人教版高中數(shù)學(xué)選修11：2.1 橢 圓 課后提升作業(yè) 九 2.1.1 Word版含解析

1、高中數(shù)學(xué)選修精品教學(xué)資料課后提升作業(yè) 九橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共40分)1.設(shè)f1,f2為定點(diǎn),|f1f2|=6,動(dòng)點(diǎn)m滿足|mf1|+|mf2|=6,則動(dòng)點(diǎn)m的軌跡是()a.橢圓b.直線c.圓d.線段【解析】選d.因?yàn)閨mf1|+|mf2|=6=|f1f2|,所以動(dòng)點(diǎn)m的軌跡是線段.2.設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2k-3+y25-k=1,若其焦點(diǎn)在x軸上,則k的取值范圍是()a.k>3b.3<k<5c.4<k<5d.3<k<4【解析】選c.由題意得k-3>5-k>0,所以4<k<5.3.(2015

2、·廣東高考)已知橢圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點(diǎn)為f1(-4,0),則m=()a.2b.3c.4d.9【解析】選b.因?yàn)闄E圓x225+y2m2=1(m>0)的左焦點(diǎn)為f1(-4,0),所以c=4=25-m2,所以m2=9,所以m=3.4.若橢圓x216+y2m=1的焦距為6,則m的值為()a.7b.7或25c.25d.7或5【解析】選b.設(shè)a2=16,b2=m,所以c2=16-m,所以16-m=9,所以m=7;設(shè)a2=m,b2=16,則c2=m-16,所以m-16=9,所以m=25.【誤區(qū)警示】忽視焦點(diǎn)位置,導(dǎo)致丟解橢圓的焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上主要看標(biāo)準(zhǔn)方程中x2

3、和y2項(xiàng)分母的大小,如果x2項(xiàng)的分母大于y2項(xiàng)的分母,則橢圓的焦點(diǎn)在x軸上;反之,焦點(diǎn)在y軸上.由于本題中x2和y2項(xiàng)分母的大小不確定,因此需要進(jìn)行分類討論.5.(2016·成都高二檢測(cè))如果橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)為f1(-1,0)和f2(1,0),p是橢圓上的一點(diǎn),且|pf1|,|f1f2|,|pf2|成等差數(shù)列,那么橢圓的方程是()a.x216+y29=1b.x216+y212=1c.x24+y23=1d.x23+y24=1【解析】選c.因?yàn)閨pf1|,|f1f2|,|pf2|成等差數(shù)列,所以|pf1|+|pf2|=2|f1f2|=4,即a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,因?yàn)榻裹c(diǎn)

4、在x軸上,故選c.6.已知橢圓x23+y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn)f1,f2,m是橢圓上一點(diǎn),且|mf1|-|mf2|=1,則mf1f2是()a.鈍角三角形b.直角三角形c.銳角三角形d.等邊三角形【解題指南】利用條件和橢圓的定義解出|mf1|,|mf2|的長(zhǎng)度,再判斷.【解析】選b.由橢圓定義知|mf1|+|mf2|=2a=4,且已知|mf1|-|mf2|=1,所以|mf1|=52,|mf2|=32.又|f1f2|=2c=2.所以有|mf1|2=|mf2|2+|f1f2|2.因此mf2f1=90°,即mf1f2為直角三角形.7.(2016·合肥高二檢測(cè))設(shè)f1,f2是橢圓x29+

5、y24=1的兩個(gè)焦點(diǎn),p是橢圓上的點(diǎn),且|pf1|pf2|=21,則f1pf2的面積等于()a.5b.4c.3d.1【解析】選b.由橢圓方程,得a=3,b=2,c=5,所以|pf1|+|pf2|=2a=6,又|pf1|pf2|=21,所以|pf1|=4,|pf2|=2,由22+42=(25)2,可知,f1pf2是直角三角形,故f1pf2的面積為12|pf1|·|pf2|=12×4×2=4.【補(bǔ)償訓(xùn)練】橢圓x29+y22=1的焦點(diǎn)為f1,f2,點(diǎn)p在橢圓上.若|pf1|=4,則|pf2|=_;f1pf2的大小為_.【解析】由橢圓定義,|pf1|+|pf2|=2a=6

6、,所以|pf2|=2,cosf1pf2=|pf1|2+|pf2|2-|f1f2|22|pf1|pf2|=16+4-2816=-12.所以f1pf2=120°.答案:2120°8.已知橢圓x24+y2=1的焦點(diǎn)為f1,f2,點(diǎn)m在該橢圓上,且mf1·mf2=0,則點(diǎn)m到x軸的距離為()a.233b.263c.33d.3【解析】選c.由mf1·mf2=0,得mf1mf2,可設(shè)|mf1|=m,|mf2|=n,在f1mf2中,由m2+n2=4c2得(m+n)2-2mn=4c2,根據(jù)橢圓的定義有m+n=2a,所以2mn=4a2-4c2,所以mn=2b2,即mn=2

7、,所以s f1mf2=12mn=1.設(shè)點(diǎn)m到x軸的距離為h,則:12×|f1f2|×h=1,又|f1f2|=23,所以h=33.【延伸探究】將本題中的橢圓方程改為x225+y29=1,其他條件不變,如何解答?【解析】設(shè)m到f1,f2的距離分別為r1,r2,則r1+r2=10.又r12+r22=(2c)2=64,所以(r1+r2)2-2r1r2=64即r1r2=18.令m到x軸的距離為h,所以12r1r2=12×2c×h,解得h=94.【拓展延伸】揭秘焦點(diǎn)三角形橢圓中的焦點(diǎn)三角形問題由于涉及知識(shí)面廣,探究性強(qiáng),綜合性高,成為橢圓和解三角形、三角函

8、數(shù)以及不等式等知識(shí)交匯的命題點(diǎn),是命題的“焦點(diǎn)”.在解決與橢圓有關(guān)的焦點(diǎn)三角形問題中,常用到以下結(jié)論:設(shè)f1,f2為橢圓焦點(diǎn),m為橢圓上的點(diǎn).(1)|mf1|+|mf2|=2a.(2)|mf1|·|mf2|mf1|+|mf2|22=a2.(3)|mf1|·|mf2|=2a2-|mf1|2+|mf2|22.(4)smf1f2=b2tan2(其中f1mf2=).二、填空題(每小題5分,共10分)9.(2016·昆明高二檢測(cè))已知橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,其上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離和為8,焦距為215,則此橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_.【解析】由已知,2a=8,2c=215,所以a=4

9、,c=15,所以b2=a2-c2=16-15=1,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216+x2=1.答案:y216+x2=110.(2016·衡水高二檢測(cè))已知p是橢圓x24+y23=1上的一動(dòng)點(diǎn),f1,f2是橢圓的左、右焦點(diǎn),延長(zhǎng)f1p到q,使得|pq|=|pf2|,那么動(dòng)點(diǎn)q的軌跡方程是_.【解析】依題意,|pf1|+|pf2|=2a(a是常數(shù)且a>0).又|pq|=|pf2|,所以|pf1|+|pq|=2a,即|qf1|=2a.由題意知,a=2,b=3,c=a2-b2=4-3=1.所以|qf1|=4,f1(-1,0),所以動(dòng)點(diǎn)q的軌跡是以f1為圓心,4為半徑的圓,所以動(dòng)點(diǎn)q的軌跡方

10、程是(x+1)2+y2=16.答案:(x+1)2+y2=16三、解答題11.(10分)(2016·綿陽高二檢測(cè))求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在y軸上,焦距是4,且經(jīng)過點(diǎn)m(3,2).(2)ca=513,且橢圓上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離的和為26.【解析】(1)由焦距是4可得c=2,且焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-2),(0,2).由橢圓的定義知,2a=32+(2+2)2+32+(2-2)2=8,所以a=4,所以b2=a2-c2=16-4=12.又焦點(diǎn)在y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216+x212=1.(2)由題意知,2a=26,即a=13,又ca=513,所以c=5,所以b2=a2-c

11、2=132-52=144,因?yàn)榻裹c(diǎn)所在的坐標(biāo)軸不確定,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2169+y2144=1或y2169+x2144=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,且焦距為4,p為橢圓上一點(diǎn),且|f1f2|是|pf1|和|pf2|的等差中項(xiàng).(1)求橢圓的方程.(2)若pf1f2的面積為23,求p點(diǎn)坐標(biāo).【解析】(1)由題意知,2c=4,c=2.且|pf1|+|pf2|=2|f1f2|=8,即2a=8,所以a=4.所以b2=a2-c2=16-4=12.又橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以橢圓的方程為x216+y212=1.(2)設(shè)p點(diǎn)坐標(biāo)為(x0,y0),依題意知,12|f1f2|y0|=23,所

12、以|y0|=3,y0=±3,代入橢圓方程得x0216+y0212=1,得x0=±23,所以p點(diǎn)坐標(biāo)為(23,3)或(23,-3)或(-23,3)或(-23,-3).2.f1,f2是橢圓x29+y27=1的兩個(gè)焦點(diǎn),a為橢圓上一點(diǎn),且af1f2=45°,求af1f2的面積.【解析】|f1f2|=22,|af1|+|af2|=6,|af2|=6-|af1|,|af2|2=|af1|2+|f1f2|2-2|af1|·|f1f2|cos45°=|af1|2-4|af1|+8,(6-|af1|)2=|af1|2-4|af1|+8,|af1|=72,s=12×72×22×22=72.【能力挑戰(zhàn)題】如圖,abc中底邊bc=12,其他兩邊ab和ac上中線的和為30,求此三角形重心g的軌跡方程,并求頂點(diǎn)a的軌跡方程.【解析】以bc邊所在直線為x軸,bc邊中點(diǎn)為原點(diǎn),建立如圖所示坐標(biāo)系,則b(6,0),c(-6,0),ce,bd為ab,ac邊上的中線,則|bd|+|ce|=30.由重心性質(zhì)可知|gb|+|gc|=23(|bd|+|ce|)=20.因?yàn)閎,c是兩個(gè)定點(diǎn),g點(diǎn)到b,c距離和等于定值20,且20>12,所以g點(diǎn)的軌跡是橢圓,b,c是橢圓焦點(diǎn).所以2c=|bc|=12,c=6,2a=20,