電流 i有關(guān)，而且與t以前電流的全部歷史狀

3、況有關(guān)。因此，我們說電容是一種記憶元件，有“記憶”電流的作用。5 當電容電壓和電流為關(guān)聯(lián)方向時，電容吸收的瞬時功率為：dttdutcutitutp)()()()()( 瞬時功率可正可負，當 p(t)0時，說明電容是在吸收能量，處于充電狀態(tài)；當 p(t) 0時，表示電感從電路吸收功率，儲存磁場能量；當 p(t) 0時，表示供出能量，釋放磁場能量。 對上式從到 t 進行積分，即得t 時刻電感上的儲能為：)()(21)()()()(22)()(itildilidptwttiil10因為0)(lw所以)(21)(2tlitwl 由上式可知：電感在某一時刻 t 的儲能僅取決于此時刻的電流值，而與電壓無關(guān)

4、，只要有電流存在，就有儲能，且儲能0。 113.2 換路定律及初始值的確定 3.2.1 換路定律換路定律 通常，我們把電路中開關(guān)的接通、斷開或電路參數(shù)的突然變化等統(tǒng)稱為“換路”。我們研究的是換路后電路中電壓或電流的變化規(guī)律，知道了電壓、電流的初始值，就能掌握換路后電壓、電流是從多大的初始值開始變化的。 該定律是指若電容電壓、電感電流為有限值，則該定律是指若電容電壓、電感電流為有限值，則uc 、 il不能躍變，即換路前后一瞬間的不能躍變，即換路前后一瞬間的uc 、il是相是相等的，可表達為：等的，可表達為： uc(0+)=uc(0-) il(0+)=il(0-)必須注意：必須注意：只有只有uc

5、、 il受換路定律的約束而保持不受換路定律的約束而保持不變，電路中其他電壓、電流都可能發(fā)生躍變。變，電路中其他電壓、電流都可能發(fā)生躍變。123.2.2 初初 始始 值值 的確的確 定定 換路后瞬間電容電壓、電感電流的初始值，用 uc(0+)和 il(0+)來表示，它是利用換路前瞬間 t=0-電路確定uc(0-)和il(0- )，再由換路定律得到 uc(0+)和 il(0+)的值。 電路中其他變量如 ir、ur、ul、ic 的初始值不遵循換路定律的規(guī)律，它們的初始值需由t=0+電路來求得。具體求法是：具體求法是： 畫出t=0+電路，在該電路中若uc (0+)= uc (0-)=us，電容用一個電

6、壓源us代替，若uc (0+)= 0則電容用短路線代替。若il(0+)= il(0-)=is，電感一個電流源is 代替，若il(0+)= 0則電感作開路處理。下面舉例說明初始值的求法。13例1：在圖3-3(a)電路中，開關(guān)s在t=0時閉合，開關(guān)閉合 前電路已處于穩(wěn)定狀態(tài)。試求初始值 uc(0+)、il(0+)、i1(0+)、i2(0+)、ic(0+) 和ul(0+)。圖 3-3 例 1 圖14解(1) 電路在 t=0時發(fā)生換路，欲求各電壓、電流的初始值，應先求uc(0+)和il(0+)。通過換路前穩(wěn)定狀態(tài)下t=0- 電路可求得uc(0-)和il(0-)。在直流穩(wěn)態(tài)電路中，uc不再變化，duc/

7、dt=0，故ic=0，即電容c相當于開路。同理 il也不再變化，dil/dt=0，故ul=0，即電感l(wèi)相當于短路。所以t=0- 時刻的等效電路如圖3-3(b)）所示，由該圖可知：aivulc22310)0(423210)0(（2）由換路定理得 aiivuullcc2)0()0(4)0()0(15因此，在t=0+ 瞬間，電容元件相當于一個4v的電壓源，電感元件相當于一個2a的電流源。據(jù)此畫出t=0+ 時刻的等效電路，如圖3-3 (c) 所示。（3）在t=0+ 電路中，應用直流電阻電路的分析 方法，可求出電路中其他電流、電壓的初始 值，即aiai144)0(224)0(21 ic(0+)=2-2-

8、1=-1aul(0+)=10-32-4=0 16 例2: 電路如圖3-4 (a)所示，開關(guān)s閉合前電路無儲能，開 關(guān)s在 t=0時閉合，試求 i1 、i2 、i3、 uc、ul的初始值。 圖 3-4 例 2 圖解（1）由題意知： 0)0()0(0)0(3lciiu（2）由換路定理得 0)0()0(0)0()0(llcciiuu17因此，在t=0+ 電路中，電容應該用短路線代替，電感以開路代之。得到 t=0+ 電路，如圖3-4 (b)所示。（3）在t=0+ 電路中，應用直流電阻電路的分析方法求得 通過以上例題，可以歸納出求初始值的一般步通過以上例題，可以歸納出求初始值的一般步驟如下：驟如下：(1

9、) 根據(jù)t=0- 時的等效電路，求出uc(0-) 及il(0-)。(2) 作出t=0+ 時的等效電路，并在圖上標出各待 求量。(3) 由t=0+ 等效電路，求出各待求量的初始值。3 . 020109)0()0(21ii i3(0+)=0 ul(0+)=20i2(0+)=200.3=6v18 當外加激勵為零,僅有動態(tài)元件初始儲能所產(chǎn)生的電流和電壓,稱為動態(tài)電路的零輸入響應.圖3- 5 rc電路的零輸入1i+-ucisr0r2c(a)ur+-+-ucci(b)3.3 零零 輸輸 入入 響響 應應 圖3-5 (a) 所示的電路中，在t0后，電路中無電源作用，電路的響應均是由電容的初始儲能而產(chǎn)生，故屬

10、于零輸入響應。 3.3.1 rc電路的零輸入響應電路的零輸入響應19-ur+uc=0而ur=i r, dtducic，代入上式可得 0ccudtdurc上式是一階常系數(shù)齊次微分方程，其通解形式為 uc=aept t0式式中a為待定的積分常數(shù)，可由初始條件確定。p為式對應的特征方程的根。將式代入式可得特征方程為rcp+1=0式換路后由圖（b）可知，根據(jù)kvl有20從而解出特征根為 rcp1則通解 rctaeuc式將初始條件uc(0+)=r0is代入3式，求出積分常數(shù)a為 scirau0)0(將 代入式，得到滿足初始值的微分方程的通解為 )0(curctsrctcceireuu0)0(式放電電流為

11、 rctrctsceierirdtduci)0(0t0 t0 式21令=rc，它具有時間的量綱，即 秒秒庫侖庫侖伏特庫侖安培伏特/.rc故稱為時間常數(shù), 這樣、兩式可分別寫為 tcceuu)0(t0 teii)0(t0rcp1由于為負，故uc和 i 均按指數(shù)規(guī)律衰減，它們的最大值分別為初始值 uc(0+)=r0is 及 riris0)0(當t時，uc和 i 衰減到零。 22圖3-6 rc 電路零輸入響應 電壓電流波形圖 畫出uc及i的波形如圖3-所示。 233.3.2 rl電路的零輸入響應電路的零輸入響應 一階rl電路如圖3-7(a)所示，t=0- 時開關(guān)s閉合，電路已達穩(wěn)態(tài)，電感l(wèi)相當于短路

12、，流過l的電流為i0。即 il(0-)=i0，故電感儲存了磁能。在t=0時開關(guān)s打開，所以在t0時，電感l(wèi)儲存的磁能將通過電阻r放電，在電路中產(chǎn)生電流和電壓，如圖3-7 (b)所示。由于t0后，放電回路中的電流及電壓均是由電感l(wèi)的初始儲能產(chǎn)生的，所以為零輸入響應。圖3-7 rl電路的零輸入響應24由圖 (b)，根據(jù)kvl有 ul+ur=0 lrllriudtdilu及將代入上式得 0llridtdil1式il=ae pt t0上式為一階常系數(shù)齊次微分方程，其通解形式為 2式將2式代入1式，得特征方程為 lp+r=0 故特征根為 lrp25則通解為 tlrlaei若令 ，是rl電路的時間常數(shù)，仍

13、具有時間量綱，上式可寫為 rltlaeit0t03式將初始條件i l(0+)= il (0-)=i 0 代入3式，求出積分常數(shù)a為 il (0+)=a=i0這樣得到滿足初始條件的微分方程的通解為 ttlleieii0)0(t04式26 tlreririu0trleriuu0電阻及電感的電壓分別是t0t0 分別作出 il 、ur 和、ul的波形如圖3-8(a)、(b)所示。 由圖3-8可知，il、ur及ul的初始值（亦是最大值）分別為il(0+)=i0、 ur(0+)=ri0、ul(0+)= -ri0，它們都是從各自的初始值開始，然后按同一指數(shù)規(guī)律逐漸衰減到零。衰減的快慢取決于時間常數(shù)，這與一階

14、rc零輸入電路情況相同。 27圖3-8 rl 電路零輸入響應il、ur和 ul 的波形28 從以上求得的rc和rl電路零輸入響應進一步分析可知，對于任意時間常數(shù)為非零有限值的一階電路，不僅電容電壓、電感電流，而且所有電壓、電流的零輸入響應，都是從它的初始值按指數(shù)規(guī)律衰減到零的。且同一電路中，所有的電壓、電流的時間常數(shù)相同。若用f (t)表示零輸入響應，用f (0+)表示其初始值，則零輸入響應可用以下通式表示為 teftf)0()(t0 應該注意的是: rc電路與rl電路的時間常數(shù)是不同的，前者=rc，后者=l/r。29例 3：如圖3-9 (a)所示電路，t=0- 時電路已處于穩(wěn)態(tài)，t=0時開關(guān)

15、s打開。求t0時的電壓uc、ur和電流ic。解 由于在t=0- 時電路已處于穩(wěn)態(tài)，在直流電源作用下，電容相當于開路。圖 3-9 例 3 圖所以vurrrusc424122)0(212由換路定律，得 vuucc4)0()0( 作出t=0+等效電路如圖(b)所示，30電容用4v電壓源代替，由圖(b)可知 vurrrucr6 . 13242)0()0(322arruicc8 .0324)0()0(32換路后從電容兩端看進去的等效電阻如圖 (c)所示，為： 52323rrrsrc1515時間常數(shù)為31ttrreeuu6 . 1)0(ttcceeii8 . 0)0(avt0t0也可以由 dtducicc

16、 求出 i c = -0.8e -t a t0 ttcceeuu4)0(vt0計算零輸入響應，得32 3.4 零 狀 態(tài) 響 應 在激勵作用之前，電路的初始儲能為零僅由激勵引起在激勵作用之前，電路的初始儲能為零僅由激勵引起的響應叫零狀態(tài)響應。的響應叫零狀態(tài)響應。3.4.1 rc電路的零狀態(tài)響應電路的零狀態(tài)響應 圖3-10所示一階rc電路，電容先未充電，t=0時開關(guān)閉合，電路與激勵us 接通，試確定k閉合后電路中的響應。 圖3-10 (a) r c電路的零狀態(tài)響應在k閉合瞬間，電容電壓不會躍變，由換路定律uc(0+)= uc(0-)= 0，t=0+ 時電容相當于短路，ur(0+)=us，故電容開

17、始充電。隨著時間的推移，uc將逐漸升高，ruruisrr)0()0(33ur則逐漸降低，ir（等于ic） 逐漸減小。當t時，電路達到穩(wěn)態(tài)，這時電容相當于開路，充電電流 ic()=0，ur ()=0，uc=()=us。由kvl ur+uc=us而ur=rir=ric= ，代入上式可得到以uc為變量的微分方程 t0 初始條件為 uc(0+)=0dtdurccsccuudtdurc 1式 1式為一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解由兩部分組成：一部分是它相應的齊次微分方程的通解uch，也稱為齊次解；另一部分是該非齊次微分方程的特解ucp，即 uc=uch + ucp 34rcttchaeaeu將初始條件u

18、c(0+)=0代入上式，得出積分常數(shù)a=-us，故srctcpchcuaeuuurctssrctsceuueuu1 由于1式相應的齊次微分方程與rc零輸入響應式完全相同, 因此其通解應為式中a為積分常數(shù)。特解ucp取決于激勵函數(shù)，當激勵為常量時特解也為一常量，可設ucp=k，代入1式得1式的解（完全解）為ucp =k=us35由于穩(wěn)態(tài)值 uc ()=us，故上式可寫成 t0 2式由2式可知，當t=0時，uc(0)=0，當 t=時，uc() =us（1-e1）=63.2%us，即在零狀態(tài)響應中，電容電壓上升到穩(wěn)態(tài)值uc=()=us的63.2%所需的時間是。而當t=45時，u c上升到其穩(wěn)態(tài)值us

19、的98.17%99.3%，一般認為充電過程即告結(jié)束。電路中其他響應分別為)1)(rctcceuutsccerudtducitscreruiitsrreuriut0 t0t036根據(jù)uc、ic、ir及ur的表達式，畫出它們的波形如3-10 (b)、(c)所示，其變化規(guī)律與前面敘述的物理過程一致。圖3-10 (b)、(c) r c 電路零狀態(tài)響應 uc、ic、ir及ur波形圖373.4.2 rl電路的零狀態(tài)響應電路的零狀態(tài)響應圖3-11 (a) 一階rl電路的零狀態(tài)響應 對于圖3-11(a)所示的一階rl電路，us為直流電壓源，t0時，電感l(wèi)中的電流為零。t=0時開關(guān)s閉合，電路與激勵us接通，在

20、s閉合瞬間，電感電流不會躍變，即有il(0+)= il(0-)=0, 選擇il為首先求解的變量，由kvl有： ul+ur=us 將 , ur=ril , 代入上式，可得初始條件為 il (0+)=0dtdilullslluridtdil1式38 tlrtlhaeaeirukislpruaeistl 1式也是一階常系數(shù)非齊次微分方程，其解同樣由齊次方程的通解ilh 和非齊次方程的特解ilp兩部分組成，即 il=ilh+ilp其齊次方程的通解也應為式中時間常數(shù)=l/r，與電路激勵無關(guān)。非齊次方程的特解與激勵的形式有關(guān)，由于激勵為直流電壓源，故特解 ilp為常量，令ilp =k，代入1式得因此完全解

21、為39代入t=0時的初始條件 il(0+)=0得ruas于是 由于il的穩(wěn)態(tài)值 ，故上式可寫成： t0 電路中的其他響應分別為 t0 )1 (tsstslerurueruitlleii1)(tslleuatdiluruisl)(40tsrreuriu1tslreruii1它們的波形如圖3-11 (b)、(c)所示。t0t0圖3-11 (b) (c) 一階rl電路的零狀態(tài)響應波形圖 41 其物理過程是，s閉合后，il(即 ir)從初始值零逐漸上升，ul從初始值 ul(0+)=us 逐漸下降，而ur從 ur(0+)=0逐漸上升，當 t=，電路達到穩(wěn)態(tài)，這時l相當于短路，il()=usr，ul()=

22、 0，ur()= us。從波形圖上可以直觀地看出各響應的變化規(guī)律。 423.4.3 單位階躍響應單位階躍響應單位階躍函數(shù)用(t)表示，其定義如下：(t) = 0 t 0-1 t 0+ (t)的波形如圖3-12(a)所示，它在（0-，0+）時域內(nèi)發(fā)生了單位階躍。圖 3-12 單位階躍函數(shù)43 單位階躍函數(shù)可以用來描述圖3-12 (b)所示的開關(guān)動作，它表示在t=0時把電路接入1v直流源時 u(t)的值，即： u (t)= (t) v 如果在 t=t0時發(fā)生跳變，這相當于單位直流源接入電路的時間推遲到 t=t0，其波形如圖3-13所示，它是延遲的單位階躍函數(shù)，可表示為 (t-t0) = 0 tt

23、0- 1 tt 0+ 圖 3-13 延遲的單位階躍函數(shù)44)()1 (00tteuttc 當激勵為單位階躍函數(shù)(t)時，電路的零狀態(tài)響應稱為單位階躍響應，簡稱階躍響應。對于圖3-10所示電路的單位階躍響應，只要令us=(t)就能得到，例如電容電壓為 若圖3-10的激勵us=k(t)（k為任意常數(shù)），則根據(jù)線性電路的性質(zhì)，電路中的零狀態(tài)響應均應 )(1teutc 如單位階躍不是在t=0而是在某一時刻 t0時加上的，則只要把上述表達式中的t改為t-t0，即延遲時間t0就行了。例如這種情況下的uc為45擴大k倍，對于電容有)()1 (tekutc例4： 求圖3-14 (a)電路的階躍響應 uc。 解

24、 先將電路ab左端的部分用戴維南定理化簡， 得圖3-14(b)所示電路。由圖 (a)可得 圖 3-14 例 4 圖46)(2)(21443111ttuuuuoc 3u1+u1=0 u1=0 則 atisc11)(2120scociur于是)()1 (2)1 (teeuuttocc式中 =r0c=210-6s將ab端短路，設短路電流為isc（從a流向b）47 3.5 全 響 應 由電路的初始狀態(tài)和外加激勵共同作用而產(chǎn)生的響應，叫全響應。 如圖3-15所示，設 uc =uc(0-)=u0，s在t=0時閉合，顯然電路中的響應屬于全響應。 圖3-15 rc電路的全響應48對t0的電路，以uc為求解變量

25、可列出描述電路的微分方程為 0)0(uuuudtdurccscc 1式與描述零狀態(tài)電路的微分方程式比較，僅只有初始條件不同，因此，其解答必具有類似的形式，即stcukeu代入初始條件 uc (0+)=u0 得 k= u0 - us1式49從而得到stscueuuu)(0 通過對1式分析可知，當us=0時，即為rc零輸入電路的微分方程。而當u0=0時，即為rc零狀態(tài)電路的微分方程。這一結(jié)果表明，零輸入響應和零狀態(tài)響應都是全響應的一種特殊情況。上式的全響應公式可以有以下兩種分解方式。1、全響應分解為暫態(tài)響應和穩(wěn)態(tài)響應之和。如2式中第一項為齊次微分方程的通解，是按指數(shù)規(guī)律衰減的，稱暫態(tài)響應或稱自由分

26、量（固有分量）。2式中第二項us = uc()受輸入的制約，它是非齊次方程的特解，其解的形式一般與輸入信號形式相同，稱穩(wěn)態(tài)響應或強制分量。這樣有 全響應=暫態(tài)響應+穩(wěn)態(tài)響應 2式502、全響應分解為零輸入響應和零狀態(tài)響應之和。將2式改寫后可得：)1 (0tstceueuu 3式等號右邊第一項為零輸入響應，第二項為零狀態(tài)響應。因為電路的激勵有兩種，一是外加的輸入信號，一是儲能元件的初始儲能，根據(jù)線性電路的疊加性，電路的響應是兩種激勵各自所產(chǎn)生響應的疊加，即 全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應 3式513.6 求解一階電路三要素法求解一階電路三要素法 如用 f (t) 表示電路的響應，f (0+)表示

27、該電壓或電流的初始值，f () 表示響應的穩(wěn)定值， 表示電路的時間常數(shù)，則電路的響應可表示為：0)()0()()(teffftft 上式稱為一階電路在直流電源作用下求解電壓、電流響應的三要素公式。 式中f (0+)、 f () 和 稱為三要素，把按三要素公式求解響應的方法稱為三要素法。 由于零輸入響應和零狀態(tài)響應是全響應的特殊情況，因此，三要素公式適用于求一階電路的任一種響應，具有普遍適用性。 52 用三要素法求解直流電源作用下一階電路的響應，其求解步驟如下： 一、 確定初始值 f (0+) 初始值f(0+)是指任一響應在換路后瞬間t=0+ 時的數(shù)值，與本章前面所講的初始值的確定方法是一樣的。

28、(1) 先作t=0- 電路。確定換路前電路的狀態(tài) uc(0-)或il(0-), 這個狀態(tài)即為t0階段的穩(wěn)定狀態(tài)，因此，此時電路中電容c視為開路，電感l(wèi)用短路線代替。(2) 作t=0+ 電路。這是利用剛換路后一瞬間的電路確定各變量的初始值。若uc(0+)=uc(0-)=u0，il(0+)=il(0-)=i0，在此電路中c用電壓源u0代替，53圖3-16 電容、電感元件在t=0時的電路模型l用電流源i0代替。若uc(0+)=uc(0-)=0 或 il(0+)=il(0-)=0，則c用短路線代替，l視為開路?？捎脠D3-16說明。作t=0+ 電路后，即可按一般電阻性電路來求解各變量的u (0+)、i (0+)。54二、確定穩(wěn)態(tài)值f() 作t=電路。瞬態(tài)過程結(jié)束后，電路進入了新的穩(wěn)態(tài)，用此時的電路確定各變量穩(wěn)態(tài)值u()、i()。在此電路中，電容c視為開路，電感l(wèi)用短路線代替，可按一般電阻性電路來求各變量的穩(wěn)態(tài)值。三、求