34導數(shù)與微分

1、3.4 隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法 一、隱函數(shù)求導法一、隱函數(shù)求導法 二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法 三、小結(jié)三、小結(jié)一、隱函數(shù)的導數(shù)一、隱函數(shù)的導數(shù).013決決定定了了一一個個函函數(shù)數(shù)關關系系方方程程 yx隱函數(shù)隱函數(shù)31xy 隱函數(shù)顯化隱函數(shù)顯化顯函數(shù)顯函數(shù)0333 axyyx1 xeyxy定義定義: :.)(稱為隱函數(shù)稱為隱函數(shù)由方程所確定的函數(shù)由方程所確定的函數(shù)xyy .)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxf)(xfy 隱函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則: :用復合函數(shù)求導法則直

2、接對方程兩邊求導用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.例例1 1.,00 xyxdxdydxdyyeexy的導數(shù)的導數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 例例2 2.,)23,23(,333線通過原點線通過原點在該點的法在該點的法并證明曲線并證明曲線的切線方程的切線方程點點上上求過求過的方程為的方程為設曲線設曲線ccxyyxc 解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)

3、23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點顯然通過原點.例例3 3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設設yyxyx 解解求導得求導得方程兩邊對方程兩邊對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導得求導得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(04)(122123222 yyyyyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy看書：看書：p.89:例例1，例，例2.4323232為為常常數(shù)數(shù)兩兩坐坐標標軸軸之之

4、間間的的線線段段長長上上任任意意一一點點的的切切線線介介于于證證明明：曲曲線線ayx 例例, 0323233 yyx解解.3xyy .| ),(300),(0000 xyyyxyx 為為曲曲線線上上的的任任一一點點，有有設設過該點的切線方程為過該點的切線方程為),(03000 xxxyyy 03100310310310yxxyyxxy 或或.32313100ayxyayxax或或.4323232為為常常數(shù)數(shù)兩兩坐坐標標軸軸之之間間的的線線段段長長上上任任意意一一點點的的切切線線介介于于證證明明：曲曲線線ayx 例yayxax.31032310

5、32yaxayx和和軸軸上上的的截截距距分分別別是是軸軸和和切切線線在在231032231032)()(:yaxa 的的線線段段長長為為切切線線介介于于兩兩坐坐標標軸軸之之間間. a 為一常數(shù)為一常數(shù).323232ayx 附附錄錄：曲曲線線 taytax33sincos其參數(shù)方程為其參數(shù)方程為稱為稱為星形線星形線或或內(nèi)擺線內(nèi)擺線.練習：練習：p.98:17(1)(3)., 1)1(1722dxdyyxyx 022 yyxyyx.22yxyxy ., 1)3(1722dxyddxdyyx , 0221 yyx.xyy )(xydxdy xxyyyx212 xxyyxyx2 xxyx2 .21xx

6、 二、對數(shù)求導法二、對數(shù)求導法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)方法求出導數(shù).-對數(shù)求導法對數(shù)求導法適用范圍適用范圍: :.)()(的情形的情形數(shù)數(shù)多個函數(shù)相乘和冪指函多個函數(shù)相乘和冪指函xvxu例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 x142)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求

7、設設例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 練習：練習：p.98:18(1)(3)(5).1312ln)1(3 xxxy)13ln(31)12ln(21l

8、n xxxxxy1311211 xxxxxy)(ln)3( )ln(ln xxe )1ln1)(ln(ln)ln(lnxxxxeyxx ).ln1)(ln(ln)(lnxxxx )ln(lnlnxxy 又解：又解：兩邊對兩邊對x求導，求導，xxxxyy1ln1)ln(ln xxxxy1)5( xxxxeelnln 2lnlnln1)1(lnxxxxexxxeyxxxx ).ln1()1(ln21xxxxxx 作業(yè)：作業(yè)：p.98:17(2)(4),18(2)(4)(5)(6)三、小結(jié)三、小結(jié)隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則: : 直接對方程兩邊求導直接對方程兩邊求導;對數(shù)求導法對數(shù)求導法: : 對方程兩邊取對數(shù)對方程兩邊取對數(shù),按隱函數(shù)的求按隱函數(shù)的求導法則求導導法則求導;練練 習習 題題二、二、 求下列方程所確定的隱函數(shù)求下列方程所確定的隱函數(shù) y y 的二階導數(shù)的二階導數(shù)22dxyd：1 1、 yxey 1；