32洛必達(dá)法則

1、洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 lhopital洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則型型未未定定式式解解法法型型及及一一、:00 定義定義.00)()(lim,)()(,)()(型型未未定定式式或或稱稱為為那那末末極極限限大大都都趨趨于于零零或或都都趨趨于于無無窮窮與與兩兩個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)或或如如果果當(dāng)當(dāng) xfxfxfxfxaxxax例如例如,0tanlim,xxx,sinlnsinlnlim0bxaxx)00()( (1) lim( )0, lim( )0;xaxaf xf x定理定理1 設(shè)設(shè) 這種在一定條件下通過分子分母

2、分別求導(dǎo)再求極這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則. .( )( )limlim.( )( )xaxaf xfxf xf x( )(3) lim(),( )xafxf x存在 或?yàn)闊o窮大(2),( )( )( )0;afxfxfx在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)及都存在且那那么么)00(證證: 定義輔助函數(shù)定義輔助函數(shù), 0),()(1 axaxxfxf, 0),()(1 axaxxfxf,),(0 xau內(nèi)任取一點(diǎn)內(nèi)任取一點(diǎn)在在 ,為端點(diǎn)的區(qū)間上為端點(diǎn)的區(qū)間上與與在以在以xa,)(),(11件件滿滿足足柯柯西西中中值值定定理

3、理的的條條xfxf則有則有)()()()()()(afxfafxfxfxf )()( ff )(之間之間與與在在ax ,aax 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)()(limaxfxfax ,)()(limaffa .)()(lim)()(limaffxfxfaax axa,x.,該該法法則則仍仍然然成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x使使用用洛洛必必達(dá)達(dá)法法則則，即即定定理理的的條條件件，可可以以繼繼續(xù)續(xù)滿滿足足型型，且且仍仍屬屬如如果果)(),(00)()(xfxfxfxf .)()(lim)()(lim)()(lim xfxfxfxfxfxfaxaxax.)()(lim)()(limxfxfxfxfxx ,xaxax當(dāng)時(shí) 及

4、時(shí)該法則仍然成立該法則仍然成立.（1）（2）（3）(1) lim( )lim( );xaxaf xf x 定理定理 2 設(shè)設(shè).,該該法法則則仍仍然然成成立立時(shí)時(shí)及及時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xaxax( )(3) lim();( )xafxf x存在 或?yàn)闊o窮大(2),( )( )( )0;afxf xf x在點(diǎn)的某去心鄰域內(nèi)及都存在且( )( )limlim.( )( )xaxaf xfxf xf x那么那么.,該該法法則則仍仍然然成成立立時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)( 例例1 1解解.tanlim0 xxx求求)()(tanlim0 xxx原式原式1seclim20 xx . 1 例例2 2解解.123lim2331

5、xxxxxx求求12333lim221 xxxx原式原式266lim1 xxx.23 )00()00(例例3 3解解.1arctan2limxxx 求求22111limxxx 原式原式221limxxx 例例4 4解解.sinlnsinlnlim0bxaxx求求0.cossinlim.cossinxaaxaxbbxbx原式. 1 )00()( 0coslimcosxaxbx0cossinlimcossinxaxbxaxbxbxax21lim111xx0cossinlimcossinxaaxbxbbxax例例5 5解解.3tantanlim2xxx 求求xxx3sec3seclim222 原式原

6、式xxx222cos3coslim31 xxxxxsincos23sin3cos6lim312 xxx2sin6sinlim2 xxx2cos26cos6lim2 . 3 )( )00()00( 洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好. .例例6 6解解:.tantanlim20 xxxxx 求求30tanlimxxxx 原式原式22031seclimxxx 2201tanlim3xxx.31 2203tanlimxxxxx22tan1sec)00(注：注：1、用羅必塔法則一定要驗(yàn)證條件，

7、特別是條件、用羅必塔法則一定要驗(yàn)證條件，特別是條件(1);2、若用一次法則后仍是未定式，可繼續(xù)使用，一旦、若用一次法則后仍是未定式，可繼續(xù)使用，一旦 不是未定式立刻停止使用不是未定式立刻停止使用; xxxxxxxxsin2limcos2limsinlim0020例：例： 3220)1(22lim xxxxxxeeexexe例：求例：求 解：原式解：原式3022lim.xxxxxexeex201 2lim3xxxxxeeex 01lim.66xxxex3、運(yùn)算過程中有非零極限因子（積的形式）可先算出極限。、運(yùn)算過程中有非零極限因子（積的形式）可先算出極限。（代數(shù)和的形式不可以）（代數(shù)和的形式不可

8、以）201lim3xxxxeex0型型未未定定式式解解法法二二、00,1 ,0 ,0 例例7 7解解.lim2xxex 求求)0( 2limxxex原式2limxxe . 關(guān)鍵關(guān)鍵: :將以上類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的將以上類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的 類型類型 .),00()( 型型 0. 1步驟步驟:,10 .0100 或或)( lim2xxex例例8 8解解).1sin1(lim0 xxx 求求)( 0101. 2 型型.0000 0sinlimsinxxxxx原式01 coslim2xxx. 0 【通過通分或分子有理化【通過通分或分子有理化】0sinlim2xx20sinli

9、mxxxx00及其它初等變換轉(zhuǎn)化為及其它初等變換轉(zhuǎn)化為 或或 不定型。不定型。)00()00(步驟步驟:型型00,1 ,0. 3 ln01ln0ln01000取對數(shù)取對數(shù).0 例例9 9解解.lim0 xxx 求求)0(0 xxxeln0lim 原式原式xxxelnlim0 2011limxxxe 01exxxe1lnlim0 0limxxe（見反面）（見反面）ln,lnln ,.xxxyxyxxye令取對數(shù)得11ln111, lnln ,.1xxxyxyxyex令例例1010解解.lim111xxx 求求)1( xxxeln111lim 原式原式xxxe 1lnlim111lim1xxe.1

10、 e)00(例例1111解解.)(cotlimln10 xxx 求求)(0 ,)(cot)ln(cotln1ln1xxxex 取取對對數(shù)數(shù)得得)ln(cotln1lim0 xxx xxxx1sin1cot1lim20 xxxxsincoslim0 , 1 .1 e原式原式)( 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則型型00,1 ,0 型型 型型 0型型00型型 gfgf1 fgfggf1111 取取對對數(shù)數(shù)令令gfy 例例1212解解.coslimxxxx 求求1sin1limxx 原式原式).sin1(limxx 極限不存在極限不存在洛必達(dá)法則失效洛必達(dá)法則失效.)cos11(limxxx 原式原式. 1 事

11、實(shí)上，事實(shí)上，例例1321lim.xxx求2211limlim1xxxxxx解：21limxxx21lim1xxx2lim1xxx（還原了，羅比達(dá)法則失效（還原了，羅比達(dá)法則失效.）其實(shí)其實(shí)2211limlim11.xxxxx 例例14lim(0).nxxxne求為正整數(shù)，limnxxxe（ ）解: 原式（）xnxenx 1lim xnxexnn 22)1(lim 0lim xnxen ?。ɡ茫ɡ胣次洛必達(dá)法則，求次洛必達(dá)法則，求n次導(dǎo)數(shù)）次導(dǎo)數(shù)）lnlim(0).xxx求lnlimxxx（）解: 原式（ ）11lim xxx01lim xx由例由例14，15看出：無窮大量看出：無窮大量l

12、nxxxe對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)指數(shù)函數(shù)例例15慢快中中等等0, 0時(shí)，趨于 的速度x 當(dāng)時(shí)思考題思考題設(shè)設(shè))()(limxgxf是是不不定定型型極極限限，如如果果)()(xgxf 的的極極限限不不存存在在，是是否否)()(xgxf的的極極限限也也一一定定不不存存在在？舉舉例例說說明明.思考題解答思考題解答例如例如,sin)(xxxf xxg )(顯然顯然 )()(limxgxfx1cos1limxx 極限不存在極限不存在但但 )()(limxgxfxxxxxsinlim 1 極限存在極限存在p139-4: 120,fe 120lim.xf xe要證明較難分析：分析： 120lim,xf xe 110

13、01limlimxxxxxf xe即，求11ln 110limxxxxe0111lim2xxxe12.e20ln 1limxxxxe01lim2(1)xxe)1( )00(所以，函數(shù)所以，函數(shù)f(x)在在x=0處連續(xù)處連續(xù).p125總習(xí)題二總習(xí)題二: 第第6、14題題 006. (1)0lim0 xf xffx 000lim0 xf xffx0ln 1lim1xxx0sinlim1xxx 01.f 00(2)0lim0 xf xffx 000lim0 xf xffx 0f 不存在1001limxxxex1001limxxxex101lim0,1xxe101lim1.1xxee1eep126-14. 1 sin31 sin80fxfxxx 5f x已知是周期為 的連續(xù)函數(shù)，它在x=0處的某個(gè)鄰域內(nèi)滿足關(guān)系式: 66f且在x=1處可導(dǎo)，求曲線y=f x 在點(diǎn)，處的切線方程. f x解：由連續(xù)，令關(guān)系式兩端x0,取極限得 1310,ff01 sin31 sinlim8xfxfxx又右邊右邊 10.f0131limtftftt 0011lim3lim41ttftftftt01 sin31 sinlimxfxfxx而再令再令t=sinx左邊左邊 10f01 sin31 sinsinlim.sinxfxfxxxx 666 0yf xf故，曲線在點(diǎn)，即， 處的