第一型曲面積分北工大

1、一、第一型曲面積分一、第一型曲面積分二、第二型曲面積分二、第二型曲面積分三、奧高公式三、奧高公式四、斯托克斯公式四、斯托克斯公式一、第一型曲面積分一、第一型曲面積分. .實(shí)例實(shí)例分割分割取近似取近似求和求和.),(1 nkkkkksm 取極限取極限.),(lim10 nkkkkksm 設(shè)在三維空間設(shè)在三維空間 中有光滑中有光滑3r或者逐片光滑的曲面或者逐片光滑的曲面s,s,函數(shù)函數(shù) 在曲面在曲面s s上有定義。首先，用上有定義。首先，用曲面曲面s s上的曲線網(wǎng)，將曲面上的曲線網(wǎng)，將曲面s s任意分成任意分成n n個(gè)個(gè)小曲面：小曲面：,21nsss),(zyxf將此分法表為將此分法表為t t，設(shè)

2、第，設(shè)第k k個(gè)小曲面?zhèn)€小曲面 的面積是的面積是ks,k 在第在第k k個(gè)小曲面?zhèn)€小曲面 上任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)ks),(kkkkp 作和作和,),(1knkkkknfq 稱為函數(shù)稱為函數(shù) 在曲面在曲面s s的積分和。令的積分和。令)(,),(),(max)(21nsdsdsdt ),(zyxf2.2.定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在光滑曲面或逐片光在光滑曲面或逐片光0)(t ,),(limlim0)(0)(lfqkkkktnt 則稱則稱l l是函數(shù)是函數(shù) 在曲面在曲面s s的的第一型第一型曲面曲面,),( dzyxfls 其中其中是曲面是曲面s s的的面積微元面積微元。 d滑曲面滑曲面s有定義。有定

3、義。若當(dāng)若當(dāng) 時(shí)，函數(shù)時(shí)，函數(shù)在曲面在曲面s的積分和存在極限的積分和存在極限l l，即，即積分積分，記為，記為),(zyxf),(zyxf),(zyxf則則及及可可分分為為分分片片光光滑滑的的曲曲面面若若,21sss 1d),(szyxf szyxf d),(3. 3. 第一型曲面積分的性質(zhì)第一型曲面積分的性質(zhì) 2d),(szyxf 4. 4. 第一型曲面積分的幾何意義第一型曲面積分的幾何意義空間曲面空間曲面s s的面積的面積: : sa d1dyd122xzzdyx 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1),( zyxf定理定理1 1 若曲面塊若曲面塊s: s: ,),(dvu 是光滑或者逐片光滑的，其中是光滑或者逐

4、片光滑的，其中d d是有是有 dzyxfs ),(,),(),(),(2dudvfegvuzvuyvuxfd 其中其中,222uuuzyxe , zzyyxxfuvuvu .222vvvzyxg 界閉區(qū)域。函數(shù)界閉區(qū)域。函數(shù) 在曲面在曲面s s連續(xù)，則函數(shù)連續(xù)，則函數(shù)在在s s的第一型曲面積分存在，且的第一型曲面積分存在，且),(),(),(vuzzvuyyvuxx ),(zyxf),(zyxf5 5、曲面積分的計(jì)算法、曲面積分的計(jì)算法, yxf szyxf d),(則則按照曲面的不同情況分為以下三種：按照曲面的不同情況分為以下三種：yxzzyxdd1d22 ),(yxzyxzzyxdd122

5、 xyd:s若若曲曲面面),(yxzz (1).(1).其它情形曲面積分的計(jì)算法其它情形曲面積分的計(jì)算法設(shè)設(shè)s s在在 面的投影區(qū)域?yàn)槊娴耐队皡^(qū)域?yàn)?, ,xydxoy ,zxf szyxf d),( ,zyf szyxf d),(xzdyzd),(zyxzyxxzydd122 ：若曲面若曲面 s(3).(3).),(zyxx (2).(2).:s若若曲曲面面),(zxyy ),(zxyzxyyzxdd122 設(shè)設(shè)s s在在 面的投影區(qū)域?yàn)槊娴耐队皡^(qū)域?yàn)?, ,則則設(shè)設(shè) s s 在在 面的投影區(qū)域?yàn)槊娴耐队皡^(qū)域?yàn)?, ,則則xozyozxzdyzd例例 計(jì)算曲面積分計(jì)算曲面積分 其中其中s s

6、是球面是球面解解hxyzoaaa面面投投影影，得得向向?qū)⑶婷?xoys. :222yxazs . :2222hayxdxy ,222yxaxzx .222yxayzy , szd 2222azyx )0( ahhz 被平面被平面 所截的頂部所截的頂部).(hz dxdyyxzyxzdyx ),(),(122 .222dxdyyxaa szd dxdyyxaayxaxyd2222221 dxdyyxaaxyd 1222 hxyzoaaa .0,20:22hardxy szd dxdyyxaaxyd 1222 hxyzoaaa .0,20:22hardxy .sin,cos ryrxdrrr

7、adaha 1 2202220 .ln2haa )( 1 )21(220222022radradaha 200 2222)ln(2draaha 20ln22dhaa例例計(jì)算曲面積分其中曲面計(jì)算曲面積分其中曲面s s是螺旋面是螺旋面 szd , )20 ;0(,sin,cos arzryrx的一部分的一部分例例 計(jì)算下列第一型曲面積分計(jì)算下列第一型曲面積分. . sdszyx,)()1(其中其中s s是上半球面是上半球面).0(2222 zazyx sdsyx,)()2(22其中其中s s為立體為立體122 zyx的邊界曲面的邊界曲面 syxds,)3(22其中其中s為柱面為柱面222ryx 被

8、平面被平面 所截取的部分所截取的部分例例hzz , 0解解投影域投影域 25| ),(22 yxyxdxy,5:yzs 積分曲面積分曲面 dxdyzzdyx221 dxdy2)1(01 ,2dxdy sdzyx )(故故 xyddxdyyyx)5(2 xyddxdyx)5(25 2xyxydddxdyxdxdy.2125 .0dd xydyxx解解 依依對(duì)稱性對(duì)稱性知知 成成立立 1 422yxz | xyz.為為偶偶函函數(shù)數(shù)、關(guān)關(guān)于于xy ,d|sxyz計(jì)算計(jì)算).10(22 zyxz為拋物面為拋物面其中其中例例面均對(duì)稱；面均對(duì)稱；面、面、關(guān)于關(guān)于yozxoz拋物面拋物面有有被積函數(shù)被積函數(shù)1 為第一卦限部分曲面為第一卦限部分曲面.xyzoyxyxsdd)2()2(1d22 sxyzd41