第三節(jié)定積分的換元法和分部積分法98796

1、11機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 第三節(jié)第三節(jié) 定積分的換元法和分部積分法定積分的換元法和分部積分法一、換元公式一、換元公式三、小結(jié)三、小結(jié) 思考題思考題二、分部積分公式二、分部積分公式22機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 假假設(shè)設(shè) （1）)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)； 【定理【定理】（2 2）函數(shù)函數(shù))(tx 在在, 上是單值的且有連續(xù)上是單值的且有連續(xù)導數(shù)；導數(shù)； （3 3）當當t在區(qū)間在區(qū)間, 上變化時，上變化時，)(tx 的值在的值在,ba上變化，且上變化，且a )( 、b )( ， 則則 有有dtttfdxxfba )()()

2、(. . 一、換元公式一、換元公式33機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【證【證】設(shè)設(shè))(xf是是)(xf的一個原函數(shù)的一個原函數(shù)， ),()()(afbfdxxfba ),()(tft dtdxdxdft )()()(txf ),()(ttf ),()()()( dtttf)(t 是是)()(ttf 的的一一個個原原函函數(shù)數(shù). . 44機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 a )( 、b )( ,)()( )()( ff ),()(afbf )()()(afbfdxxfba )()( .)()(dtttf 【注注意意】當當 時時，換換元元公公式

3、式仍仍成成立立. . 55機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意【應(yīng)用換元公式時應(yīng)注意】(1)(2)三換三換換積分限換積分限上限對上限，下限對下限上限對上限，下限對下限. .換被積函數(shù)換被積函數(shù)換微分換微分dttdx)( . )3(變變因此時積分變量并沒有因此時積分變量并沒有不必換積分限，不必換積分限，若采用湊微分法時，則若采用湊微分法時，則66機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例1】計算計算.sincos205 xdxx【解【解】 令令,cosxt 2 x, 0 t0 x, 1 t 205sincosxdxx 015

4、dtt1066t .61 ,sin xdxdt 77機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例2】計算計算【解【解】.sinsin053 dxxxxxxf53sinsin)( 23sincosxx 053sinsindxxx 023sincosdxxx 2023sincosdxxx 223sincosdxxx 2023sinsinxdx 223sinsinxdx 2025sin52 x 225sin52x.54 容易犯錯誤容易犯錯誤88機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例3】計算計算【解【解】.)ln1(ln43 eexxxdx原式原式

5、 43)ln1(ln)(lneexxxd 43)ln1(ln)(lneexxxd 432)ln(1ln2eexxd 43)lnarcsin(2eex .6 99機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例4 】計算計算【解【解】 aadxxax022)0(.1令令,sintax ax ,2 t0 x, 0 t,costdtadx 原式原式 2022)sin1(sincosdttatata 20cossincosdtttt 20cossinsincos121dttttt 20cossinln21221 tt.4 1010機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)

6、束結(jié)束 【例【例 5】當當)(xf在在,aa 上連續(xù)，且有上連續(xù)，且有 )(xf為偶函數(shù)，則為偶函數(shù)，則 aaadxxfdxxf0)(2)(； )(xf為奇函數(shù)，則為奇函數(shù)，則 aadxxf0)(. 【證【證】,)()()(00 aaaadxxfdxxfdxxf1111機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0)(adxxf 0)(adttf,)(0 adttf)(xf為為偶偶函函數(shù)數(shù)，則則 ),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()()(;)(20 adttf)(xf為為奇奇函函數(shù)數(shù)，則則 ),()(tftf aaaadxxfdxxfdxxf00)()

7、()(. 0 1212機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 11211cosdxxxx奇函數(shù)奇函數(shù)【例【例6】計算計算【解【解】.11cos21122 dxxxxx原式原式 1122112dxxx偶函數(shù)偶函數(shù) 1022114dxxx 10222)1(1)11(4dxxxx 102)11(4dxx 102144dxx.4 單位圓的面積單位圓的面積1313機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 上連續(xù)，證明上連續(xù)，證明 【證【證】（1 1）設(shè)）設(shè)tx 2,dtdx 0 x,2 t2 x, 0 t)(xf1 , 0 2200)(cos)(sin )1( dx

8、xfdxxf 00)(sin2)(sin)2(dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx【例【例7】若若在在.并由此計算并由此計算1414機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 20)(sindxxf 022sindttf 20)(cosdttf;)(cos20 dxxf（2）設(shè)）設(shè)tx ,dtdx 0 x, t x, 0 t 0)(sindxxxf 0)sin()(dttft,)(sin)(0 dttft1515機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 0)(sindttf 0)(sindtttf 0)(sindxxf,)(sin0 dxxxf.)

9、(sin2)(sin00 dxxfdxxxf 02cos1sindxxxx 02cos1sin2dxxx 02)(coscos112xdx 0)arctan(cos2x.42 )44(2 0)(sindxxxf1616機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【教材例【教材例9】 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 01cos110)(2xxxxexfxdxxf)2( 41 計算計算【解【解】 換元換元 令令tx 2dtdx , 11 tx24 tx于是于是dxxf)2( 41 21)( dttf 20012cos1dttetdtt 或先求或先求f( (x-2) )再求原積分再求原積分dxxf)2

10、(41 較麻煩較麻煩1717機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【總結(jié)【總結(jié)】定積分的證明題定積分的證明題一般用到積分區(qū)間的一般用到積分區(qū)間的分割分割性性質(zhì)、質(zhì)、換元法換元法、定積分與積分變量、定積分與積分變量無關(guān)無關(guān)的特性。的特性。 .sin2sin :200 xdxxdxnn證明證明 2200sinsinsinxdxxdxxdxnnn令令tx 【例【例9】【證【證】 2sin xdxn 02)(sin dttn 20sin tdtn 20sin xdxn.sin2sin200 xdxxdxnn【分析【分析】先分割、再換元，最后改變積分變量先分割、再換元，最后改變積分

11、變量1818機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例例10】 設(shè)設(shè)f (x)是以是以t為周期的連續(xù)函數(shù)，則對任意為周期的連續(xù)函數(shù)，則對任意a，有，有 .)()(0 ttaadxxfdxxf【證證】 tattataadxxfdxxfdxxfdxxf)()()()(00令令ttx 則則 tatdxxf)( adtttf0)( adttf0)( adxxf0)(.)()(0 ttaadxxfdxxf【分析【分析】先分割、再換元，最后改積分變量先分割、再換元，最后改積分變量【一般地【一般地】 tntntaan0 0 1919機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束

12、結(jié)束 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù))(xu、)(xv在區(qū)間在區(qū)間 ba,上具有連續(xù)導上具有連續(xù)導數(shù)，則有數(shù)，則有 bababavduuvudv. . 定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式【推導【推導】 ,vuvuuv ,)(babauvdxuv , bababadxvudxvuuv . bababavduuvudv二、分部積分公式2020機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例1】 計算計算.arcsin210 xdx【解【解】令令,arcsin xu ,dxdv ,12xdxdu ,xv 210arcsin xdx 210arcsin xx 21021xxdx621 )1(1

13、12120221xdx 12 21021x . 12312 則則2121機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【補例【補例2】計算計算【解【解】.2cos140 xxdx,cos22cos12xx 402cos1xxdx 402cos2xxdx xdxtan240 40tan21 xxxdxtan2140 40secln218 x.42ln8 2222機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【補例【補例3】計算計算【解【解】.)2()1ln(102 dxxx 102)2()1ln(dxxx 1021)1ln(xdx102)1ln( xx 10)1ln(

14、21xdx32ln dxxx 101121xx 2111 10)2ln()1ln(32lnxx . 3ln2ln35 2323機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【補例【補例4】設(shè)設(shè)【解【解】 21,sin)(xdtttxf.)( 10 dxxxf求求因因為為ttsin沒沒有有初初等等形形式式的的原原函函數(shù)數(shù)， 無無法法直直接接求求出出)(xf，所所以以采采用用分分部部積積分分法法 10)(dxxxf 102)()(21xdxf 102)(21xfx 102)(21xdfx)1(21f 102)(21dxxfx【分析【分析】2424機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁

15、 返回返回 結(jié)束結(jié)束 21,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf 10)(dxxxf)1(21f 102)(21dxxfx 102sin221dxxx 1022sin21dxx 102cos21x ).11(cos21 , 0sin)1(11 dtttf2525機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【例【例10】 證明定積分公式證明定積分公式( (華里士（華里士（wallis）公式）公式) ) 2200cossinxdxxdxinnn nnnnnnnnnn,3254231,22143231 為正偶數(shù)為正偶數(shù)為大于為大于1 1的正奇數(shù)的正奇數(shù)【

16、證【證】設(shè)設(shè),sin1xun ,sin xdxdv , cossin)1(2xdxxndun ,cosxv 2626機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 dxxxnxxinnn 2202201cossin)1(cossinx2sin1 0dxxndxxninnn 22002sin)1(sin)1( nninin)1()1(2 21 nninni積分積分 關(guān)于下標的遞推公式關(guān)于下標的遞推公式ni4223 nninni,直到下標減到直到下標減到0 0或或1 1為止為止2727機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 ,214365223221202immmm

17、im ,3254761222122112immmmim ), 2 , 1( m,2200 dxi, 1sin201 xdxi,221436522322122 mmmmim.325476122212212 mmmmim于是于是2828機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2010sin xdx如如： 207cos xdx1325476 221436587109 2929機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【補充題【補充題】將和式極限：將和式極限： nnnnnn)1(sin2sinsin1lim表示成定積分，并計算之表示成定積分，并計算之. .3030

18、機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【補充題解答【補充題解答】原式原式 nnnnnnnnsin)1(sin2sinsin1lim ninnin1sin1limnninin 1sinlim1 0sin1xdxix i 2cos10 x或上式或上式 ninnin1sin1lim 101sin1 sinlimxdxnninin 2cos110 xi ix 3131機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 1. .定積分的分部積分公式定積分的分部積分公式 . bababavduuvudv二、小結(jié)（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）（注意與不定積分分部積分法的區(qū)別）2. .利用定積分定義求無限（和、積）項的極限利用定積分定義求無限（和、積）項的極限 參見參見高等數(shù)學學習指導高等數(shù)學學習指導p86-87 例例1、例、例2、例、例33232機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結(jié)束結(jié)束 【思考題【思考題】指指出