浙大概率論與數(shù)理統(tǒng)計課件第三章多維隨機變量及其分布

1、第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機變量二維隨機變量第二節(jié)第二節(jié) 邊緣分布邊緣分布第三節(jié)第三節(jié) 條件分布條件分布第四節(jié)第四節(jié) 相互獨立的隨機變量相互獨立的隨機變量第五節(jié)第五節(jié) 兩個隨機變量的函數(shù)的分布兩個隨機變量的函數(shù)的分布隨機變量及其分布隨機變量及其分布第一節(jié)第一節(jié) 二維隨機變量二維隨機變量二維隨機變量的分布函數(shù)二維隨機變量的分布函數(shù)二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量二維連續(xù)型隨機變量小結(jié)小結(jié)從本講起，我們開始第三章的學習從本講起，我們開始第三章的學習.一維隨機變量及其分布一維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布多維隨機變量及其分布 由于從二維推廣到多維一般無實質(zhì)性的由于從二維推廣到多

2、維一般無實質(zhì)性的困難，我們重點討論二維隨機變量困難，我們重點討論二維隨機變量 .它是第二章內(nèi)容的推廣它是第二章內(nèi)容的推廣. 到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維到現(xiàn)在為止，我們只討論了一維r.v及其分布及其分布. 但但有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠有些隨機現(xiàn)象用一個隨機變量來描述還不夠，而，而需要用幾個隨機變量來描述需要用幾個隨機變量來描述. 在打靶時在打靶時,命中點的位置是由一命中點的位置是由一對對r .v (兩個坐標兩個坐標)（x，y）來確定的）來確定的. 飛機的重心在空中的位置是由三個飛機的重心在空中的位置是由三個r .v (三個坐標三個坐標)（x，y，z）來確定的等）來確定的等等等.一

3、般地一般地, 設設 是一個隨機試驗是一個隨機試驗,e它的樣本空間是它的樣本空間是 ,se 設設 11,xxe 22,xxe ,nnxxe 是定義在是定義在 上的隨機變量上的隨機變量,s由它們構(gòu)成的一個由它們構(gòu)成的一個 維向維向n量量 12,nxxx叫做叫做 維隨機向量維隨機向量n或或 維隨機變維隨機變n量量. 以下重點討論二維隨機變量以下重點討論二維隨機變量.請注意與一維情形的對照請注意與一維情形的對照 .)()(xxpxfxx的分布函數(shù)的分布函數(shù)一維隨機變量一維隨機變量 ,f x ypxxyyp xx yy, ,x y如果對于任意實數(shù)如果對于任意實數(shù)二元二元 函數(shù)函數(shù)稱為二維隨機變量稱為二維

4、隨機變量 的的分布函數(shù)分布函數(shù), ,x y或者稱為隨機或者稱為隨機變量變量 和和 的的聯(lián)合分布函數(shù)聯(lián)合分布函數(shù).yx定義定義1 ,x y設設 是二維是二維隨機變量隨機變量,oxyy yx ,yx yx ,x 將二維隨機變量將二維隨機變量 看成是平面上隨機點看成是平面上隨機點的坐標的坐標, ,x y 那么那么,分布函數(shù)分布函數(shù) 在點在點 處的函數(shù)值處的函數(shù)值就是隨機點就是隨機點 落在下面左圖所示的落在下面左圖所示的,以點以點 為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率為頂點而位于該點左下方的無窮矩形域內(nèi)的概率. ,x y ,x y ,f x y ,x y分布函數(shù)的函數(shù)值的幾何解釋分布函數(shù)的函數(shù)值

5、的幾何解釋xoxx 11211222,yxfyxfyxfyxf 2121,yyyxxxp 隨機點隨機點 落在矩形域落在矩形域 ,x y1212,xxxyyy內(nèi)的概率為內(nèi)的概率為xyo yx,2y1y1x2xxyo yx,1x2xy yx ,1 yx ,2 :,的性質(zhì)的性質(zhì)分布函數(shù)分布函數(shù)yxf ;,.1的不減函數(shù)的不減函數(shù)和和是關(guān)于變量是關(guān)于變量yxyxf ;,212121yxfyxfxxrxxry 時時當當及及對任意固定的對任意固定的 ;,212121yxfyxfyyryyrx 時時當當及及對任意固定的對任意固定的 yx, ,0,1,0.2 yfryyxf對任意固定的對任意固定的且且 .1,

6、0,0, ffxfrx對任意固定的對任意固定的 .0, 0,.3 yxfyxfyxfyxf,),(ijjipyyxxp或隨機變量或隨機變量x和和y 的的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律. ,)(kkpxxpk=1,2, 離散型離散型一維隨機變量一維隨機變量xx 的分布律的分布律 , 0kpkkp1k=1,2, 定義定義2的值是有限對或可列無限多對的值是有限對或可列無限多對,是是離散型隨機變量離散型隨機變量.則稱則稱 ,x y設二維離散型隨機變量設二維離散型隨機變量 ,x y可能取的值是可能取的值是 ,ijx y,1,2,i j ,1,2,i j 記記如果二維隨機變量如果二維隨機變量 ,x y全部可能取到的

7、不相同全部可能取到的不相同稱之為二維離散型隨機變量稱之為二維離散型隨機變量 的的分布律分布律, ,x y二、二維離散型隨機變量二、二維離散型隨機變量ijijijpjip1, 2 , 1, 0二維離散型隨機變量二維離散型隨機變量 的的分布律分布律具有性質(zhì)具有性質(zhì) ,x y12jyyyxy12ixxx11211 ippp12222 ippp12jjijppp也可用表格來表示隨機變量也可用表格來表示隨機變量x和和y 的的聯(lián)合分布律聯(lián)合分布律. 例例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設把一枚均勻硬幣拋擲三次，設x為三次為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù) ，而，而 y 為正面出現(xiàn)次數(shù)與為正面出現(xiàn)次數(shù)

8、與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值 , 求求 (x ,y) 的分布律的分布律 .解解 ( x, y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)px=0, y=3px=1, y=1 px=2, y=1px=3, y=0yx1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 連續(xù)型連續(xù)型一維隨機變量一維隨機變量xx的概率密度函數(shù)的概率密度函數(shù)1)(dxxf xtdtfxfx0)(xf rxxf 定義定義3對于二維隨機變量對于二維隨機變量 ,x y的分布函數(shù)的分布函數(shù) ,

9、f x y則稱則稱 是是連續(xù)型的二維隨連續(xù)型的二維隨 ,x y機變量機變量 , ,fx y函數(shù)函數(shù) 稱為二維稱為二維（x,y )的的概率密度概率密度 ,隨機變量隨機變量 ,yxf x yf u v dudv 存在非負的函數(shù)存在非負的函數(shù) ,fx y如果如果任意任意 有有,x y使對于使對于 稱為隨機變量稱為隨機變量 x 和和 y 的的聯(lián)合概聯(lián)合概 率密度率密度.或或 ;0,.1 yxf 2,1 ;rfx y dxdy ;,.3dxdyyxfgyxpxoygg 則有則有平面上的區(qū)域平面上的區(qū)域是是設設yxyxfyxf),(),(2在在 f (x,y)的連續(xù)點的連續(xù)點 ,.4 2 .,1;fx y

10、 dxdy 例2 設(x,y)的概率密度是(1) 求分布函數(shù)求分布函數(shù) (2)2,0,0,0,.xyexyfx y 其其它它 ,;f x y p yx (2) 求概率求概率 .ouvy yx ,xouvy yx ,x ,yxf x yf u v dudv ,du vuxvy 積分區(qū)域積分區(qū)域區(qū)域區(qū)域 ,0f u v ,0,0u v uv解解 (1)ouvy yx ,xouvy yx ,x 211,0,0,0,.xyeexyf x y 其其它它00 xy或或當當 時時, ,yxf x yf u v dudv 0 故故(2)002yxu vedudv 2002yxvue dvedu 211xyee

11、0,0 xy當當 時時, ,yxf x yf u v dudv 2302xxeedx 1.3 (2) p yx ,y xfx y dxdy 2002xxydxedy 2002xxyedxedy yx xyo 在這一節(jié)中，我們與一維情形相對照，介紹了在這一節(jié)中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量的分布函數(shù)二維隨機變量的分布函數(shù) ,離散型隨機變量的分離散型隨機變量的分布律以及連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù)布律以及連續(xù)型隨機變量的概率密度函數(shù).第二節(jié)第二節(jié) 邊緣分布邊緣分布邊緣分布函數(shù)邊緣分布函數(shù)離散型隨機變量的邊緣分布律離散型隨機變量的邊緣分布律連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度連續(xù)型隨機變量的邊緣

12、概率密度小結(jié)小結(jié) 二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量二維聯(lián)合分布全面地反映了二維隨機變量(x,y)的取值及其概率規(guī)律的取值及其概率規(guī)律. 而單個隨機變量而單個隨機變量x,y也具有自己的概率分布也具有自己的概率分布. 那么要問那么要問:二者之間有二者之間有什么關(guān)系呢什么關(guān)系呢?這一節(jié)里這一節(jié)里,我們就來探求這個問題我們就來探求這個問題 .二維隨機變量二維隨機變量 (x,y)作為一個整體作為一個整體,具有分布函具有分布函數(shù)數(shù) ,f x y而而 和和 都是隨機變量都是隨機變量 ,xy也有各自的分也有各自的分布函數(shù)布函數(shù),分別記為分別記為 ,xyfxfy xfxp xx變量變量 (x,y) 關(guān)于關(guān)于

13、 x 和和 y的邊緣分布函數(shù)的邊緣分布函數(shù).依次稱為二維隨機依次稱為二維隨機 ,yfyp yyp xyyfy 一、邊緣分布函數(shù)一、邊緣分布函數(shù) ,p xx y ,f x一般地，對離散型一般地，對離散型 r.v ( x,y )，則則 (x,y) 關(guān)于關(guān)于x 的邊緣分布律為的邊緣分布律為x和和y 的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為, 2 , 1,),(jipyyxxpijji 11,ijijjjpxx yyp,2,1iixxp1,jjiiyyxxxx二、離散型隨機變量的邊緣分布律二、離散型隨機變量的邊緣分布律ip(x,y) 關(guān)于關(guān)于 y 的邊緣分布律為的邊緣分布律為jyypjiijjiippyyxxp.

14、11, 1,2,j 例例1把一枚均勻硬幣拋擲三次，設把一枚均勻硬幣拋擲三次，設x為三次為三次拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù)拋擲中正面出現(xiàn)的次數(shù) ，而，而 y 為正面出現(xiàn)次數(shù)與為正面出現(xiàn)次數(shù)與反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值反面出現(xiàn)次數(shù)之差的絕對值 , 求求 (x ,y) 的分布律的分布律 .解解 ( x, y ) 可取值可取值 (0,3) , (1,1) , (2,1) , (3,3)px=0, y=3px=1, y=1 px=2, y=1px=3, y=0yx1301 83 8001233 8001 82311221 2311222 31 2 1 8. =3/8=3/8 31 2 1 8 px=0=px=1=

15、px=2=px=3=py=1=py=3=1/8,px=0, y=1+px=0, y=3=3/8,px=1, y=1+px=1, y=3=3/8,px=2, y=1+px=2, y=3px=3, y=1+px=3, y=3=1/8. 30,1kp xk y =3/8+3/8=6/8,=1/8+1/8=2/8. 30,3kp xk y 我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊我們常將邊緣分布律寫在聯(lián)合分布律表格的邊緣上，由此得出邊緣分布這個名詞緣上，由此得出邊緣分布這個名詞.yx1301 83 8001233 8001 8 jp yy ip xx 1 83 83 81 86 82 8由聯(lián)合分布可以

16、確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布. 對連續(xù)型對連續(xù)型 r.v ( x,y ) ，x 和和y 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為則則 ( x,y ) 關(guān)于關(guān)于 x 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為),(yxfdyyxfxfx),()( dyyxfdxxfxfxx,事實上事實上 , ,xxfxfxfx y dy 三、連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度三、連續(xù)型隨機變量的邊緣概率密度 x ( x,y )關(guān)于關(guān)于y 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為dx)y, x(f)y(fy y 例2 設(x,y)的概率密度是其它,xy,x),x(cy)

17、y, x(f00102求求 (1) c的值；的值； （2）兩個邊緣密度。）兩個邊緣密度。= 5c/24 ,c =24/5.100(2)xdxcyx dy 解解 (1) 21,rfx y dxdy 故故yx xy01x 123022cxx dx 例例2 設設 (x,y) 的概率密度是的概率密度是解解求求 (1) c 的值的值; (2) 兩個邊緣密度兩個邊緣密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf dyyxfxfx, 00,.xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy (2)xy0yx 1x 10,0,0.xxxyf x yfx 或或都都有有故故當當 時時當當 時

18、時,01x 暫時固定暫時固定),2(5122xx注意取值范圍注意取值范圍xdyxy0)2(524綜上綜上 , .,0,10,25122其它其它xxxxfx 00,.xxxfxf x y dyf x y dyf x y dy 當當 時時,01x xy0yx 1例例 2 設設(x,y)的概率密度是的概率密度是解解 (2) 求求 (1) c的值的值; (2) 兩個邊緣密度兩個邊緣密度 .其它,00, 10),2(),(xyxxcyyxf dxyxfyfy, .0,0,01yfyxfxyyy故故都有都有對對時時或或當當 .,1011dxyxfdxyxfdxyxfyfyyyy時時當當yx y1暫時固定暫

19、時固定0yx),2223(5242yyy1)2(524ydxxy其它, 010),2223(524)(2yyyyyfy綜上綜上 ,注意取值范圍注意取值范圍 在求連續(xù)型在求連續(xù)型 r.v 的邊緣密度時，往往要求聯(lián)的邊緣密度時，往往要求聯(lián)合密度在某區(qū)域上的積分合密度在某區(qū)域上的積分. 當聯(lián)合密度函數(shù)是分當聯(lián)合密度函數(shù)是分片表示的時候，在計算積分時應特別注意積分限片表示的時候，在計算積分時應特別注意積分限 .下面我們介紹兩個常見的二維分布下面我們介紹兩個常見的二維分布. 1、 設設g是平面上的有界區(qū)域，其面積為是平面上的有界區(qū)域，其面積為a.若二維隨機變量（若二維隨機變量（ x,y）具有概率密度）具

20、有概率密度其它, 0),(,1),(gyxayxf則稱（則稱（x,y）在）在g上服從均勻分布上服從均勻分布. 向平面上有界區(qū)域向平面上有界區(qū)域g上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落上任投一質(zhì)點，若質(zhì)點落在在g內(nèi)任一小區(qū)域內(nèi)任一小區(qū)域b的概率與小區(qū)域的面積成正比，的概率與小區(qū)域的面積成正比，而與而與b的形狀及位置無關(guān)的形狀及位置無關(guān). 則質(zhì)點的坐標則質(zhì)點的坐標 (x,y)在在g上服從均勻分布上服從均勻分布. 2、若二維隨機變量（、若二維隨機變量（x,y）具有概率）具有概率密度密度 則稱（則稱（ x,y）服從參數(shù)為）服從參數(shù)為 的的二維正態(tài)分布二維正態(tài)分布.,2121其中其中均為常數(shù)均為常數(shù) , 且且, 0,

21、021,21211. 記作（記作（ x,y） n( ).221212, ,x ,y 212221122122212211(),exp2 121()()()2xfx y xyy 例例 3 試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度試求二維正態(tài)隨機變量的邊緣概率密度. ,xfxfx y dy 解解22122212()()()2yxy 2222111211()yxx因為因為所以所以 22211222111()2 12212121y x x xfxeedy 212211,1yxt 令令則有則有 22121()22112x txfxeedt 22211222111()2 12212121y x x xfxeed

22、y 2121()21122x e 2121()2112x e x 同理同理 2222()2212y yfye y 可見可見由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.不同的二維正態(tài)分布不同的二維正態(tài)分布,但它們的邊緣分布卻都是一樣的但它們的邊緣分布卻都是一樣的.此例表明此例表明 且不依賴于參數(shù)布，緣分布都是一維正態(tài)分二維正態(tài)分布的兩個邊對應不同的，也就是說，對于給定的 2121 1. 在這一講中，我們與一維情形相對照，介在這一講中，我們與一維情形相對照，介紹了二維隨機變量的邊緣分布紹了二維隨機變量的邊緣分布. 由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布由聯(lián)合分布可以確定邊緣分布;但由邊緣分布

23、一般不能確定聯(lián)合分布但由邊緣分布一般不能確定聯(lián)合分布.2. 請注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系請注意聯(lián)合分布和邊緣分布的關(guān)系:四、小結(jié)四、小結(jié)第三節(jié)第三節(jié) 條件分布條件分布離散型隨機變量的條件分布離散型隨機變量的條件分布連續(xù)型隨機變量的條件分布連續(xù)型隨機變量的條件分布小結(jié)小結(jié)在第一章中，我們介紹了條件概率的概念在第一章中，我們介紹了條件概率的概念 .)()()|(bpabpbap在事件在事件b發(fā)生的條件下事件發(fā)生的條件下事件a發(fā)生的條件概率發(fā)生的條件概率推廣到隨機變量推廣到隨機變量 設有兩個設有兩個r.v x,y ， 在給定在給定y取某個或某些值取某個或某些值的條件下，求的條件下，求x的概率分布的

24、概率分布.這個分布就是條件分布這個分布就是條件分布.一、離散型一、離散型隨機變量隨機變量的條件分布的條件分布 實際上是第一章講過的條件概率概念在另一種實際上是第一章講過的條件概率概念在另一種形式下的重復形式下的重復. 定義定義1 設設 ( x,y ) 是二維離散型隨機變量，對是二維離散型隨機變量，對于固定的于固定的 j，若，若 py = yj 0，則稱，則稱為為在在 y = yj條件下隨機變量條件下隨機變量x的條件分布律的條件分布律.px= xi |y= yj =jjipp，i=1,2, 類似定義在類似定義在 x= xi 條件下條件下隨機變量隨機變量y 的條件分布律的條件分布律. ,ijjp

25、xx yyp yy 作為條件的那個作為條件的那個r.v,認為取值是給定的，認為取值是給定的，在此條件下求另一在此條件下求另一r.v的概率分布的概率分布. 條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的條件分布是一種概率分布，它具有概率分布的一切性質(zhì)一切性質(zhì). 正如條件概率是一種概率，具有概率的正如條件概率是一種概率，具有概率的一切性質(zhì)一切性質(zhì).例如：例如：i=1,2, 0ijp xxyy 11ijip xxyy 解解 依題意，依題意，y=n 表示在第表示在第n次射擊時擊中目次射擊時擊中目標標 , 且在前且在前n-1次射擊中有一次擊中目標次射擊中有一次擊中目標. 首次擊中目標時射擊了首次擊中目標時射擊

26、了m次次 .n n次射擊次射擊擊中擊中2nn- 11.m擊中擊中 例例 2一射手進行射擊，擊中目標的概率一射手進行射擊，擊中目標的概率 射擊進行到第二次擊中目標為止射擊進行到第二次擊中目標為止. 以以 x 表示表示首次擊中目標所進行的射擊次數(shù)首次擊中目標所進行的射擊次數(shù)，以，以 y 表示第二次表示第二次擊中目標時所進行的的射擊次數(shù)擊中目標時所進行的的射擊次數(shù) . 試求試求 x 和和 y 的聯(lián)的聯(lián)合分布及條件分布合分布及條件分布. 1 ,p p 0p x=m 表表 ( n=2,3, ; m=1,2, , n-1)由此得由此得x和和y的聯(lián)合分布律為的聯(lián)合分布律為 由射擊的獨立性知，不論由射擊的獨立

27、性知，不論m(mn)是多少，是多少，px=m,y=n都應都應等于等于n次射擊次射擊擊中擊中2nn-11.m擊中擊中每次擊中目標的概率為每次擊中目標的概率為 ppx=m,y=n=？ 22,1np xm ynpp 22,1np xm ynpp 為求條件分布，先求邊緣分布為求條件分布，先求邊緣分布.x的邊緣分布律是：的邊緣分布律是：( m=1,2, )122)1 (mnnpp122)1 (mnnpp)1 (1)1 (212pppm1)1 (mpp 1,n mp xmp xm yn y的邊緣分布律是：的邊緣分布律是：( n = 2,3, )1122)1 (nmnpp22)1 () 1(nppn 11,

28、nmp ynp xm yn 于是可求得：于是可求得：2222)1 () 1()1 (nnppnpp,11n當當n=2,3, 時，時，m=1,2, ,n-1,nypnymxp聯(lián)合分布聯(lián)合分布邊緣分布邊緣分布 p xm ynn=m+1,m+2, 當當m=1,2, 時，時，,mxpnymxp122)1 ()1 (mnpppp,)1 (1mnpp|mxnyp二、連續(xù)型二、連續(xù)型隨機變量隨機變量的條件分布的條件分布 設設(x,y)是二維連續(xù)型是二維連續(xù)型r.v，由于對任意由于對任意x, y, px=x=0, py=y=0 ，所以不能直接用條件概，所以不能直接用條件概率公式得到條件分布，下面我們直接給出條

29、件率公式得到條件分布，下面我們直接給出條件概率密度的定義概率密度的定義.)(),()|(|yfyxfyxfyyx 設設 x 和和 y 的聯(lián)合概率密度為的聯(lián)合概率密度為 ,fx y 關(guān)于關(guān)于 的邊緣概率密度為的邊緣概率密度為 , yfy ,x yy 則稱則稱 為在為在 的條件下的條件下 ,yfx yfyyy 的的條件概率密度條件概率密度.x記為記為若對于固定若對于固定 0,yfy y的的 ,)(),()|(|xfyxfxyfxxy類似地類似地,可以定義在可以定義在x=x的條件下的條件下y的條件概率密度為的條件概率密度為例例 3：設：設(x,y)服從單位圓上的均勻分布，概率密服從單位圓上的均勻分布

30、，概率密度為度為其它, 01,1),(22yxyxf)|(|xyfxy求求1|, 01|,12),()(2xxxdyyxfxfx解解 x的邊緣密度為的邊緣密度為xoy 當當|x|1時時,有有)(),()|(|xfyxfxyfxxy21)2(1x,1212x2211xyxxoy1|, 01|,12),()(2xxxdyyxfxfx)|(|xyfxy取其它值yxyxx, 011,121222即即 當當 |x|1 時時,有有x作為已知變量作為已知變量這里是這里是y的取值范圍的取值范圍x已知的條件下已知的條件下y 的條件密度的條件密度 例例4 設數(shù)設數(shù) x 在區(qū)間在區(qū)間 (0,1) 均勻分布，當觀察到

31、均勻分布，當觀察到 x=x(0 x1)時，數(shù)時，數(shù)y在區(qū)間在區(qū)間(x,1)上隨機地取值上隨機地取值 .求求 y 的概率的概率密度密度.解解 依題意，依題意，x具有概率密度具有概率密度其它, 010, 1)(xxfx對于任意給定的值對于任意給定的值 x (0 x0 y 0二、例題二、例題即即其它, 00,)(xxexfxx其它, 00,)(yeyfyy)()(),(yfxfyxfyx可見對一切可見對一切 x, y, 均有：均有：故故 x , y 獨立獨立 . 若若(x,y)的概率密度為的概率密度為其它,y, yx,)y, x(f01002情況又怎樣？情況又怎樣？解解),1 (22)(1xdyxf

32、xxyyydxyf0,22)(0 x1 0y1 由于存在面積不為由于存在面積不為0的區(qū)域，的區(qū)域，)()(),(yfxfyxfyx故故 x 和和 y 不獨立不獨立 . 例例2 甲乙兩人約定中午甲乙兩人約定中午12時時30分在某地會面分在某地會面.如如果甲來到的時間在果甲來到的時間在12:15到到12:45之間是均勻分布之間是均勻分布. 乙乙獨立地到達獨立地到達,而且到達時間在而且到達時間在12:00到到13:00之間是均勻之間是均勻分布分布. 試求先到的人等待另一人到達的時間不超過試求先到的人等待另一人到達的時間不超過5分鐘的概率分鐘的概率. 又甲先到的概率是多少？又甲先到的概率是多少？解解

33、設設x為甲到達時刻為甲到達時刻,y為乙到達時刻為乙到達時刻以以12時為起點時為起點,以分為單位以分為單位,依題意依題意,xu(15,45), yu(0,60)其它, 04515,301)(xxfx所求為所求為p( |x-y | 5) ,其它, 0600,601)(xyfy其它, 0600 ,4515,18001),(yxyxf甲先到甲先到的概率的概率由獨立性由獨立性先到的人等待另一人到達的時間不先到的人等待另一人到達的時間不超過超過5分鐘的概率分鐘的概率p(xy)解一解一 45155x5xdxdy18001p( | x-y| 5 ) xy015451060405yx5yx=p( -5 x -y

34、 5)xy01545106040yx p(xy) 451560 xdxdy180011 2. 1 6. 解二解二5| yx |dxdy18001p(x y)1 6. p( | x-y| 5 ) 在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等在某一分鐘的任何時刻，信號進入收音機是等可能的可能的. 若收到兩個互相獨立的這種信號的時若收到兩個互相獨立的這種信號的時間間隔小于間間隔小于0.5秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾秒，則信號將產(chǎn)生互相干擾. 求求發(fā)生兩信號互相干擾的概率發(fā)生兩信號互相干擾的概率.類似的問題如：類似的問題如：盒內(nèi)有盒內(nèi)有 個白球個白球 , 個黑球個黑球,有放回地摸球有放回地摸球 例例3 兩次兩

35、次. 設設第第1次摸到白球次摸到白球第第1次摸到黑球次摸到黑球第第2次摸到白球次摸到白球第第2次摸到黑球次摸到黑球試求試求(3) 若改為無放回摸球若改為無放回摸球,解上述兩個問題解上述兩個問題.nm01x01y布律的聯(lián)聯(lián)合分布律和邊緣),( )1(yx的相互獨立性),( )2(yx判斷判斷 yx01 222mnmnnmnjp ip 222mmnmnmn01m mnn mnn mn m mn 解解如下表所示如下表所示 :(2)由上表可知由上表可知ijijppp ,0,1i j 布律的聯(lián)聯(lián)合分布律和邊緣),( )1(yx。相互獨立),(故yx表所示表所示 :yx01jp ip 01nmn mmn

36、11m mmnmn mmn nmn 1mnmnmn 1mnmnmn 11n nmnmn 布律的聯(lián)聯(lián)合分布律和邊緣),( )3(yx由上表知由上表知 : 1(0,0),1m mp xymnmn 0,mp xmn 0.mp ymn 可見可見 (0,0)00 .p xyp xp y故故x，y不相互獨立。不相互獨立。三、正態(tài)隨機變量的獨立性三、正態(tài)隨機變量的獨立性22222121212122212121exp121yyxxyxf， xexfxx21212121聯(lián)合分布密度為),n( 服從正 態(tài)從正 ),( 設二維隨機變量2121yx由前知由前知x的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為222221212121

37、exp21yxyxf， yeyfyy22222221 yfxfyx相互獨立；與這表明，隨機變量yxy的邊緣分布密度為的邊緣分布密度為時有所以，當 0 yfxfyxfyx，即，2121yxfff，212212121121重要結(jié)論：綜上所述，我們有以下反之，如時反之，如時x與與y相互獨立，則對任意的相互獨立，則對任意的x和和y有有特別地，有特別地，有0由此得，0 件是相互獨立的充分必要條yx二維維正態(tài)隨機變），（四、一般四、一般n n維隨機變量的一些概念和結(jié)果維隨機變量的一些概念和結(jié)果 112212 ;,nnnnesexx exxexxesnx xxn維隨機變量設 是一個隨機試驗，它的樣本空間是設

38、是定義在 上的隨機變量，由它們構(gòu)成的一維個隨維向量稱為機變量。 1212112212, (,)(,),nnnnnnx xxnf x xxp xx xxxxnxxx分布函數(shù) 對于任意 個實數(shù)， 元函數(shù)： 稱為 維隨機變量的分布函數(shù)。1、2、12121212112212 ,(,) 1,2, (,) 1,2, 1,2,nnniinijiinnijnxxxxxxip xxxxxxjninxxx離散型隨機變量的分布律設所有可能取值為 稱為 維離散型隨機變量的分布律。111212121212( ,), ( ,)( ,)nnnnxxxnnnf x xxx xxf x xxf x xx dxdxdx 連續(xù)型隨

39、機變量的 若存在非負函數(shù)，使得對于任概意實數(shù)率密度3、4、 邊緣分布邊緣分布 如：1212,(,)nnxxxf x xx的分布函數(shù)已知，111()(,)xfxf x 12,(1)nx xxkkn 則的維邊緣分布函數(shù)就隨之確定。12(,)1212( ,)( , , )x xfx xf x x111223( )( ,)xnnfxf x xx dx dxdx12(,)121234( , )( , ,)x xnnfx xf x xx dxdxdx5、 相互獨立相互獨立 12121212, (,)( )()()nnnxxxnx xxf xxxfx fxfx若對于所有的有：12,nxxx則稱是相互獨立的

40、1212, ,mnx xxy yy與的獨立性12112,( ,),mmx xxf x xx設的分布函數(shù)為12212,(,),nny yyfyyy的分布函數(shù)為12121212, ,( ,)mnmnx xxy yyf x xxy yy的分布函數(shù)為1212112212( , ,)( ,)( ,)mnmnf x xx y yyf x xx f y yy若1212,mnx xxy yy稱與相互獨立。6、定理1：定理2：1212,mnx xxy yy設與相互獨立，1,2,1,2,ijx imyjn則與相互獨立。1212,mnh x xxg y yy設和是連續(xù)函數(shù)，1212,mnh x xxg y yy則和

41、相互獨立。 這一講，我們由兩個事件相互獨立的概念這一講，我們由兩個事件相互獨立的概念引入兩個隨機變量相互獨立的概念引入兩個隨機變量相互獨立的概念. 給出了各給出了各種情況下隨機變量相互獨立的條件。種情況下隨機變量相互獨立的條件。五、小結(jié)五、小結(jié)第五節(jié)第五節(jié) 兩個隨機變量的函數(shù)的分布兩個隨機變量的函數(shù)的分布 的分布的分布 m=max(x,y)及及n=min(x,y)的分布的分布 小結(jié)小結(jié) zxy 在第二章中，我們討論了一維隨機變量在第二章中，我們討論了一維隨機變量函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進一步討論函數(shù)的分布，現(xiàn)在我們進一步討論: 當隨機變量當隨機變量 x, y 的聯(lián)合分布已知時，如何的聯(lián)合分布已知時

42、，如何求出它們的函數(shù)求出它們的函數(shù)z = g ( x, y ) 的分布的分布?引言引言 例例1 若若 x、y 獨立，獨立，p(x=k)=ak , k=0 , 1 , 2 , p(y=k)=bk , k=0,1,2, ,求求 z=x+y 的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解 )()(ryxprzpriirypixp0)()(=a0br+a1br-1+arb0 riiryixp0),(由獨立性由獨立性r=0,1,2, 一、一、 的分布的分布 zxy離散型情形離散型情形解解 依題意依題意 riiryixprzp0),()( 例例2 若若 x 和和 y 相互獨立相互獨立,它們分別服從參數(shù)為它們分別服從參數(shù)為的泊

43、松分布的泊松分布, 證明證明z=x+y服從參數(shù)為服從參數(shù)為于是于是i = 0 , 1 , 2 , j = 0 , 1 , 2 , !)(ieixpi11 !)(jejypj22 12, 12 的泊松分布的泊松分布.riiryixprzp0),()(ri 0i - r2-i1-i)!-(rei!e21rire0i - r2i1)(i)!-(ri!r!21,)(!21)(21rrer = 0 , 1 , 即即z服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布.12 設設(, )x y是二維離散型隨機變量是二維離散型隨機變量, ,其聯(lián)合分布列為其聯(lián)合分布列為, (1,2,;1,2,)iji jp xa y

44、bpij(, )zg x y則則 是一維的離散型隨機變量是一維的離散型隨機變量 其分布列為其分布列為 ( ,), (1,2,;1,2,)iji jp zg a bpij例例 3 3 設設 的聯(lián)合分布列為的聯(lián)合分布列為 (, )x y yx01-20.20.3-10.1010.30.1分別求出（分別求出（1）x+y；（；（2）x-y；（；（3）x2+y-2的的分布列分布列解解 由（由（x x，y y）的聯(lián)合分布列可得如下表格）的聯(lián)合分布列可得如下表格 (0,-2)(0,-1)(0,1)(1,-2)(1,-1)(1,1)概率0.20.10.30.300.1-2-11-10221-1320-4-3-

45、1-3-20(, )x yxyxy22xy 解解 得所求的各分布列為得所求的各分布列為 x+y-2-1012概率0.20.400.30.1x-y-10123概率0.30.10.10.20.3x2+y-2-4-3-2-10概率0.20.400.30.1 例例4 設設x和和y的聯(lián)合密度為的聯(lián)合密度為 f (x,y) , 求求 z=x+y 的概率密度的概率密度. ddxdyyxf),(這里積分區(qū)域這里積分區(qū)域 d=(x, y): x+y z解解z=x+y的分布函數(shù)是的分布函數(shù)是: zfzp zz p xyz它是直線它是直線 x+y =z 及其左下方的半平面及其左下方的半平面.xyzy0連續(xù)型情形連續(xù)

46、型情形 化成累次積分化成累次積分,得得zyxzdxdyyxfzf),()( yzzdydxyxfzf),()( 固定固定z和和y,對方括號內(nèi)的積分作變量代換對方括號內(nèi)的積分作變量代換, 令令 x=u-y,得得 zzdyduyyufzf),()( zdudyyyuf),(變量代換變量代換交換積分次序交換積分次序xyzxy0y由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系由概率密度與分布函數(shù)的關(guān)系, 即得即得z=x+y的概率的概率密度為密度為: 由由x和和y的對稱性的對稱性, fz (z)又可寫成又可寫成 dyyyzfzfzfzz),()()(以上兩式即是以上兩式即是兩個隨機變量和的概率密度的一般公式兩個隨機變量和的

47、概率密度的一般公式.dxxzxfzfzfzz),()()( zzdudyyyufzf),()( 特別地特別地，當，當 x 和和 y 獨立，設獨立，設 (x,y) 關(guān)于關(guān)于 x , y 的邊的邊緣密度分別為緣密度分別為 fx(x) , fy(y) , 則上述兩式化為則上述兩式化為: dyyfyzfzfyxz)()()(dxxzfxfzfyxz)()()(下面我們用下面我們用卷積公式來求卷積公式來求z=x+y的概率密度的概率密度. 卷積公式卷積公式例例 5解：的密度函數(shù)，試求隨機變量均勻分布，令上的，相互獨立，都服從區(qū)間與設隨機變量zyxzyx10由題意，可知 其它0101xxfx 其它0101y

48、yfy ，則有的密度函數(shù)為設隨機變量zfyxzz dxxzfxfzfyxz例例 5（續(xù)）（續(xù)）, 20zz，或若 0zfz，若10 z zzdxzf01z dxxzfxfzfyxzxz0 xz1 xz0112 111zzdxzfz 2，若21 z的密度函數(shù)為綜上所述，我們可得yxz10 x10 xz其它021210)(zzzzzfz 例例6 若若x和和y 是兩個相互獨立的隨機變量是兩個相互獨立的隨機變量 , 具具有相同的分布有相同的分布 n(0,1) , 求求 z=x+y 的概率密度的概率密度.dxxzfxfzfyxz)()()(解解 由卷積公式由卷積公式 222212z xxeedx 22(

49、)4212zzxeedx 22()212zxzxeedx 22()4212zzxeedx 令令,2ztx得得 zfz 22412zteedt 2412ze 2222122ze 可見可見 z=x+y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 n(0,2).用類似的方法可以證明用類似的方法可以證明: ),(222121nyxz 若若x和和y 獨立獨立,),(),(222211nynx 結(jié)論又如何呢結(jié)論又如何呢? 此結(jié)論可以推廣到此結(jié)論可以推廣到n個獨立隨機變量之和的情形個獨立隨機變量之和的情形,請自行寫出結(jié)論請自行寫出結(jié)論. 若若x和和y 獨立獨立 , 具有相同的分布具有相同的分布 n(0,1) , 則則z=x+

50、y 服從正態(tài)分布服從正態(tài)分布 n(0,2). 有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)有限個獨立正態(tài)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布分布.更一般地更一般地, 可以證明可以證明:2iiinx，相互獨立，如果隨機變量nxxx21個實常數(shù)，為，又naaan21niiixaz1令niiiniiiaanz1221，則二、二、m=max(x,y)及及n=min(x,y)的分布的分布 設設 x，y 是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分是兩個相互獨立的隨機變量，它們的分布函數(shù)分別為布函數(shù)分別為fx(x) 和和 fy(y),我們來求我們來求 m = max(x,y) 及及 n = min(x,y) 的分布函數(shù)的分布

51、函數(shù).fm(z)=p(mz)=p(xz,yz)由于由于 x 和和 y 相互獨立相互獨立,于是得到于是得到 m = max(x,y) 的分的分布函數(shù)為布函數(shù)為: =p(xz)p(yz)fm(z)1. m = max(x,y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)即有即有 fm(z)= fx(z)fy(z) mz xzyz 即有即有 fn(z)= 1-1-fx(z)1-fy(z) =1- -p(xz,yz)fn(z)=p(nz) =1- -p(nz)2. n = min(x,y) 的分布函數(shù)的分布函數(shù)nz xzyz 由于由于 x 和和 y 相互獨立相互獨立,于是得到于是得到 n = min(x,y) 的分布的分布函數(shù)為函數(shù)為: =1- - p(xz)p(yz)fn(z) 設設 x1,xn 是是 n 個相互獨立的隨機變量個相互獨立的隨機變量,它們的它們的分布函數(shù)分別為