第六章向量代數(shù)與空間解析幾何(二)

1、1第六章 向量代數(shù)與空間解析幾何(二) 典型例題主要內(nèi)容堂上練習(xí)題小結(jié)2一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容第第4 4節(jié)節(jié) 平面的方程平面的方程一、平面的點(diǎn)法式方程經(jīng)過(guò)點(diǎn)0000(,)mxyz法向量為 ,na b c的平面的點(diǎn)法式方程為:000()()()0a xxb yyc zz關(guān)鍵確定平面的法向量關(guān)鍵確定平面的法向量3一般地一般地,過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)111122223333, , , ,m x y zm x y zm x y z的平面方程為的平面方程為:-稱(chēng)為平面的三點(diǎn)式方程稱(chēng)為平面的三點(diǎn)式方程1112121213131310 x xy yz zxxyyzzxxyyzz4平面

2、的點(diǎn)法式方程平面的點(diǎn)法式方程0)()()(000 zzcyybxxaczbyax d 0 dczbyax 平面的一般方程平面的一般方程法向量法向量,na b c二、平面的一般式方程 任意一個(gè)形如上式任意一個(gè)形如上式0)(000 czbyaxabc的的x、y、z的三元一次的三元一次方程都是平面方程方程都是平面方程.熟記平面的幾種特殊位置熟記平面的幾種特殊位置5, 0)1( d平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；平面通過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)；, 0)2( a , 0d平面通過(guò)平面通過(guò) 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( ba平面平行于平面平行于xoy 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；類(lèi)似地可討論類(lèi)似地可討論0, 0 cbc

3、a0, 0 cb類(lèi)似地可討論類(lèi)似地可討論y軸軸軸軸zxoz面面 yoz面面(由法向量可知由法向量可知)0 dczbyax 平面的一般方程平面的一般方程, 0 d缺誰(shuí)缺誰(shuí)/誰(shuí)誰(shuí)6x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距 今后今后,由截距式方程作平面的圖形特別方便由截距式方程作平面的圖形特別方便! 當(dāng)平面不與任何坐標(biāo)面平行當(dāng)平面不與任何坐標(biāo)面平行,且不過(guò)原點(diǎn)且不過(guò)原點(diǎn)時(shí)時(shí),才有截距式方程才有截距式方程.并作圖并作圖.012243 zyx將將化為化為截距式方程截距式方程,1 czbyax平面的截距式方程平面的截距式方程71 2 定義定義（通常取銳角）（通常取銳角）兩平面法向量的夾角稱(chēng)為

4、兩平面法向量的夾角稱(chēng)為三、兩平面的夾角兩平面的夾角兩平面的夾角. . 0:11111 dzcybxa 0:22222 dzcybxa 1n2n1111,na b c2222,nabc8按照兩向量夾角余弦公式有按照兩向量夾角余弦公式有| |cos2121nnnn 兩平面夾角余弦公式兩平面夾角余弦公式兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( 0212121 ccbbaa21)2( /212121ccbbaa 兩平面垂直、平行的充要條件兩平面垂直、平行的充要條件222222212121212121|cbacbaccbbaa 取銳角取銳角1111 , , na b c2222 ,na b c9點(diǎn)到平

5、面的垂直距離點(diǎn)到平面的垂直距離0:),(0000 dczbyaxzyxp 是平面是平面設(shè)設(shè)外一點(diǎn)外一點(diǎn),.0的距離的距離到平面到平面求求 p四、點(diǎn)到平面的距離四、點(diǎn)到平面的距離 ,),(1111 zyxpn0p ),(cban 1pd并作向量并作向量.01pp的距離的距離到平面到平面 0p d|cos| |01 pp),(01之夾角之夾角的法向量的法向量與與是是npp 即即 d|01pp|n|cos| |n|01nnpp 由于由于npp 01),(111000czbyaxczbyax d 1p10222000|cbadczbyaxd d),(cban |01nnpp npp 01dczbyax

6、 0000:),(0000 dczbyaxzyxp 到平面到平面點(diǎn)點(diǎn)的距離公式為的距離公式為11222000|cbadczbyaxd 點(diǎn)到平面距離公式點(diǎn)到平面距離公式結(jié)論:兩平行平面1122:0,:0axbyczdaxbyczd之間的距離:12222|dddabc12第第5 5節(jié)節(jié) 直線的方程直線的方程1 2 定義定義 空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線.0:11111 dzcybxa 0:22222 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa空間直線的一般方程空間直線的一般方程一、空間直線的一般式方程l注注;)1(222111不不成成比比例例、與與、c

7、bacba(2) 直線直線l的一般方程形式不是唯一的的一般方程形式不是唯一的.xyzol13方向向量的定義方向向量的定義如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于sl已知直線上點(diǎn)已知直線上點(diǎn)0m m ,),(lzyxm smm0/ , , ,smn p二、空間直線的點(diǎn)向式方程與參數(shù)方程1.點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程 一條直線一條直線可以可以有許多有許多方向向量方向向量. 求此直線的方程求此直線的方程一條已知直線一條已知直線, 這個(gè)向量稱(chēng)這個(gè)向量稱(chēng)為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量. .),(0000zyxm的的直直線線l稱(chēng)稱(chēng)為為、的的三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)pnmss方向數(shù)方向數(shù). .xyzo向量 的方

8、向余弦稱(chēng)為直線的方向余弦.s14pzznyymxx000 直線的直線的對(duì)稱(chēng)式方程對(duì)稱(chēng)式方程pzznyymxx000 令令 直線的直線的參數(shù)方程參數(shù)方程0000,m mxxyy zz 因?yàn)橐驗(yàn)楣使蕇mm0/故故直線方程的幾種形式可以互相轉(zhuǎn)換直線方程的幾種形式可以互相轉(zhuǎn)換.( (點(diǎn)向式、標(biāo)準(zhǔn)式）點(diǎn)向式、標(biāo)準(zhǔn)式）t mtxx 0ntyy 0ptzz 015),(),(22221111zyxmzyxm則直線的一個(gè)方向向量為則直線的一個(gè)方向向量為: 于是對(duì)稱(chēng)式于是對(duì)稱(chēng)式方程可寫(xiě)成方程可寫(xiě)成:121121121zzzzyyyyxxxx pzznyymxx000 一般一般, ,如直線過(guò)兩點(diǎn)如直線過(guò)兩點(diǎn)212

9、121,xx yy zz 21mm-直線的兩點(diǎn)式方程直線的兩點(diǎn)式方程162. 直線的一般方程化為對(duì)稱(chēng)式方程直線的一般方程化為對(duì)稱(chēng)式方程 怎樣將直線的一般方程怎樣將直線的一般方程(1) 用代數(shù)的用代數(shù)的消元法消元法化為比例式化為比例式; 有兩種方法有兩種方法(2) 在直線上找一定點(diǎn)在直線上找一定點(diǎn),再求出方向向量再求出方向向量, (重要重要)化為對(duì)稱(chēng)式方程化為對(duì)稱(chēng)式方程即寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)式方程即寫(xiě)出對(duì)稱(chēng)式方程.173. 直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程上式何時(shí)有用上式何時(shí)有用 如求如求tpzznyymxx 000設(shè)設(shè)為參數(shù)為參數(shù)ttpzztnyytmxx 000直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程故故答答: : ,

10、 ,sm n p直線與平面的交點(diǎn)直線與平面的交點(diǎn).18定義定義直線直線:1l111111pzznyymxx 直線直線:2l222222pzznyymxx ),cos(21ll兩直線的兩直線的方向向量的夾角方向向量的夾角稱(chēng)之稱(chēng)之.兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角（銳角）（銳角）222222212121212121pnmpnmppnnmm 19兩直線的位置關(guān)系兩直線的位置關(guān)系:21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm 直線直線:1l直線直線:2l11, 4, 0,s 20,0,1,s , 021 ss,21ss 例例.21ll 即即

11、(兩直線垂直、平行的條件兩直線垂直、平行的條件):1l:2l1111 , ,sm n p2222,sm np20直線和它在平面上的投影直線的直線和它在平面上的投影直線的 定義定義20 ,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax , , ,sm n p , , ,na b c 2),(ns 2),(ns四、直線與平面的夾角夾角夾角 sin 2cos稱(chēng)之稱(chēng)之.2cos 21直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的)1()2(/(直線與平面垂直、平行的充要條件直線與平面垂直、平行的充要條件) sin222222|pnmcbacpbnam ;pcnbma . 0

12、cpbnam ll 位置關(guān)系：位置關(guān)系：22設(shè)有兩塊設(shè)有兩塊不平行不平行的平面的平面其中系數(shù)不互相其中系數(shù)不互相成比例成比例交成一條直線交成一條直線l過(guò)直線過(guò)直線l的所求全體平面的所求全體平面 平面束平面束)1(0:11111 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa作作(3)表示過(guò)直線表示過(guò)直線l的平面的平面)(2 除除0)(2222 dzcybxa1111dzcybxa )3()2(0:22222 dzcybxa 五、過(guò)直線的平面束23第第6 6節(jié)節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程掌握幾種特殊的曲面方程與圖形1. 球面2222000()()()xxyyzzrxyzo24柱

13、面方程柱面方程（其他類(lèi)推）（其他類(lèi)推）, 0),(, yxfzyx的方程的方程而缺而缺只含只含直角坐標(biāo)系中表示平行于直角坐標(biāo)系中表示平行于z軸的柱面軸的柱面,在空間在空間為為xoy面上的曲線面上的曲線c.其準(zhǔn)線其準(zhǔn)線2. 圓柱面222xyrxyzoc 1m m l25 曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng)曲線方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng), 總之總之,位于坐標(biāo)面上的曲線位于坐標(biāo)面上的曲線c,繞其上的繞其上的一個(gè)一個(gè) 坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng),所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣得到這樣得到 :而用另兩個(gè)的變量的平方和的平方根而用另兩個(gè)的變量的平方和的平方根(加正、加正、負(fù)號(hào)負(fù)號(hào))替代曲線方程

14、中另一個(gè)變量即可替代曲線方程中另一個(gè)變量即可.旋轉(zhuǎn)曲面方程26旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程:旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的如如0),( zyfyoz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線繞繞z軸軸22(,)0fxyz同理同理,0),( zyfyoz坐標(biāo)面上的已知曲線坐標(biāo)面上的已知曲線繞繞y軸軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為0),( yf22zx 273. 圓錐面222zxyxyzo4. 旋轉(zhuǎn)拋物面22zxyxyzo285. 橢球面橢球面1222222 czbyaxxyzo6. 單葉雙曲面1222222 czbyaxxyzo7. 雙葉雙曲面1222222 czbyaxxyzo298. 雙曲拋

15、物面雙曲拋物面(馬鞍面馬鞍面)22,022xyzp qpqxyzo方程方程 z = xy表示表示什么曲面？什么曲面？馬鞍面馬鞍面30第第7 7節(jié)節(jié) 空間曲線及其方程空間曲線及其方程 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程空間曲線空間曲線c可看作可看作特點(diǎn)：特點(diǎn)：一、空間曲線的一般方程曲線上的點(diǎn)都滿(mǎn)足方程曲線上的點(diǎn)都滿(mǎn)足方程,滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在曲線上滿(mǎn)足方程的點(diǎn)都在曲線上,不在曲線上的點(diǎn)不能不在曲線上的點(diǎn)不能同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程同時(shí)滿(mǎn)足兩個(gè)方程.空間兩曲面的交線空間兩曲面的交線.xyzo1s2sc0),( zyxf0),( zyxg31 )()()(tzztyytxx空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程

16、二、空間曲線的參數(shù)方程隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的隨著參數(shù)的變化可得到曲線上的,1時(shí)時(shí)當(dāng)給定當(dāng)給定tt 就得到曲線上的一個(gè)點(diǎn)就得到曲線上的一個(gè)點(diǎn)),(111zyx全部點(diǎn)全部點(diǎn).32 0),(0),(zyxgzyxf消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxh曲線關(guān)于曲線關(guān)于xoy的的設(shè)空間曲線設(shè)空間曲線c的一般方程：的一般方程：投影柱面的投影柱面的特征：特征：三、空間曲線在坐標(biāo)面上的投影 此柱面必包含曲線此柱面必包含曲線c,以曲線以曲線c為準(zhǔn)線、為準(zhǔn)線、 c投影柱面投影柱面. .母線垂直于所投影的坐標(biāo)面母線垂直于所投影的坐標(biāo)面.33類(lèi)似地類(lèi)似地:可定義空間曲線在其它坐標(biāo)可定義空間曲線在其它坐

17、標(biāo)面上的投影面上的投影. 00),(xzyr 00),(yzxt yoz面面上的上的投影曲線投影曲線 xoz面上的面上的投影曲線投影曲線 00),(zyxh空間曲線在空間曲線在xoy 面上的面上的投影曲線投影曲線(或稱(chēng)或稱(chēng)投影投影)(即為曲線關(guān)于即為曲線關(guān)于xoy面面的的投影柱面投影柱面)(即為即為xoy 面面) c(即為投影柱面與即為投影柱面與xoy 面的交線面的交線)34二、典型例題二、典型例題例例1 求平行于求平行于y軸且過(guò)點(diǎn)軸且過(guò)點(diǎn)(1, 2,1),( 5,1,5)的平面方程的平面方程.解:設(shè)所求平面方程為:0axczd則0550acdacd解得2535adcd 于是所求平面方程為:2

18、350.xz問(wèn):能否設(shè)所求平面方程為0 xczd?考慮: 求平行于y軸且過(guò)點(diǎn)軸且過(guò)點(diǎn)(1,2,1),(3,0,1)的平面方程的平面方程.1.z 35例2 求過(guò) 軸且與平面x3yx 的夾角為的平面方程.提示:設(shè)所求平面方程為0bycz利用平面的夾角公式得到所求平面為0.yz36設(shè)所求平面為設(shè)所求平面為1 czbyax1 v12131 abc由所求平面與已知平面平行得由所求平面與已知平面平行得(向量平行的充要條件向量平行的充要條件)解解例例3 所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.0566 zyx 求平行于平面求平行于平面而與三個(gè)坐標(biāo)面而與三個(gè)坐標(biāo)面cba6

19、1161 t xyzoabc611161cba 37,61ta ,1tb tc61 ttt61161611 代入體積式代入體積式61 t1, 6, 1 cba. 666 zyx所求平面方程為所求平面方程為12131 abccba61161 t 所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程所圍成的四面體體積為一個(gè)單位的平面方程.0566 zyx 求平行于平面求平行于平面而與三個(gè)坐標(biāo)面而與三個(gè)坐標(biāo)面38解解例例4平行且平行且一平面與平面一平面與平面075420 zyx,6個(gè)單位個(gè)單位相距相距求這平面方程求這平面方程.設(shè)所求平面為設(shè)所求平面為05420 zyxd 在已知平面在已知平面075420 zyx上

20、任取一點(diǎn)上任取一點(diǎn)).0,47, 0(222000|cbadczbyaxd , 62516400|7| d.126|7| d133 d119 d或或故所求平面為故所求平面為01335420 zyx或或01195420 zyx39解解 先作一過(guò)點(diǎn)先作一過(guò)點(diǎn)m且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 3再求已知直線與該平面的交點(diǎn)再求已知直線與該平面的交點(diǎn)n,令令12131 zyx tztytx1213. m垂直相交垂直相交的直線方程的直線方程.12131)3 , 1 , 2( zyxm且與直線且與直線求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)例例5 n2 1 )2( x)1( y)3( z0 t 4073 t交點(diǎn)交點(diǎn))73

21、,713,72( n取所求直線的方向向量為取所求直線的方向向量為mnmn21332,1,3777 12 624,777 直線方程為直線方程為451122 zyx0)3()1(2)2(3 zyx tztytx1213代入代入得得將將)3 , 1 , 2(m直線過(guò)點(diǎn)直線過(guò)點(diǎn). m n41解解 設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為),(pnms ,1ns ,2ns 取取21nns 4, 3, 1, .153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程例例6的交線平行的直線方程的交線平行的直線方程.和和且與兩平面且與兩平面求過(guò)點(diǎn)求過(guò)點(diǎn)34)5 , 2 , 3( zx152 zyx 過(guò)已知直線外一

22、點(diǎn)作直線與已知直線平行過(guò)已知直線外一點(diǎn)作直線與已知直線平行 42的兩個(gè)互相的兩個(gè)互相求通過(guò)直線求通過(guò)直線 020:zyxyxl.,zyx 線線其其中中一一個(gè)個(gè)平平面面平平行行于于直直垂垂直直的的平平面面解解 設(shè)設(shè)平面束方程平面束方程02)1()1( zyx,1 的的平平面面為為設(shè)設(shè)平平行行于于直直線線zyx 0)1()1( 2 方方程程平平面面1 ,21 的的平平面面方方程程為為又又設(shè)設(shè)垂垂直直于于由由即即; 0423 zyx由由02)1(3)1( 31 1 1,1, n . 02242 zyx方方程程平平面面 1 2 (2) 0 x yx y z 例7.43例例8 求通過(guò)直線求通過(guò)直線l:2

23、41 03270,xyzxyz 且垂直于平面且垂直于平面:23 1 0 xyz 的平面方程的平面方程,并求直線并求直線l在平面在平面上的投影直線的方程上的投影直線的方程.44方程方程表示表示( )(a) 雙曲柱面雙曲柱面;(d) 錐錐面面.(c)雙葉雙曲面雙葉雙曲面;(b)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)雙曲面雙曲面;b橢圓拋物面橢圓拋物面 雙曲拋物面雙曲拋物面(馬鞍面）馬鞍面）填空填空 設(shè)有曲面方程設(shè)有曲面方程則方程表示的曲面為則方程表示的曲面為,0,222時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) pqzqypx方程表示的曲面為方程表示的曲面為,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) pq14222 zyx選擇選擇45是是0132222 zyx 雙葉雙雙葉雙曲面曲面,它的對(duì)稱(chēng)軸在它的對(duì)稱(chēng)軸在 軸上軸上.y.43222面面所表示的曲面是所表示的曲面是方程方程yxz 橢圓錐橢圓錐46例9 求錐面22zxy與柱面22zx所圍成得立體在三個(gè)坐標(biāo)面上的投影.解:交線為2222zxyzx在xoy面上:2211,0 xyz在xoz面上:2 ,0 xzx y在yoz面上:2