浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課件第三章多維隨機(jī)變量及其分布

1、第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量第二節(jié)第二節(jié) 邊緣分布邊緣分布第三節(jié)第三節(jié) 條件分布條件分布第四節(jié)第四節(jié) 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量相互獨(dú)立的隨機(jī)變量第五節(jié)第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布隨機(jī)變量及其分布隨機(jī)變量及其分布第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量二維連續(xù)型隨機(jī)變量小結(jié)小結(jié)從本講起，我們開始第三章的學(xué)習(xí)從本講起，我們開始第三章的學(xué)習(xí).一維隨機(jī)變量及其分布一維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布多維隨機(jī)變量及其分布 由于從二維推廣到多維一般無實(shí)質(zhì)性的由于從二維推廣到多

2、維一般無實(shí)質(zhì)性的困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量困難，我們重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量 .它是第二章內(nèi)容的推廣它是第二章內(nèi)容的推廣. 到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布及其分布. 但但有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠有些隨機(jī)現(xiàn)象用一個(gè)隨機(jī)變量來描述還不夠，而，而需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述需要用幾個(gè)隨機(jī)變量來描述. 在打靶時(shí)在打靶時(shí),命中點(diǎn)的位置是由一命中點(diǎn)的位置是由一對(duì)對(duì)r .v (兩個(gè)坐標(biāo)兩個(gè)坐標(biāo))（x，y）來確定的）來確定的. 飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)飛機(jī)的重心在空中的位置是由三個(gè)r .v (三個(gè)坐標(biāo)三個(gè)坐標(biāo))（x，y，z）來確定的等）來確定的等等等.一

3、般地一般地, 設(shè)設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn),e它的樣本空間是它的樣本空間是 ,se 設(shè)設(shè) 11,xxe 22,xxe ,nnxxe 是定義在是定義在 上的隨機(jī)變量上的隨機(jī)變量,s由它們構(gòu)成的一個(gè)由它們構(gòu)成的一個(gè) 維向維向n量量 12,nxxx叫做叫做 維隨機(jī)向量維隨機(jī)向量n或或 維隨機(jī)變維隨機(jī)變n量量. 以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量以下重點(diǎn)討論二維隨機(jī)變量.請(qǐng)注意與一維情形的對(duì)照請(qǐng)注意與一維情形的對(duì)照 .)()(xxpxfxx的分布函數(shù)的分布函數(shù)一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量 ,f x ypxxyyp xx yy, ,x y如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)如果對(duì)于任意實(shí)數(shù)二元二元 函數(shù)函數(shù)稱為二維隨機(jī)變量稱為二維

4、隨機(jī)變量 的的分布函數(shù)分布函數(shù), ,x y或者稱為隨機(jī)或者稱為隨機(jī)變量變量 和和 的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù).yx定義定義1 ,x y設(shè)設(shè) 是二維是二維隨機(jī)變量隨機(jī)變量,oxyy yx ,yx yx ,x 將二維隨機(jī)變量將二維隨機(jī)變量 看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)看成是平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo), ,x y 那么那么,分布函數(shù)分布函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 處的函數(shù)值處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(diǎn)就是隨機(jī)點(diǎn) 落在下面左圖所示的落在下面左圖所示的,以點(diǎn)以點(diǎn) 為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率為頂點(diǎn)而位于該點(diǎn)左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率. ,x y ,x y ,f x y ,x y分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋分布函數(shù)的函數(shù)值

5、的幾何解釋xoxx 11211222,yxfyxfyxfyxf 2121,yyyxxxp 隨機(jī)點(diǎn)隨機(jī)點(diǎn) 落在矩形域落在矩形域 ,x y1212,xxxyyy內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為xyo yx,2y1y1x2xxyo yx,1x2xy yx ,1 yx ,2 :,的性質(zhì)的性質(zhì)分布函數(shù)分布函數(shù)yxf ;,.1的不減函數(shù)的不減函數(shù)和和是關(guān)于變量是關(guān)于變量yxyxf ;,212121yxfyxfxxrxxry 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的 ;,212121yxfyxfyyryyrx 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的 yx, ,0,1,0.2 yfryyxf對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的且且 .1,

6、0,0, ffxfrx對(duì)任意固定的對(duì)任意固定的 .0, 0,.3 yxfyxfyxfyxf,),(ijjipyyxxp或隨機(jī)變量或隨機(jī)變量x和和y 的的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律. ,)(kkpxxpk=1,2, 離散型離散型一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量xx 的分布律的分布律 , 0kpkkp1k=1,2, 定義定義2的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì)的值是有限對(duì)或可列無限多對(duì),是是離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量.則稱則稱 ,x y設(shè)二維離散型隨機(jī)變量設(shè)二維離散型隨機(jī)變量 ,x y可能取的值是可能取的值是 ,ijx y,1,2,i j ,1,2,i j 記記如果二維隨機(jī)變量如果二維隨機(jī)變量 ,x y全部可能取到的

7、不相同全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機(jī)變量稱之為二維離散型隨機(jī)變量 的的分布律分布律, ,x y二、二維離散型隨機(jī)變量二、二維離散型隨機(jī)變量ijijijpjip1, 2 , 1, 0二維離散型隨機(jī)變量二維離散型隨機(jī)變量 的的分布律分布律具有性質(zhì)具有性質(zhì) ,x y12jyyyxy12ixxx11211 ippp12222 ippp12jjijppp也可用表格來表示隨機(jī)變量也可用表格來表示隨機(jī)變量x和和y 的的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律. 例例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)x為三次為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù) ，而，而 y 為正面出現(xiàn)次數(shù)與為正面出現(xiàn)次數(shù)

8、與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值 , 求求 (x ,y) 的分布律的分布律 .解解 ( x, y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)px=0, y=3px=1, y=1 px=2, y=1px=3, y=0yx1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 連續(xù)型連續(xù)型一維隨機(jī)變量一維隨機(jī)變量xx的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)1)(dxxf xtdtfxfx0)(xf rxxf 定義定義3對(duì)于二維隨機(jī)變量對(duì)于二維隨機(jī)變量 ,x y的分布函數(shù)的分布函數(shù) ,

9、f x y則稱則稱 是是連續(xù)型的二維隨連續(xù)型的二維隨 ,x y機(jī)變量機(jī)變量 , ,fx y函數(shù)函數(shù) 稱為二維稱為二維（x,y )的的概率密度概率密度 ,隨機(jī)變量隨機(jī)變量 ,yxf x yf u v dudv 存在非負(fù)的函數(shù)存在非負(fù)的函數(shù) ,fx y如果如果任意任意 有有,x y使對(duì)于使對(duì)于 稱為隨機(jī)變量稱為隨機(jī)變量 x 和和 y 的的聯(lián)合概聯(lián)合概 率密度率密度.或或 ;0,.1 yxf 2,1 ;rfx y dxdy ;,.3dxdyyxfgyxpxoygg 則有則有平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域是是設(shè)設(shè)yxyxfyxf),(),(2在在 f (x,y)的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn) ,.4 2 .,1;fx y

10、 dxdy 例2 設(shè)(x,y)的概率密度是(1) 求分布函數(shù)求分布函數(shù) (2)2,0,0,0,.xyexyfx y 其其它它 ,;f x y p yx (2) 求概率求概率 .ouvy yx ,xouvy yx ,x ,yxf x yf u v dudv ,du vuxvy 積分區(qū)域積分區(qū)域區(qū)域區(qū)域 ,0f u v ,0,0u v uv解解 (1)ouvy yx ,xouvy yx ,x 211,0,0,0,.xyeexyf x y 其其它它00 xy或或當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,yxf x yf u v dudv 0 故故(2)002yxu vedudv 2002yxvue dvedu 211xyee

11、0,0 xy當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), ,yxf x yf u v dudv 2302xxeedx 1.3 (2) p yx ,y xfx y dxdy 2002xxydxedy 2002xxyedxedy yx xyo 在這一節(jié)中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了在這一節(jié)中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)二維隨機(jī)變量的分布函數(shù) ,離散型隨機(jī)變量的分離散型隨機(jī)變量的分布律以及連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù)布律以及連續(xù)型隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).第二節(jié)第二節(jié) 邊緣分布邊緣分布邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣

12、概率密度小結(jié)小結(jié) 二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機(jī)變量(x,y)的取值及其概率規(guī)律的取值及其概率規(guī)律. 而單個(gè)隨機(jī)變量而單個(gè)隨機(jī)變量x,y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布. 那么要問那么要問:二者之間有二者之間有什么關(guān)系呢什么關(guān)系呢?這一節(jié)里這一節(jié)里,我們就來探求這個(gè)問題我們就來探求這個(gè)問題 .二維隨機(jī)變量二維隨機(jī)變量 (x,y)作為一個(gè)整體作為一個(gè)整體,具有分布函具有分布函數(shù)數(shù) ,f x y而而 和和 都是隨機(jī)變量都是隨機(jī)變量 ,xy也有各自的分也有各自的分布函數(shù)布函數(shù),分別記為分別記為 ,xyfxfy xfxp xx變量變量 (x,y) 關(guān)于關(guān)于

13、 x 和和 y的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機(jī)依次稱為二維隨機(jī) ,yfyp yyp xyyfy 一、邊緣分布函數(shù)一、邊緣分布函數(shù) ,p xx y ,f x一般地，對(duì)離散型一般地，對(duì)離散型 r.v ( x,y )，則則 (x,y) 關(guān)于關(guān)于x 的邊緣分布律為的邊緣分布律為x和和y 的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為, 2 , 1,),(jipyyxxpijji 11,ijijjjpxx yyp,2,1iixxp1,jjiiyyxxxx二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律二、離散型隨機(jī)變量的邊緣分布律ip(x,y) 關(guān)于關(guān)于 y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為jyypjiijjiippyyxxp.

14、11, 1,2,j 例例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)把一枚均勻硬幣拋擲三次，設(shè)x為三次為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù) ，而，而 y 為正面出現(xiàn)次數(shù)與為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對(duì)值 , 求求 (x ,y) 的分布律的分布律 .解解 ( x, y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)px=0, y=3px=1, y=1 px=2, y=1px=3, y=0yx1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 px=0=px=1=

15、px=2=px=3=py=1=py=3=1/8,px=0, y=1+px=0, y=3=3/8,px=1, y=1+px=1, y=3=3/8,px=2, y=1+px=2, y=3px=3, y=1+px=3, y=3=1/8. 30,1kp xk y =3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8. 30,3kp xk y 我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞緣上，由此得出邊緣分布這個(gè)名詞.yx1301 83 8001233 8001 8 jp yy ip xx 1 83 83 81 86 82 8由聯(lián)合分布可以

16、確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布. 對(duì)連續(xù)型對(duì)連續(xù)型 r.v ( x,y ) ，x 和和y 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為則則 ( x,y ) 關(guān)于關(guān)于 x 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為),(yxfdyyxfxfx),()( dyyxfdxxfxfxx,事實(shí)上事實(shí)上 , ,xxfxfxfx y dy 三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度三、連續(xù)型隨機(jī)變量的邊緣概率密度 x ( x,y )關(guān)于關(guān)于y 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為dx)y, x(f)y(fy y 例2 設(shè)(x,y)的概率密度是其它,xy,x),x(cy)

17、y, x(f00102求求 (1) c的值；的值； （2）兩個(gè)邊緣密度。）兩個(gè)邊緣密度。= 5c/24 ,c =24/5.100(2)xdxcyx dy 解解 (1) 21,rfx y dxdy 故故yx xy01x 123022cxx dx 例例2 設(shè)設(shè) (x,y) 的概率密度是的概率密度是解解求求 (1) c 的值的值; (2) 兩個(gè)邊緣密度兩個(gè)邊緣密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf dyyxfxfx, 00,.xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy (2)xy0yx 1x 10,0,0.xxxyf x yfx 或或都都有有故故當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 時(shí)

18、時(shí),01x 暫時(shí)固定暫時(shí)固定),2(5122xx注意取值范圍注意取值范圍xdyxy0)2(524綜上綜上 , .,0,10,25122其它其它xxxxfx 00,.xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),01x xy0yx 1例例 2 設(shè)設(shè)(x,y)的概率密度是的概率密度是解解 (2) 求求 (1) c的值的值; (2) 兩個(gè)邊緣密度兩個(gè)邊緣密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf dxyxfyfy, .0,0,01yfyxfxyyy故故都有都有對(duì)對(duì)時(shí)時(shí)或或當(dāng)當(dāng) .,1011dxyxfdxyxfdxyxfyfyyyy時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)yx y1暫時(shí)固定暫

19、時(shí)固定0yx),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它, 010),2223(524)(2yyyyyfy綜上綜上 ,注意取值范圍注意取值范圍 在求連續(xù)型在求連續(xù)型 r.v 的邊緣密度時(shí)，往往要求聯(lián)的邊緣密度時(shí)，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分合密度在某區(qū)域上的積分. 當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分當(dāng)聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時(shí)候，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)特別注意積分限片表示的時(shí)候，在計(jì)算積分時(shí)應(yīng)特別注意積分限 .下面我們介紹兩個(gè)常見的二維分布下面我們介紹兩個(gè)常見的二維分布. 1、 設(shè)設(shè)g是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為a.若二維隨機(jī)變量（若二維隨機(jī)變量（ x,y）具有概率密度）具

20、有概率密度其它, 0),(,1),(gyxayxf則稱（則稱（x,y）在）在g上服從均勻分布上服從均勻分布. 向平面上有界區(qū)域向平面上有界區(qū)域g上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落上任投一質(zhì)點(diǎn)，若質(zhì)點(diǎn)落在在g內(nèi)任一小區(qū)域內(nèi)任一小區(qū)域b的概率與小區(qū)域的面積成正比，的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與而與b的形狀及位置無關(guān)的形狀及位置無關(guān). 則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo)則質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo) (x,y)在在g上服從均勻分布上服從均勻分布. 2、若二維隨機(jī)變量（、若二維隨機(jī)變量（x,y）具有概率）具有概率密度密度 則稱（則稱（ x,y）服從參數(shù)為）服從參數(shù)為 的的二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布.,2121其中其中均為常數(shù)均為常數(shù) , 且且, 0,

21、021,21211. 記作（記作（ x,y） n( ).221212, ,x ,y 212221122122212211(),exp2 121()()()2xfx y xyy 例例 3 試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度試求二維正態(tài)隨機(jī)變量的邊緣概率密度. ,xfxfx y dy 解解22122212()()()2yxy 2222111211()yxx因?yàn)橐驗(yàn)樗运?22211222111()2 12212121y x x xfxeedy 212211,1yxt 令令則有則有 22121()22112x txfxeedt 22211222111()2 12212121y x x xfxeed

22、y 2121()21122x e 2121()2112x e x 同理同理 2222()2212y yfye y 可見可見由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.不同的二維正態(tài)分布不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明此例表明 且不依賴于參數(shù)布，緣分布都是一維正態(tài)分二維正態(tài)分布的兩個(gè)邊對(duì)應(yīng)不同的，也就是說，對(duì)于給定的 2121 1. 在這一講中，我們與一維情形相對(duì)照，介在這一講中，我們與一維情形相對(duì)照，介紹了二維隨機(jī)變量的邊緣分布紹了二維隨機(jī)變量的邊緣分布. 由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布

23、一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.2. 請(qǐng)注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系請(qǐng)注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:四、小結(jié)四、小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 條件分布條件分布離散型隨機(jī)變量的條件分布離散型隨機(jī)變量的條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布連續(xù)型隨機(jī)變量的條件分布小結(jié)小結(jié)在第一章中，我們介紹了條件概率的概念在第一章中，我們介紹了條件概率的概念 .)()()|(bpabpbap在事件在事件b發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件a發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率推廣到隨機(jī)變量推廣到隨機(jī)變量 設(shè)有兩個(gè)設(shè)有兩個(gè)r.v x,y ， 在給定在給定y取某個(gè)或某些值取某個(gè)或某些值的條件下，求的條件下，求x的概率分布的

24、概率分布.這個(gè)分布就是條件分布這個(gè)分布就是條件分布.一、離散型一、離散型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的條件分布的條件分布 實(shí)際上是第一章講過的條件概率概念在另一種實(shí)際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復(fù)形式下的重復(fù). 定義定義1 設(shè)設(shè) ( x,y ) 是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)是二維離散型隨機(jī)變量，對(duì)于固定的于固定的 j，若，若 py = yj 0，則稱，則稱為為在在 y = yj條件下隨機(jī)變量條件下隨機(jī)變量x的條件分布律的條件分布律.px= xi |y= yj =jjipp，i=1,2, 類似定義在類似定義在 x= xi 條件下條件下隨機(jī)變量隨機(jī)變量y 的條件分布律的條件分布律. ,ijjp

25、xx yyp yy 作為條件的那個(gè)作為條件的那個(gè)r.v,認(rèn)為取值是給定的，認(rèn)為取值是給定的，在此條件下求另一在此條件下求另一r.v的概率分布的概率分布. 條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì)一切性質(zhì). 正如條件概率是一種概率，具有概率的正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì)一切性質(zhì).例如：例如：i=1,2, 0ijp xxyy 11ijip xxyy 解解 依題意，依題意，y=n 表示在第表示在第n次射擊時(shí)擊中目次射擊時(shí)擊中目標(biāo)標(biāo) , 且在前且在前n-1次射擊中有一次擊中目標(biāo)次射擊中有一次擊中目標(biāo). 首次擊中目標(biāo)時(shí)射擊了首次擊中目標(biāo)時(shí)射擊

26、了m次次 .n n次射擊次射擊擊中擊中2nn- 11.m擊中擊中 例例 2一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率一射手進(jìn)行射擊，擊中目標(biāo)的概率 射擊進(jìn)行到第二次擊中目標(biāo)為止射擊進(jìn)行到第二次擊中目標(biāo)為止. 以以 x 表示表示首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)首次擊中目標(biāo)所進(jìn)行的射擊次數(shù)，以，以 y 表示第二次表示第二次擊中目標(biāo)時(shí)所進(jìn)行的的射擊次數(shù)擊中目標(biāo)時(shí)所進(jìn)行的的射擊次數(shù) . 試求試求 x 和和 y 的聯(lián)的聯(lián)合分布及條件分布合分布及條件分布. 1 ,p p 0p x=m 表表 ( n=2,3, ; m=1,2, , n-1)由此得由此得x和和y的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 由射擊的獨(dú)立性知，不論由射擊的獨(dú)立

27、性知，不論m(mn)是多少，是多少，px=m,y=n都應(yīng)都應(yīng)等于等于n次射擊次射擊擊中擊中2nn-11.m擊中擊中每次擊中目標(biāo)的概率為每次擊中目標(biāo)的概率為 ppx=m,y=n=？ 22,1np xm ynpp 22,1np xm ynpp 為求條件分布，先求邊緣分布為求條件分布，先求邊緣分布.x的邊緣分布律是：的邊緣分布律是：( m=1,2, )122)1 (mnnpp122)1 (mnnpp)1 (1)1 (212pppm1)1 (mpp 1,n mp xmp xm yn y的邊緣分布律是：的邊緣分布律是：( n = 2,3, )1122)1 (nmnpp22)1 () 1(nppn 11,

28、nmp ynp xm yn 于是可求得：于是可求得：2222)1 () 1()1 (nnppnpp,11n當(dāng)當(dāng)n=2,3, 時(shí)，時(shí)，m=1,2, ,n-1,nypnymxp聯(lián)合分布聯(lián)合分布邊緣分布邊緣分布 p xm ynn=m+1,m+2, 當(dāng)當(dāng)m=1,2, 時(shí)，時(shí)，,mxpnymxp122)1 ()1 (mnpppp,)1 (1mnpp|mxnyp二、連續(xù)型二、連續(xù)型隨機(jī)變量隨機(jī)變量的條件分布的條件分布 設(shè)設(shè)(x,y)是二維連續(xù)型是二維連續(xù)型r.v，由于對(duì)任意由于對(duì)任意x, y, px=x=0, py=y=0 ，所以不能直接用條件概，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條

29、件率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義概率密度的定義.)(),()|(|yfyxfyxfyyx 設(shè)設(shè) x 和和 y 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 ,fx y 關(guān)于關(guān)于 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 , yfy ,x yy 則稱則稱 為在為在 的條件下的條件下 ,yfx yfyyy 的的條件概率密度條件概率密度.x記為記為若對(duì)于固定若對(duì)于固定 0,yfy y的的 ,)(),()|(|xfyxfxyfxxy類似地類似地,可以定義在可以定義在x=x的條件下的條件下y的條件概率密度為的條件概率密度為例例 3：設(shè)：設(shè)(x,y)服從單位圓上的均勻分布，概率密服從單位圓上的均勻分布

30、，概率密度為度為其它, 01,1),(22yxyxf)|(|xyfxy求求1|, 01|,12),()(2xxxdyyxfxfx解解 x的邊緣密度為的邊緣密度為xoy 當(dāng)當(dāng)|x|1時(shí)時(shí),有有)(),()|(|xfyxfxyfxxy21)2(1x,1212x2211xyxxoy1|, 01|,12),()(2xxxdyyxfxfx)|(|xyfxy取其它值yxyxx, 011,121222即即 當(dāng)當(dāng) |x|1 時(shí)時(shí),有有x作為已知變量作為已知變量這里是這里是y的取值范圍的取值范圍x已知的條件下已知的條件下y 的條件密度的條件密度 例例4 設(shè)數(shù)設(shè)數(shù) x 在區(qū)間在區(qū)間 (0,1) 均勻分布，當(dāng)觀察到

31、均勻分布，當(dāng)觀察到 x=x(0 x1)時(shí)，數(shù)時(shí)，數(shù)y在區(qū)間在區(qū)間(x,1)上隨機(jī)地取值上隨機(jī)地取值 .求求 y 的概率的概率密度密度.解解 依題意，依題意，x具有概率密度具有概率密度其它, 010, 1)(xxfx對(duì)于任意給定的值對(duì)于任意給定的值 x (0 x0 y 0二、例題二、例題即即其它, 00,)(xxexfxx其它, 00,)(yeyfyy)()(),(yfxfyxfyx可見對(duì)一切可見對(duì)一切 x, y, 均有：均有：故故 x , y 獨(dú)立獨(dú)立 . 若若(x,y)的概率密度為的概率密度為其它,y, yx,)y, x(f01002情況又怎樣？情況又怎樣？解解),1 (22)(1xdyxf

32、xxyyydxyf0,22)(0 x1 0y1 由于存在面積不為由于存在面積不為0的區(qū)域，的區(qū)域，)()(),(yfxfyxfyx故故 x 和和 y 不獨(dú)立不獨(dú)立 . 例例2 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時(shí)時(shí)30分在某地會(huì)面分在某地會(huì)面.如如果甲來到的時(shí)間在果甲來到的時(shí)間在12:15到到12:45之間是均勻分布之間是均勻分布. 乙乙獨(dú)立地到達(dá)獨(dú)立地到達(dá),而且到達(dá)時(shí)間在而且到達(dá)時(shí)間在12:00到到13:00之間是均勻之間是均勻分布分布. 試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過試求先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過5分鐘的概率分鐘的概率. 又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？解解

33、設(shè)設(shè)x為甲到達(dá)時(shí)刻為甲到達(dá)時(shí)刻,y為乙到達(dá)時(shí)刻為乙到達(dá)時(shí)刻以以12時(shí)為起點(diǎn)時(shí)為起點(diǎn),以分為單位以分為單位,依題意依題意,xu(15,45), yu(0,60)其它, 04515,301)(xxfx所求為所求為p( |x-y | 5) ,其它, 0600,601)(xyfy其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率由獨(dú)立性由獨(dú)立性先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不先到的人等待另一人到達(dá)的時(shí)間不超過超過5分鐘的概率分鐘的概率p(xy)解一解一 45155x5xdxdy18001p( | x-y| 5 ) xy015451060405yx5yx=p( -5 x -y

34、 5)xy01545106040yx p(xy) 451560 xdxdy180011 2. 1 6. 解二解二5| yx |dxdy18001p(x y)1 6. p( | x-y| 5 ) 在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等在某一分鐘的任何時(shí)刻，信號(hào)進(jìn)入收音機(jī)是等可能的可能的. 若收到兩個(gè)互相獨(dú)立的這種信號(hào)的時(shí)若收到兩個(gè)互相獨(dú)立的這種信號(hào)的時(shí)間間隔小于間間隔小于0.5秒，則信號(hào)將產(chǎn)生互相干擾秒，則信號(hào)將產(chǎn)生互相干擾. 求求發(fā)生兩信號(hào)互相干擾的概率發(fā)生兩信號(hào)互相干擾的概率.類似的問題如：類似的問題如：盒內(nèi)有盒內(nèi)有 個(gè)白球個(gè)白球 , 個(gè)黑球個(gè)黑球,有放回地摸球有放回地摸球 例例3 兩次兩

35、次. 設(shè)設(shè)第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球試求試求(3) 若改為無放回摸球若改為無放回摸球,解上述兩個(gè)問題解上述兩個(gè)問題.nm01x01y布律的聯(lián)聯(lián)合分布律和邊緣),( )1(yx的相互獨(dú)立性),( )2(yx判斷判斷 yx01 222mnmnnmnjp ip 222mmnmnmn01m mnn mnn mn m mn 解解如下表所示如下表所示 :(2)由上表可知由上表可知ijijppp ,0,1i j 布律的聯(lián)聯(lián)合分布律和邊緣),( )1(yx。相互獨(dú)立),(故yx表所示表所示 :yx01jp ip 01nmn mmn

36、11m mmnmn mmn nmn 1mnmnmn 1mnmnmn 11n nmnmn 布律的聯(lián)聯(lián)合分布律和邊緣),( )3(yx由上表知由上表知 : 1(0,0),1m mp xymnmn 0,mp xmn 0.mp ymn 可見可見 (0,0)00 .p xyp xp y故故x，y不相互獨(dú)立。不相互獨(dú)立。三、正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立性三、正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立性22222121212122212121exp121yyxxyxf， xexfxx21212121聯(lián)合分布密度為),n( 服從正 態(tài)從正 ),( 設(shè)二維隨機(jī)變量2121yx由前知由前知x的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為222221212121

37、exp21yxyxf， yeyfyy22222221 yfxfyx相互獨(dú)立；與這表明，隨機(jī)變量yxy的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為時(shí)有所以，當(dāng) 0 yfxfyxfyx，即，2121yxfff，212212121121重要結(jié)論：綜上所述，我們有以下反之，如時(shí)反之，如時(shí)x與與y相互獨(dú)立，則對(duì)任意的相互獨(dú)立，則對(duì)任意的x和和y有有特別地，有特別地，有0由此得，0 件是相互獨(dú)立的充分必要條yx二維維正態(tài)隨機(jī)變），（四、一般四、一般n n維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果維隨機(jī)變量的一些概念和結(jié)果 112212 ;,nnnnesexx exxexxesnx xxn維隨機(jī)變量設(shè) 是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，它的樣本空間是設(shè)

38、是定義在 上的隨機(jī)變量，由它們構(gòu)成的一維個(gè)隨維向量稱為機(jī)變量。 1212112212, (,)(,),nnnnnnx xxnf x xxp xx xxxxnxxx分布函數(shù) 對(duì)于任意 個(gè)實(shí)數(shù)， 元函數(shù)： 稱為 維隨機(jī)變量的分布函數(shù)。1、2、12121212112212 ,(,) 1,2, (,) 1,2, 1,2,nnniinijiinnijnxxxxxxip xxxxxxjninxxx離散型隨機(jī)變量的分布律設(shè)所有可能取值為 稱為 維離散型隨機(jī)變量的分布律。111212121212( ,), ( ,)( ,)nnnnxxxnnnf x xxx xxf x xxf x xx dxdxdx 連續(xù)型隨

39、機(jī)變量的 若存在非負(fù)函數(shù)，使得對(duì)于任概意實(shí)數(shù)率密度3、4、 邊緣分布邊緣分布 如：1212,(,)nnxxxf x xx的分布函數(shù)已知，111()(,)xfxf x 12,(1)nx xxkkn 則的維邊緣分布函數(shù)就隨之確定。12(,)1212( ,)( , , )x xfx xf x x111223( )( ,)xnnfxf x xx dx dxdx12(,)121234( , )( , ,)x xnnfx xf x xx dxdxdx5、 相互獨(dú)立相互獨(dú)立 12121212, (,)( )()()nnnxxxnx xxf xxxfx fxfx若對(duì)于所有的有：12,nxxx則稱是相互獨(dú)立的

40、1212, ,mnx xxy yy與的獨(dú)立性12112,( ,),mmx xxf x xx設(shè)的分布函數(shù)為12212,(,),nny yyfyyy的分布函數(shù)為12121212, ,( ,)mnmnx xxy yyf x xxy yy的分布函數(shù)為1212112212( , ,)( ,)( ,)mnmnf x xx y yyf x xx f y yy若1212,mnx xxy yy稱與相互獨(dú)立。6、定理1：定理2：1212,mnx xxy yy設(shè)與相互獨(dú)立，1,2,1,2,ijx imyjn則與相互獨(dú)立。1212,mnh x xxg y yy設(shè)和是連續(xù)函數(shù)，1212,mnh x xxg y yy則和

41、相互獨(dú)立。 這一講，我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念這一講，我們由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念引入兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念引入兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念. 給出了各給出了各種情況下隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件。種情況下隨機(jī)變量相互獨(dú)立的條件。五、小結(jié)五、小結(jié)第五節(jié)第五節(jié) 兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布兩個(gè)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布 的分布的分布 m=max(x,y)及及n=min(x,y)的分布的分布 小結(jié)小結(jié) zxy 在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量在第二章中，我們討論了一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進(jìn)一步討論: 當(dāng)隨機(jī)變量當(dāng)隨機(jī)變量 x, y 的聯(lián)合分布已知時(shí)，如何的聯(lián)合分布已知時(shí)

42、，如何求出它們的函數(shù)求出它們的函數(shù)z = g ( x, y ) 的分布的分布?引言引言 例例1 若若 x、y 獨(dú)立，獨(dú)立，p(x=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , p(y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求 z=x+y 的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解 )()(ryxprzpriirypixp0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riiryixp0),(由獨(dú)立性由獨(dú)立性r=0,1,2, 一、一、 的分布的分布 zxy離散型情形離散型情形解解 依題意依題意 riiryixprzp0),()( 例例2 若若 x 和和 y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為的泊

43、松分布的泊松分布, 證明證明z=x+y服從參數(shù)為服從參數(shù)為于是于是i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , !)(ieixpi11 !)(jejypj22 12, 12 的泊松分布的泊松分布.riiryixprzp0),()(ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rrer = 0 , 1 , 即即z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布.12 設(shè)設(shè)(, )x y是二維離散型隨機(jī)變量是二維離散型隨機(jī)變量, ,其聯(lián)合分布列為其聯(lián)合分布列為, (1,2,;1,2,)iji jp xa y

44、bpij(, )zg x y則則 是一維的離散型隨機(jī)變量是一維的離散型隨機(jī)變量 其分布列為其分布列為 ( ,), (1,2,;1,2,)iji jp zg a bpij例例 3 3 設(shè)設(shè) 的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為 (, )x y yx01-20.20.3-10.1010.30.1分別求出（分別求出（1）x+y；（；（2）x-y；（；（3）x2+y-2的的分布列分布列解解 由（由（x x，y y）的聯(lián)合分布列可得如下表格）的聯(lián)合分布列可得如下表格 (0,-2)(0,-1)(0,1)(1,-2)(1,-1)(1,1)概率0.20.10.30.300.1-2-11-10221-1320-4-3-

45、1-3-20(, )x yxyxy22xy 解解 得所求的各分布列為得所求的各分布列為 x+y-2-1012概率0.20.400.30.1x-y-10123概率0.30.10.10.20.3x2+y-2-4-3-2-10概率0.20.400.30.1 例例4 設(shè)設(shè)x和和y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y) , 求求 z=x+y 的概率密度的概率密度. ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域 d=(x, y): x+y z解解z=x+y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: zfzp zz p xyz它是直線它是直線 x+y =z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.xyzy0連續(xù)型情形連續(xù)

46、型情形 化成累次積分化成累次積分,得得zyxzdxdyyxfzf),()( yzzdydxyxfzf),()( 固定固定z和和y,對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換對(duì)方括號(hào)內(nèi)的積分作變量代換, 令令 x=u-y,得得 zzdyduyyufzf),()( zdudyyyuf),(變量代換變量代換交換積分次序交換積分次序xyzxy0y由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得z=x+y的概率的概率密度為密度為: 由由x和和y的對(duì)稱性的對(duì)稱性, fz (z)又可寫成又可寫成 dyyyzfzfzfzz),()()(以上兩式即是以上兩式即是兩個(gè)隨機(jī)變量和的概率密度的一般公式兩個(gè)隨機(jī)變量和的

47、概率密度的一般公式.dxxzxfzfzfzz),()()( zzdudyyyufzf),()( 特別地特別地，當(dāng)，當(dāng) x 和和 y 獨(dú)立，設(shè)獨(dú)立，設(shè) (x,y) 關(guān)于關(guān)于 x , y 的邊的邊緣密度分別為緣密度分別為 fx(x) , fy(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfyxz)()()(dxxzfxfzfyxz)()()(下面我們用下面我們用卷積公式來求卷積公式來求z=x+y的概率密度的概率密度. 卷積公式卷積公式例例 5解：的密度函數(shù)，試求隨機(jī)變量均勻分布，令上的，相互獨(dú)立，都服從區(qū)間與設(shè)隨機(jī)變量zyxzyx10由題意，可知 其它0101xxfx 其它0101y

48、yfy ，則有的密度函數(shù)為設(shè)隨機(jī)變量zfyxzz dxxzfxfzfyxz例例 5（續(xù)）（續(xù)）, 20zz，或若 0zfz，若10 z zzdxzf01z dxxzfxfzfyxzxz0 xz1 xz0112 111zzdxzfz 2，若21 z的密度函數(shù)為綜上所述，我們可得yxz10 x10 xz其它021210)(zzzzzfz 例例6 若若x和和y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量 , 具具有相同的分布有相同的分布 n(0,1) , 求求 z=x+y 的概率密度的概率密度.dxxzfxfzfyxz)()()(解解 由卷積公式由卷積公式 222212z xxeedx 22(

49、)4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 22()4212zzxeedx 令令,2ztx得得 zfz 22412zteedt 2412ze 2222122ze 可見可見 z=x+y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 n(0,2).用類似的方法可以證明用類似的方法可以證明: ),(222121nyxz 若若x和和y 獨(dú)立獨(dú)立,),(),(222211nynx 結(jié)論又如何呢結(jié)論又如何呢? 此結(jié)論可以推廣到此結(jié)論可以推廣到n個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形個(gè)獨(dú)立隨機(jī)變量之和的情形,請(qǐng)自行寫出結(jié)論請(qǐng)自行寫出結(jié)論. 若若x和和y 獨(dú)立獨(dú)立 , 具有相同的分布具有相同的分布 n(0,1) , 則則z=x+

50、y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 n(0,2). 有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)有限個(gè)獨(dú)立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布分布.更一般地更一般地, 可以證明可以證明:2iiinx，相互獨(dú)立，如果隨機(jī)變量nxxx21個(gè)實(shí)常數(shù)，為，又naaan21niiixaz1令niiiniiiaanz1221，則二、二、m=max(x,y)及及n=min(x,y)的分布的分布 設(shè)設(shè) x，y 是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，它們的分布函數(shù)分別為布函數(shù)分別為fx(x) 和和 fy(y),我們來求我們來求 m = max(x,y) 及及 n = min(x,y) 的分布函數(shù)的分布

51、函數(shù).fm(z)=p(mz)=p(xz,yz)由于由于 x 和和 y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是得到于是得到 m = max(x,y) 的分的分布函數(shù)為布函數(shù)為: =p(xz)p(yz)fm(z)1. m = max(x,y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)即有即有 fm(z)= fx(z)fy(z) mz xzyz 即有即有 fn(z)= 1-1-fx(z)1-fy(z) =1- -p(xz,yz)fn(z)=p(nz) =1- -p(nz)2. n = min(x,y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)nz xzyz 由于由于 x 和和 y 相互獨(dú)立相互獨(dú)立,于是得到于是得到 n = min(x,y) 的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為: =1- - p(xz)p(yz)fn(z) 設(shè)設(shè) x1,xn 是是 n 個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,它們的它們的分布函數(shù)分別為