第十八章 多元函數(shù)微分學基礎(chǔ)

1、l第一節(jié) 空間解析幾何簡介l第二節(jié) 多元函數(shù)的概念l第三節(jié) 偏導數(shù)與全微分l第四節(jié) 復合函數(shù)與隱函數(shù)微分法l第五節(jié) 多元函數(shù)的極值第十八章 多元函數(shù)微分學基礎(chǔ) 在第二篇中討論了一元函數(shù)的微積分.但在自然科學和工程技術(shù)中，很多問題都與多種因素有關(guān)，反映到數(shù)學上就是多元函數(shù)的問題.本篇將在一元函數(shù)的基礎(chǔ)上討論多元函數(shù)的微積及其應(yīng)用，而本章主要介紹空間解析幾何的基本知識和多元函數(shù)的微分及一些簡單的應(yīng)用.,.,.,(181)ooxyzxyzzxyz 過空間一定點作三條兩兩互相垂直的數(shù)軸(一般取它們的單位長度相同),就構(gòu)成了一個間標點 叫坐標原點,這三條數(shù)軸統(tǒng)稱為標軸,分別叫作 軸軸和 軸通常 軸軸在水

2、平平面上軸是鉛垂直線它們的正身般符合右手法則,即以右手握 軸 當四指從 軸的正向以不大于90的角度轉(zhuǎn)到 軸的正向時 伸直的大拇指的指向就是軸的正向 見圖空直角坐系.坐oxyz一、空間直角坐標系一、空間直角坐標系,.xyyzzxxoyyozzox 三條坐標嶄中任兩條可確定一個平面,稱為坐標面,其三個.由 軸和 軸軸和 軸軸和 軸所確定的坐標面分別叫作面面和面 建立了空間直角坐標系后，就可以討論間的與三個有序數(shù)之間的對應(yīng)關(guān)系. .,(), , ., , ., , ,.ppxaybzcxyzx y zpx y zx y zxxayybzzcp 設(shè) 空間一點 過點 分別作與三條坐標軸垂直的平面,它們分

3、別交 軸于 點 交 軸于 點 交 軸于 點 見圖 這三點在軸軸 軸上人坐標依次為這樣 空間的點 就惟一地確定了一個有序組反之 給定有序數(shù)組在 軸上取坐標為 的點在 軸上取坐標為 的點在 軸上取坐標為 的點再過這三點分別作垂直于三條坐標軸的平面,則這三個平面必然交于點 這, ,., ,.( , , ),px y zx y zpp x y z樣建立空間的點 和有序數(shù)組之間的一一對應(yīng)關(guān)系有序數(shù)組稱為點 的坐標記作它們分別稱為橫坐標 縱坐標和豎坐標.18-2,(0,0,0),( , ,0),(0, , ),0,xoyx yyozy z zoxxz 顯然 原點坐標為面上的坐標為面上上的坐標為面上點的坐標

4、為(). 三個坐標面把空間分成了八部分，每部分叫做一個卦限（見圖18-3）.這八個卦限次序規(guī)定如下:圖18-2 點p位置xaybpco:( , , )|0,0,0;x y zxyz第一卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第二卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第三卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第四卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第五卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第六卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第七卦限:( , , )|0,0,0;x y zxyz第八卦限下面將平面上兩點間的距離公式推廣到

5、空間（證明從略）1111222212(,)(,),mxy zmxyzmm設(shè)和為空間兩點 則點與間的距離為22212212121()()()(18-1)m mxxyyzz 圖18-3 八卦限示意圖oxyzvvvv,( 3,2, 2)3.xpa 在 軸上求一點使它到點的距離為例1解,( ,0,0)3,(18 1)xp xpa 因為所求的點在 軸上 故可設(shè)它為由題意得由式得222(3)(02)(02)3x122,4xx 解得,(2,0,0)(4,0,0)因此 所求點為或.1.曲面方程的概念( , , )., ,( , , )0.,( , , )0,( , , )0()().mx y zx y zf

6、x y zfx y zf x y z 建立曲面方程的方法與平面解析幾何中建立平面曲線方程的方法相似.在空間直角坐標系中,把曲面看成空間一動點的運動軌跡根據(jù)運動規(guī)律可以得到一個含的三元方程這樣 在曲面上的點,其坐標滿足這個方程,并且坐標滿足這個方程的點都有在曲面上.因此,稱此方程為曲面方程 稱該曲面為方程的圖形或軌跡 見圖 這樣,就把曲面圖形與三元方程一一對應(yīng)起來.18-4二、曲面及其方程二、曲面及其方程 一般地，把由三元一次方程表示的曲面叫做一次曲面，也和為平面；由三元二次方程表示的曲面叫做二次曲面.下面簡單介紹平面和一些常見的二次曲面方程.圖18-4 曲面示意xyzo( , , )m x y

7、 z2.平面方程111122,22( , , )( , ,),(,),.m x y zm a b cma b cm 一動點到兩定點距離相等該動點的運動軌跡是一個平面下建立該平面方程由兩點距離公式知2221111()()()m mxaybzc2222222()()()m mxaybzc12222222111222,()()()()()()m mm mxaybzcxaybzc又因為故知2222221212122221112()2()2()0aa xbb ycc zabcabc兩邊平方整理得1212122222222221112 (),2 (),2 (),aaabbbcccdabcabc令則 上 式

8、 變 成0(6-2)axbyczd , , , ,;.a b c dx y zd稱上式為平面的一般方程,式中,分別為變量的系數(shù)為常數(shù)項123( ,0,0),(0, ,0),(0,0, )(, ,0)(185)p apbpca b c 求過點的平面方程 其中見圖例2圖18-5 例2示意圖xyzcab3p2p1p(62)0,(0)axbyczdd 由設(shè)所求平面方程為 123,.p p p因為點在所求平面上 所以它們的坐標都滿足所設(shè)方程于是有000aadbbdccd,dddabcabc 解此方程組得0dddxyzdabc將其代入所設(shè)方程中,有1dybzabc消去 并整理得, ,18a b cxyz

9、稱上式為平面的截距式方程,式中,分別為平面在軸, 軸軸上的截距(見圖-5)解 求三個坐標平面的方程.例3,00.,0.xoyxyzzxoyxoyz 顯然在平面上所有點的坐標無論 和 取何值 總是而滿足的點必然在平面上所以平面方程為,0,0.yozxzoxy同理平面方程為平面方程為解11().zz z 作為常數(shù) 的圖形例4111,.,18zzxyzzxyzzxoy 觀察發(fā)現(xiàn)在方程中無變量 和這表明表示的圖形上點的坐標,無論 和 取何值 總有因此 該圖形是一個與平面平行的平面(見圖-6).解3.球面方程00,.mmrmr空間一動點到定點的距離為一定值該動點的運動軌跡叫作球面,定點叫球心,定值 叫作

10、球面半徑18下面建立該球面方程(見圖-7)圖18-7 球面示意圖oxzy0m圖18-6 例4示意圖xyz1zo0000(,)( , , ).mx y zm x y z設(shè)球心坐標為在球面上任取一點由兩點距離公式知2220000()()()m mxxyyzz2222000()()()xxyyzzr故得0., ,.mrx y z上式就是以為球心以 為半徑的球面方程它是關(guān)于變量的三元二次方程2222,rxyzr顯然 球心在原點半徑為 的球面方程為解4.柱面方程lclc 動直線 沿給定曲線 平行移動形成的曲面叫做柱面.其中動直線 叫柱面的母線,動曲線 叫柱面的準線.在這里只討論母線平行于坐標軸的柱面.(

11、18-8)xoyz 下面建立以平面上的曲線為準線,以平行于 軸的直線為母線的柱面方程 見圖x圖18-8 柱面示意圖yzmmol( , , ),( , ,0),( ,0),( , )0,.( , )0,( , , )( , )0;,m x y zmzllxoymx ymxyccf x ymcf x yzm x y zf x yzxoy 在柱面上任取一點過點作平行于 軸的直線該直線 與平面交于一點由柱面定義可知一定在準線 上 準線 的方程已知 設(shè)為則一定滿足準線 的方程因為不含變量 所以柱面上的點的坐標也滿足方程而不在柱面上的點 過該點平行于 軸的直線時 該直線與平面的交點,( , )0,( ,

12、)0.( , )0.,( , )0.cf x yf x ymf x yf x yxoycz一定不在準線上 所以該點坐標不滿足方程即不在柱面上的點坐標一定不滿足方程由柱面上點的任意性可知,柱面上任意點都滿足方程因此 方程在空間表示以平面上曲線 為準線以平行于 軸的直線為母線的柱面222.xyr 指出在空間直角坐標系下是什么圖形例5222222,.xyrzxyrxoyz 因為中不含變量 所以表示一個以平面上圓為準線以平行于 軸的直線為母線的柱面.解稱這樣的柱面為圓柱面（見圖18-9）22222,1,.yxabypx 類似 稱為橢圓為拋等柱面物柱面,( , )0,. ( , )0.f y zyozx

13、f x zzoxy 同理在空間表示以平面上的曲線為準線以平行于軸的直線為母線的柱面表示以平面上的曲線為準線,以平行于 軸的直線為母線的柱面圖18-9 例5示意圖oxzry1.空間曲線及其方程( , , )0( , , )0,f x y zg x y z 任何一條空間曲線都可以看成是兩個曲面的交線.設(shè)和是兩個曲面方程 它們交線上的每一點的坐標都同時滿足上述兩個曲面方程;反過來,曲時滿足上述兩個曲面方程的點都在這條交線上.因此,聯(lián)立方程組( , , )0( , , )0f x y zg x y z(18 10)l 叫做空間曲線 的一般方程見圖x1810l圖 空間直線oyzl( , , )0f x

14、y z ( , , )0g x y z 三、空間曲線及方程三、空間曲線及方程 下列方程表示什么曲線:例622225(1);4xyzz0(2);0 xy0(3).0 xyxy222(1)2554.xyzzxoy 方程表示以原點為球心,以 為半徑的球面,方程表示平行平面的一個平面222224259zxyzxy將代入得222425.(0,0,4)3;zxyzz這說明平面與球面相交它們的交線是在平面 =4上以為圓心以 為半徑的圓(2)00.,;xyozyzoxyozzoxz 為平面,為平面平面與平面相交 它們的交線顯然就是 軸(3)00.xyxy和均表示平面000,.(2),000 xyxxyzxyy

15、xy解方程組得由第小題可知仍表示 軸.解:(18-5) 注 空間曲線方程可以用與它等價的任何兩個方程聯(lián)立的方程組代替,即空間曲線表示的方法不惟一.,空間曲線除用兩個曲面方程聯(lián)立表示外 還可以用參數(shù)方程的形式.( )( ),()(18-6)( )xx tyy ttzz t為參數(shù) ,(186)表示空間曲線 稱方程為空間曲線的參數(shù)方程.2.空間曲線在坐標面上的投影( , , )0( , , )0lf x y zg x y z設(shè)空間曲線 的方程為(187)( ,)0.zx yz 由 方 程 組消 去 后 得 到 方 程上 式 表示 母 線 平 行 于 軸 的 柱 面(188)(187)( , )0,(

16、 , )0.zlx yx yl 因為是由式消去 后得到,所以,空間曲線 上的點一定在柱面上 或者說 柱面包含曲線,(188),()lxoyxoylxoy 因此 稱為曲線 關(guān)于平面的投影柱面 投影柱面與平面的交線叫作空間曲線 在平面上的投影曲線 簡稱投影( , )0(18-8)0 x yz記作 2221:.12xyzlxoyz 求曲線在平面上的投影例72221,12xyzzz將方程組中的變量 消去 得投影柱面2222334,40 xyxylxoyz于是曲線 在平面上的投影為解思考題1.空間直角坐標系是如何形成的,并且具有何特點?答案答案2.平面上與空間中兩點間的距離公式分別是什么?答案答案3.點

17、 1,-2,3 關(guān)于各坐標面的對稱點的坐標分別是什么?答案答案課堂練習題1.求點3,4,5 到 軸的距離.mz答案答案224?2.說明表示什么圖形xy答案答案 在第十四章中，討論了含有一個自變時的函數(shù)，即一元函數(shù)，但在實際問題中，還會遇到含有兩個或兩個以上自變量的函數(shù)，這就是本節(jié)所要討論的多元函數(shù).在這里重點介紹二元函數(shù).一、二元函數(shù)的定義先看下面的例子.2vrhvr h 圓柱體的體積和它的底面積半徑 及高 之間的關(guān)系為例1,.,(0,0)( , ),.vr hr hrhr hv這里, 是隨著的變化而變化的當在一定范圍內(nèi)內(nèi)取定一對數(shù)值時的對應(yīng)值就隨之確定(18-11) 三角形面積 見圖例21s

18、in2sbca,.sb ca其面積 依賴于三角形的兩條邊及其夾角圖18-11 例2示意圖abccba一般地，二元函數(shù)的定義如下.,( , )x y zx yzzx yzf x y義 設(shè)有變量 , ,如果當變量 , ,在一定范圍內(nèi)任意取定一對數(shù)值時,變量 按照一定法則 總有惟一確定的數(shù)值與之對應(yīng) 則稱 是的二元函數(shù),記作定1,;,x yzx y式中,叫作自變量叫作因變量.的變化范圍叫作函數(shù)的定義域.( , , )wf x y z類似,可定義三元函數(shù)及三元以上的函數(shù).二元及二元以上的函數(shù)稱為多元函數(shù).( ),( , )( , ),( , )( ),()yf xpxzf x yxoyp x yxyz

19、f x yzf pzp 類似一元函數(shù)用數(shù)軸上點 來表示數(shù)值 而二元函數(shù)也可以用平面上的點來表示一對有序?qū)崝?shù)于時函數(shù)可簡記為這時 也可稱為點 的函數(shù).三元函數(shù)是否也可以看作點的函數(shù)00( , )(,)zf x yx y二元函數(shù)在點處的函數(shù)值記為000000(,)(,),x xy yf x yz x yz或22( 2,3)23,.zxxyyz 設(shè)求例332( 2,3)( 2)2 ( 2) 33 331.z 解 對于一元函數(shù)，一般假定在某個區(qū)間上有定義進行討論.對于二元函數(shù)，類似地假定它在某平面區(qū)域內(nèi)有定義進行討論. 所謂區(qū)域（平面的）是指一條或幾條曲線圍成具有連通性的平面一部分（見圖18-12），

20、所謂的連通性是指如果一塊部分平面內(nèi)任意兩點可用完全屬于此部分平面的折線連結(jié)起來.圖18-12 區(qū)域示意 若區(qū)域能延伸到無限遠處，就稱這區(qū)域是無界的，如圖18-12(c)所示，否則，它總可以被包含在一個以原點o為中心，而半徑適當大的圓內(nèi)，這樣的區(qū)域稱為有界的，如圖18-12(a)、(b)所示，圍成區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界. .1d1d( )a 有界區(qū)域2d( )b 有界區(qū)域3d( )c 有界區(qū)域閉區(qū)域：連同邊界在內(nèi)的區(qū)域的曲線叫區(qū)域的邊界.開區(qū)域：不包括邊界內(nèi)的區(qū)域叫開區(qū)域.d一般沒有必要區(qū)分開或閉時,通稱區(qū)域,用字母 表示22,0(1813)1(1814)xyxy 例如 由所確定的區(qū)域是無界開區(qū)

21、域 見圖而由所確定的區(qū)域是有界閉區(qū)域 見圖2218141xy圖 所確定區(qū)域1111xyo18130 xy圖 所確定區(qū)域oxy0 xy000(,)(0)pxy 某點的鄰域是指以該點為中心的一個圓形開區(qū)域.如點的一個鄰域是指2200( , )|() +()x yxxyy00(, ),()u pu p記作在不需要強調(diào)鄰域的半徑 的時 也可簡記為 為方便使用，將開區(qū)域內(nèi)的點稱為內(nèi)點，將區(qū)域邊界上的點稱為邊界點.ln().zxy 求函數(shù)的定義域例4,0,ln()(1836)xyzxy 為使函數(shù)有意義 只需即函數(shù)的定義域是平面點集 見圖解22arcsin().zxy 求函數(shù)的定義域例52222,1,arc

22、sin()(1837)x yxyzxy 根據(jù)反正弦函數(shù)定義只需要滿足即函數(shù)的定義域為平面點集 見圖,22( , )|1dx yxy二、二元函數(shù)的幾何意義,( ),;( , ),.,yf xzf x y已經(jīng)知道 一元函數(shù)的圖形 是平面上的一條曲線對于二元函數(shù)的圖形 則為空間的一個曲面 在前面講過的平面和曲面 都可以為二元函數(shù)圖形的例子.222,(18 15.)zrxyrxoy 函數(shù)的圖形是以原點為中心為半徑,在平面上的半個球面 見圖例6圖18-15 例6示意圖yxzro三、二元函數(shù)的極限和連續(xù)性1.二元函數(shù)的極限 函數(shù)的極限是研究當自變量變化時，函數(shù)的變化趨勢，但是二元函數(shù)的自變量有兩個，所以自

23、變量的變化過程比一元函數(shù)要復雜得多.00000000( , )(,)( , )( ,)(,)(, )(,)x yx yzf x yp xyp x yp xyp x y現(xiàn)在把一元函數(shù)的極限概念推廣到二元函數(shù)上.考慮當點趨近于點時函數(shù)的變化趨勢.雖然點趨近于點的方式是多種多樣的,如果用 表示點與點之間的距離2200()()xxyy000,000( , )(,),0( , )(,).,x yx yxx yyx yx y那么的過程不論多么復雜 總可以用或來表示自變量的變化過程這樣 可以提出二元函數(shù)極限的定義如下.00000000000( , )(,)(,).( , )(,),( , ),( , ),z

24、f x yp x yp x yp x yp x yf x yaaf x yxxyy義 設(shè)在點附近有定義 在點可以沒有定義 如果當趨向點時 對應(yīng)的函數(shù)值總是趨向于一個確定的常數(shù)則稱 為函數(shù)當時的極限 記作定2000lim( , )lim( , )xxyyf x yaf x ya或 二元函數(shù)的極限是一元函數(shù)極限的推廣，有關(guān)一元函數(shù)極限的運算法則和定理,都可以推廣二元函數(shù)的極限，下面舉例說明.222200lim.1 1xyxyxy 極限例7 解 方法一2222222200()1 1lim(1 1)(1 1)xyxyxyxyxy 原式2200lim(1 1)1 12;xyxy 方法二221 1,xyu

25、 令則2221,xyu0,0,1.xyu且當時于是2111limlim(1)21uuuuu原式 這說明，二元函數(shù)的極限問題有時可以先轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)的極限問題，再求解.2200lim?xyxyxy 討論極限是否存在例80220000,( , )(0,0),lim,;( , )(0,0),(0,0).xyp x ypxyxyp x ypp 由極限定義知 當以任何方式趨于時 如果極限存在 其極限應(yīng)該是惟一的 反之,如果選擇沿兩條特殊的路徑讓趨于時 只要有一個極限不存在或兩個極限值不同,就可斷定函數(shù)的極限不存在0,( , )(0,0),p x yykxp 現(xiàn)在取兩條特殊的路徑來考察上述極限 例如,令沿

26、直線趨于點時2222220000limlim(1)1xxyy kxxykxkxyxkk22220010,0;1,.211lim.xykkkkkkxyxy如果取時 則如果取時 則所以不存在解2.二元函數(shù)的連續(xù)性000( , )(,), ( , ),f x yp x yp x y義 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)有定義是鄰域內(nèi)的任意一點 如果定30000lim( , )(,)xxyyf x yf x y0000( , )(,).( , )f x yp xyf x yp則稱函數(shù)在點連續(xù)在點是否一定有定義?( , ),( , )f x ydf x yd如果函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)各點連續(xù) 則稱在區(qū)域上連續(xù).函數(shù)的不連續(xù)

27、點稱為函數(shù)的間斷點.1,()zyxyx 函數(shù)在直線上無定義 所以此直線上的點都是函數(shù)的間斷點.說明二元函數(shù)的間斷點可以形成一條曲線例9() 和一元函數(shù)類似,連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運算所得的函數(shù)仍然是連續(xù)的,連續(xù)函數(shù)經(jīng)過復合運算所得的函數(shù)也是連續(xù)的.由此得到:二元初等函數(shù)在其定義區(qū)域 包含在定義域內(nèi)的區(qū)域內(nèi) 是連續(xù)的與閉區(qū)間上一元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)相類似,在界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù),有以下定理. 在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)在該區(qū)域上一定能取到最大值和最小值.定理1 在有界閉區(qū)域上連續(xù)的二元函數(shù)必能取得介于它的兩個不同函數(shù)值之間的任何值至少一次.定理2思考題1.定義區(qū)域就是定義域嗎?為什么?答案答案00,

28、?2.二元函數(shù)在點處可導與可微的關(guān)系是什么z = f x,yxy答案答案0003.,?判定在二重極限不存在 有哪些常用的方法f x yp xy答案答案課堂練習題21.ln21.求二元函數(shù)的定義域zyx答案答案220112.lim.求極限xyxyxy答案答案223.?在何處是間斷的yxzyx答案答案一、偏導數(shù)的定義及求法0( ,),( ,).zf x yyxzxzf x yxzx 對于二元函數(shù)若固定只讓 變化 則 就成為的一元函數(shù) 比如說這樣的一元函數(shù)對 的導數(shù)就稱為二元函數(shù) 對 的偏導數(shù).0000000000( , )(,)(,)(,),lim,( , )(,),xzf x yx yf xx

29、yf x yyyxzf x yx yx 義 設(shè)函數(shù)在點的某一個鄰域內(nèi)有定義.固定如果極限存在 則稱此極限值為函數(shù)在點處對 的偏導數(shù) 記作定10000(,)(,)0000,( ,)( ,)x yx yxxfzz x yf x yxx或等00( , )( ,)zf x yx yy同樣,函數(shù)在點處對 的偏導數(shù)定義為00000(,)( ,)limxf yy yf x yy 0000(,)(,)0000,( ,)( ,).x yx yyyfzz x yf x yyx記作或等( , )( , ),( , )zf x ydx yxx yzf x yx如果函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)每一點處對 的偏導數(shù)都有存在,那么這個偏

30、導數(shù)就是的函數(shù),稱為函數(shù)對自變量 的偏導函數(shù).記作,( , )xxfzzfx yxx,或,( , )zf x yy同樣 函數(shù)對自變量 的偏導函數(shù)記作,( , )yyfzzfx yyy,或偏導函數(shù)也簡稱為偏導數(shù).32432(1,2)zxx yy 求函數(shù)在點處的兩個偏導數(shù).例1因為22336,34zzxxyxyxy所以2(1,2)3 161215zx 23(1,2)3 14235zy解sin(),.zzzxxyxy 設(shè)求例2sin()cos(),cos()zzxyxxyxxyxy解,()1pvrtrpvtvtp 已知理想氣體的狀態(tài)方程為為常數(shù)證例32,rtprtpvvv將原方程變形為則,rtvrv

31、ptp同理 對于有11,ttpvvrpr對于有21pvtrtrvrtvtpprpvv 于是證222ux yy zz x 求三元函數(shù)的偏導數(shù).例422,(,)uxyzy zx將看成常數(shù)22,uyzxy22.uzxyz解二、高階偏導數(shù)( , ),.,( , ).zzzf x yxyx yx yzf x y 對于函數(shù)的兩個偏導數(shù)而言,一般說來仍是的函數(shù)如果這兩個函數(shù)關(guān)于 , 的偏導數(shù)也存在 則稱它們的偏導數(shù)是函數(shù)的二階偏導數(shù)依照變量不同的求導次序其二階偏導數(shù)分別為22( , )xxxxzzfx yzxxx22( , )yyyyzzfx yzxyy2( , )xyxyzzfx yzyxx y 2( ,

32、 )yxyxzzfx yzxyy x ( , ),( , )xyyxfx yfx y 式中和稱為階導數(shù)類似可給出更高階偏導數(shù)的概念和記號.二階及二階以上的偏導數(shù)稱為階導數(shù)二混合偏.高偏.ln()zxxy 求的所有二階偏導數(shù).例5因為ln()ln() 1,yyzzxxyxxyxxxyyxyy所以222221ln() 1,yzzxxxyxxyxyyxyy 2211ln() 1,yzzxxyx yyxyxy xzyy 解22,zzx yy x 在本例中這不是偶然的,一般地,有以下定理.( , )( , )( , )()xyyxzf x yddfx yfx y 如果函數(shù)的兩個混合偏導數(shù)在區(qū)域 內(nèi)連續(xù)則

33、在該區(qū)域 上有證明從略定理1三、全微分1.全微分的定義00000( ),()()()()( ).yf xxxyyfxxoxoxxdyfxxyf xx 一元函數(shù)在點 處的微分是指 如果函數(shù)在 處的增量可以表示成式中,是高階的無窮小,則為函數(shù)在點 處的微分,類似地 二元函數(shù)全微分的定義如下.000000( ,)(,)(,)(,)zf x yxyzf xyyf xy 義 如果二元函數(shù)在點處的全增量定20000(,)(,)( )x yx yzzzxyoxy 可以表示成22,()()xy 式中則稱000000(,)(,)00(,)( , )(,)xyxyxyzzxyzf x yxyxyz 為函數(shù)在點處的

34、全微分,記為d即000000(,)(,)(,)00( , )(,).x yx yx yzzzxyzf x yxyx y d這時也稱函數(shù)在點處可微( , ).zf x ydd如果函數(shù)在區(qū)域 內(nèi)每一點都可微,則稱它在區(qū)域可微( , ),( , )zf x yddx y設(shè)在區(qū)域 可微 則在 內(nèi)任一點處的全微分為zzdzxyxy 0000( , )(,),(,).zf x yx yx y 如果函數(shù)在點處可微 則它在點處連續(xù)定理200( , )(,)zf x yxy證 由函數(shù)在點處可微得0000(,)(,)( )x yx yzzzxyoxy 00lim0 xyz 所以00000000lim(,)(,),

35、( , )(,).xyf xx yyf x yzf x yx y 即因此 函數(shù)在點連續(xù)( , )( , )( , )().zf x yx yzf x y 如果函數(shù)的兩個偏導數(shù)在點處存在且連續(xù),則函數(shù)在該點可微 證明從略 定理3,(637)xydxdy 常見的二元函數(shù)一般滿足定理3的條件,從而它們都是可微函數(shù).和一元函數(shù)類似,習慣上將自變量的增量和分別記作和則式又可寫為zzdzdxdyxy22(2, 1)0.02,0.01zx yxy 求函數(shù)在點處當時的全微分.例6因為3(2, 1)(2, 1)24zxyx 22(2, 1)(2, 1)312zx yy(2, 1)4124 0.02 12 ( 0

36、.01)0.2dzxy 所以全微分解2sin.xzey 求函數(shù)的全微分例7222sin ,cosxxzzeyeyxy因為2222sincos(2sincos).xxxdzeydxeydyeydxydy所以,應(yīng)該指出 二元函數(shù)全微分的概念可以推廣到三元函數(shù)及更多元的函數(shù).解.yzux 求函數(shù)的全微分例8因為1,ln ,lnyzyzyzuuuyzxx zxx yxxyz所以1lnlnyzyzyzdzyzxdxx zxdyx yxdz解2.全微分在近似計算中的應(yīng)用00,( , )(,)zf x yx yxy由全微分的定義知 函數(shù)在點的全增量與全微分之差是一個比 高階的無窮小,因此當與都很小,全增量可

37、以近似地用全微分代替,即zdz ,.在應(yīng)用上式時 常換成以下形式00000000(,)(,)(,)(,)xyf xx yyf x yfx yxfx yy 及00000000(,)(,)(,)(,)xyf xx yyf x yfx yxfx yy 2.02(1.04). 計算的近似值例900( , ),1,0.04,2,0.02,yf x yxxxyy 設(shè)取則2(1,2)11f1(1,2)(1,2)2yxfyx(1,2)(1,2)ln0yyfxx(640)所以由式得2.02(1.04)(1,2)(1,2)(1,2)xyffxfy 12 0.040 0.021.08 解思考題1.,1?因為導數(shù)就是

38、微商 所以此命題是否正確xyzyzx答案答案2.是否只有可微函數(shù)才有極值點?請舉例說明.答案答案3.試說明二元函數(shù)在某點處偏導數(shù)存在與可微之間的關(guān)系.答案答案課堂練習題221,21.求 =在點處的全微分.zxy答案答案22211.2.設(shè) =驗證yzzzzxyxxyyy答案答案一、復合函數(shù)的求導法則由于多元函數(shù)的復合函數(shù)求導問題比較復雜,因此下面分種情況進行進行討論.1.復合函數(shù)的中間變量均是二元函數(shù)的情形( , )( , ),( , )( , ) ( , ),( , )( , ),zf u vu vux yx yzfx yx yx y 如果函數(shù)在點可微 而函數(shù)在點都存在偏導數(shù),則復合函數(shù)在點的

39、兩個偏導數(shù)存在 且有求導公式 定理(1841)zzuu vxuxvx (1842)zzuuvyuyvy ( , ),( , )zfx yx y上述公式也稱為鏈鎖法則,初學者可用函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖來幫助記憶.如復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖為,(18-41).zu vxzuzuxux 從函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖看到,由 通過中間變量到達 的路徑有兩條而式中恰是兩項的和,而路徑表示zuvxy復合函數(shù)的求導法則可以推廣到自變量或中間變量多于兩個的情形.( , , ),( ),( , ),( , )zf u v wux vx y wx y例如式中yzzzvzwxuxv xwxyzzzvzwyu yv ywy sin(),.xyzzz

40、exyxy 設(shè)求例1,sin ,(1841),(1842)uuxy vxyzev設(shè)則所以由式式得sincos( sincos )uuuzev yeveyvvx sin()cos()xyeyxyxysincos( sincos )uuuzev xevexvvy sin()cos()xyexxyxy解2.復合函數(shù)的中間變量均為一元函數(shù)的情形( , ),( ),( ), ( ),( )zf u vvt vtzfttt設(shè)而于是則是 的一元函數(shù).由函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖不難得出dzzuzvdtutvt dzdt稱為導數(shù)全.zuvt23,sin ,.xydzzext ytdt 設(shè)而求例2(1843)由公式得222c

41、os23xyxyydzzuzetetdtutyt 322sin22(cos6 )(cos6 )xyttettett解sin ,cos ,.tdzzuvtue vtdt 設(shè)而求例3復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖為所以sincostdzz duz dvz dtveuttdtu dtv dtv dtcossincos(cossin )costttetettettt解zuvtt3.3.復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形復合函數(shù)的中間變量既有一元函數(shù)又有多元函數(shù)的情形222( , , ),sin ,.xyzwwf x y zezyxx 設(shè)而求例4復合函數(shù)的結(jié)構(gòu)圖為(,)x y所以 注意既是中間變量,也是

42、自變量.()ffwxw vwxxxztxx 與含義不同.22222222222cos2(cos )xyzxyzxyzxezeyxexyx,( , , ),.wwx yyxfxwf x y zy zxx應(yīng)該指出 實質(zhì)上 是兩個變量 , 的函數(shù) 這里的是將看作常數(shù)對 求導 而是把中的看作常數(shù)對的求導解wxyzxy4.復合函數(shù)是抽象函數(shù)的情形22(,),.xyzzzf xy efxy 設(shè)具有一階連續(xù)偏聽偏導數(shù),求例522,( , ),xyuxy vezf u v設(shè)則所以2xyffffzuvxyexuxv xuv 2xyffffzuvyxeyuyv yuv 21212,ffffffuvu v 為表達方

43、便起見,引入以下記號.1212, ,2,2xyxyu vzzxfye fyfxe fxy以了以上記號,今后做這類題不設(shè)直接求出解( , ),.xf u vzfxydzy 設(shè)可微求例6122121,zzxfyffxfxyyy 因為 122121xdzfyfdxfxfdyyy 所以 解二、全微分形式不變性利用一元函數(shù)微分形式不變性,可以給微分運算帶來方便,多元函數(shù)的全微分形式,也有類似性質(zhì),下面以二元函數(shù)為例說明.( , ),zf u vu v設(shè)可微 其中是自變量 則有全微分zzdzdudvuv,( , ),( , ) ( , ),( , )u vx yux y vx yzfx yx y如果又分別

44、是的函數(shù) 且為兩個可微函數(shù),則復合函數(shù)的全微分為zzzuzvzuzvdzdxdydxdyxyuxv xuyv y zuuzuuzzdxdydxdydudvuxyvxyuv,u v這說明 無論是自變量還是中間變量 它的全微分形式是一樣的,這個性質(zhì)叫作變?nèi)⒎中问讲恍? 利用全微分形式不變性解本節(jié)例5.例722,xyuxy ve設(shè)則( , )ffdzdf u vdudvuv而22()22dud xyxdxydy()()()xyxyxyxyxydvd ee d xyeydxxdyye dxxe dy,du dv將代入并整理 得22xyxyffffdzxyedxyxedyuvuv即22xyxyffff

45、zzdxdyxyedxyxedyxyuvuv,dx dyzzxy比較上式兩邊的系數(shù) 就同時得到兩個偏聽偏導數(shù)它們與例5的結(jié)果一樣.解三、隱函數(shù)的求導法( , )( , , )0,0,.xyzzzf x yf x y zff ff設(shè)是由方程惟一確定的隱函數(shù) 如果連續(xù) 且則不難得出隱函數(shù)的兩個求導公式xzfzxf yzfzyf 22224 ,.zzzxyzzxyx y 設(shè)求例8222( , , )4 ,2 ,2 ,2(2),xyzf x y zxyzzfx fy fz令則所以22,2(2)22(2)2yyzxxzxzzyzz 221(2)22(2)yyzxxxzx yyzzz 2232(2)(2)

46、(2)xyxzxxyzzzz 解思考題1.,.對于在存在偏導且的一階偏導數(shù)在對應(yīng)點連續(xù).請寫出復合函數(shù)對 的偏導數(shù)公式x yx yx yzfz =fx yx yy 答案答案 2., ,.?若那么dzzfxxxdy 答案答案003.0,.xxyyyf x yxyff fyf 若 是方程f x,y確定的隱函數(shù),且,在某鄰域連續(xù)且存在連續(xù)偏導數(shù)則該命題是否正確?為什么?答案答案課堂練習題2,.1.設(shè)sin =求xdyy xyedx答案答案2.,.求函數(shù)的一階偏導數(shù)f x xy xyzx答案答案一、多元函數(shù)極值1.極值的定義及求法在一元函數(shù)中,可以用導數(shù)來求極值,現(xiàn)在以二元函數(shù)為例,討論如何利用偏導數(shù)

47、來求多元函數(shù)的極值.000000000000000000( , )(,).( , ),( , )(,)( , )(,)(,),( , )(,)( , )(,)(,).zf x yp x ypp x yf x yf x yzf x yp x yf x yf x yf x yzf x yp x yf x y義 設(shè)函數(shù)在的某一鄰域內(nèi)有定義如果對于該鄰域內(nèi)異于 的任意點都有則稱函數(shù)在點處有極大值如果都有則稱函數(shù)在點處有極小值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點稱為點定極值.2234(0,0)(0,0)0,(0,0)(0,0)( , ),( , )0(0,0)zxyfx yf x yf 函數(shù)在點

48、處有極小值因為對于點的任一鄰域內(nèi)異于的點都有例1221(0,0)(0,0)1,(0,0)( , ),( , )1(0,0)zxyfx yf x yf 函數(shù)在點處有極大值因為對于點附近的任意點都有例2000000()( , )(,)(,),zf x yp xyp xy極值存在的必要條件 如果函數(shù)點處取得極值,且處的兩個偏導數(shù)都存在 則定理10000(,)0,(,)0 xyfx yfx y000000(,)0,(,)0(,)( , )xyfx yfx yx yf x y 同時成立點稱為的駐點但駐點不一定是極值點.0000000()( , )(,),(,)0,(,)0.xyzf x yp x yfx

49、 yfx y 極值存在的充分條件 設(shè)函數(shù)在點的某個鄰域內(nèi)連續(xù) 且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù),且定理2000000(,),(,),(,),xxxyyyafx ybfx ycfx y令則20000000(1)0,( , )(,),0,(,),0,(,);baczf x yp x yaf x yaf x y當時 函數(shù)在點處有極值 且當時是極大值時是極小值200(2)0,(,);bacf x y當時不是極值2000(3)0,( , )(,),baczf x yp x y時 函數(shù)在點可能有極值 也可能沒有極值.,( , )zf x y由上面的討論結(jié)果 可得出具有二階連續(xù)偏導數(shù)的函數(shù)的求極值方法如下.( ,

50、)0(1);( , )0 xyfx yfx y由求出一切駐點2(2);bac由的符號判斷駐點是否為極值點(3)求極值點的函數(shù)值.32242.zxxxyy 求函數(shù)的極值例32( , )3820.(0,0)(2,2).( , )220 xyfx yxxyfx yxy由方程求得駐點為及( , )zf x y而的二階偏導數(shù)為(,)68,(,)2,(,)2(0, 0)xxxyyyfx yxfx yfx y 在處 有22,8,2,120,(0,0)0.bacbacf 所以為函數(shù)的極大值(2,2)在處有22,4,2,120,(2,2).bacbac 所以點不是極值點解2.最大值和最小值( , )( , ).

51、( , ),( , ),zf x yf x ydzf x yddf x yddf 由連續(xù)函數(shù)性質(zhì),如果函數(shù)在界閉區(qū)域上連續(xù),則在 上一定有最大值和最小值在此種情況下,欲求函數(shù)在 內(nèi)所有駐點的函數(shù)及 的邊界上的最大值和最小值 取這些函數(shù)值中的最大值和最小值就是所求的最大值和最小值.在解決實際問題時,如果根據(jù)問題的性質(zhì),知道函數(shù)在 內(nèi)一定有最大值(或最小值),而函數(shù)在 內(nèi)只一個駐點 則可以肯定該駐點處的函數(shù)值就是函數(shù) ( , )().x yd在 上的最大值 或最小值(),(1839)sxyz 設(shè)有斷面面積為常數(shù) 的等腰梯形渠道 當兩岸傾角高底邊長 為多少時 才能使?jié)裰茏钚?見圖 例4, u 濕周就

52、是渠道斷面與水接觸的周界的長度.如圖18-39,濕周記為uabbccd解圖18-39 例4示意圖xbczady2sinyuzx即(cot ) ,cot ,(1846)sszyx yzyxy又解出代入式得2cos,(0,0)sin2sxuyxyyx uxy可見濕周 是 和 的二元函數(shù).221 2cos0sin2cos0sinuxyxxusxyxy 令4,.33s解這方程組得惟一駐點4,.33su根據(jù)實際問題的性質(zhì),濕周一定有最小值,因此在駐點處取最小值442,333 3ssxyz 所以 當選擇傾斜角高底邊長時 就使?jié)裰茏钚?這樣能保證在流量一定條件下,所用材料最省. 解題時,一定要確認駐點是否惟

53、一,實際問題中最小(大)值是否存在?若駐點不惟一,需另作判斷.二、條件極值,(cot ),.x yszyx y在許多實際問題中 求極值時 其自變量常常受一些條件的限制如例4中,自變量要受條件的約束 這類問題為條問題而對自變量在定義域內(nèi)未受任何限制的極值問題稱為無條問題.件極值件極值,(cot)2cot,sin2cos,sin.sszyx yzyysyxuzuxyxyx 當約束條件比較簡單時 條件極值可以化為無條件極值問題來處理,如例4,從約束條件中解出代入三元函數(shù)中 便化為二元函數(shù)的無條件極值問題 但是 將一般的條件極值問題直接轉(zhuǎn)化為無條件極值往往是比較困難的 下面介紹一種直接求條件極值的方法-數(shù)拉格朗日乘法.,( , )( , )0,zf x yx y為方便 僅就二元函數(shù)而言 求在約束條件下的極值 其步驟如下.(1)( , )( , )( , )f x yf x yx y構(gòu)造輔助函數(shù),.式中為待定常數(shù)0(2)0( , )0 xyffx y解方程( , )( , )0( , )( , )0( , )0 xxyyfx yx yfx yx yx y即解00(,),.x y求