高三數(shù)學向量專題復(fù)習(高考題型匯總及講解)(1)

1、向量專題復(fù)習向量是高考的一個亮點，因為向量知識，向量觀點在數(shù)學、物理等學科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學數(shù)學教學內(nèi)容的許多主干知識綜合，形成知識交匯點，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視。一、 平面向量加、減、實數(shù)與向量積（一）基本知識點提示1、重點要理解向量、零向量、向量的模、單位向量、平行向量、反向量、相等向量、兩向量的夾角等概念。2、了解平面向量基本定理和空間向量基本定理。3、向量的加法的平行四邊形法則（共起點）和三角形法則（首尾相接）。4、向量形式的三角形不等式：-±+(試問：取等號的條件是什么?)；向量形式的平行四邊形定理

2、：2（+）=+5、實數(shù)與向量的乘法（即數(shù)乘的意義）實數(shù)與向量的積是一個向量，記，它的長度與方向規(guī)定如下：(1)=·(2)當0時，的方向與的方向相同；當0時，的方向與的方向相反；當=0時，=,方向是任意的.6、共線向量定理的應(yīng)用：若，則存在唯一實數(shù)對使得=xy-xy=0(其中=（x，y），=（x，y）)（二）典型例題例1、O是平面上一 定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點P滿足則P的軌跡一定通過ABC的（ ）A外心B內(nèi)心C重心D垂心分析：是在BAC的平分線上，選B例2、對于任意非零向量與，求證：-±+證明：(1)兩個非零向量與不共線時，+的方向與，的方向都不同，并且-

3、±+(3)兩個非零向量與共線時，與同向，則+的方向與、相同且+=.與異向時，則+的方向與模較大的向量方向相同，設(shè)|，則|+|=|-|.同理可證另一種情況也成立。（三）鞏固練習1、已知A、B、C是不共線的三點，O是ABC內(nèi)的一點，若+=，則O是ABC的（ ）（A）重心 （B）垂心（C）內(nèi)心（D）外心2、下列5個命題中正確的是 對于實數(shù)p,q和向量,若p=q則p=q對于向量與，若|=|則=對于兩個單位向量與，若|+|=2則=對于兩個單位向量與，若k=，則=在ABC中，若點P滿足；=則直線AP必經(jīng)過ABC的內(nèi)心3、已知與方向相同，且|=3，|=7，則|2|= 4、設(shè)非零向量與滿足|=|=|

4、+|，則與+的夾角是 5、求函數(shù)f(x)=的最大值答案：（1）A（2）（3）1（4） （5）二、 向量的坐標運算及應(yīng)用（一）基本知識回顧1、向量的坐標概念和坐標表示法2、向量的坐標運算（加、減、實數(shù)和向量的乘法、數(shù)量積）3、線段的定比分點概念及定比分點坐標公式4、圖形的平移概念及平移變換公式例3 已知點A(x,5)，B(-2,y)，直線AB上的點C(1,1)，使|AC|=2|BC|, 求向量按向量=(1,1)平移的向量坐標.解法1：（坐標運算法）|AC|=2|BC|，且A、B、C共線，=±2，(1,1)(X,5)=±2(1,1)(-2,y), x=7, y=-1; x=-5

5、,y=3;解法2：用線段的定比分點公式法，=2點C分所成的比為2；=2點C分所成的比為2；再用定比分點坐標公式可求出點A、點B的坐標。平移后向量的坐標為(-9,-6) , (3,-2)例4 已知O為ABC內(nèi)部一點，AOB=150°，BOC=90°，設(shè)=，=，=，且|=2，|=1，| |=3，用與表示 解：如圖建立平面直角坐標系xoy，其中, 是單位正交基底向量, 則B（0，1），C（-3，0），設(shè)A（x，y），則條件知x=2cos(150°-90°),y=-2sin(150°-90°)，即A（1，-），也就是= , =， =-3所以-

6、3=3+|即=33鞏固練習1、 已知函數(shù)f(x)的圖象沿直線y=-x向下平移2個單位得到函數(shù)y=lgx的圖象，則f(x)= 2、(10)平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（3，1），B（-1，3），若點C滿足，其中，且則點C的軌跡方程為（ D ）（A）（B）（C）（D）3、已知=（6，2）與=（-4，），直線l過點A(3,-1)且與向量+2垂直，則直線l的一般方程是 4、已知=(5,4)與=(3,2)，則與23平行的單位向量為 5、已知=(-5,3)與=(-1,2)，且+與2+互相垂直，則實數(shù)的值等于 答案：1、f (x)=lg(x+2)+2; 2, D 3, 2x-3y-9=0 4,

7、 ±(, ) 5, 例5、（03年全國高考18（本小題滿分12分）如圖，在直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，側(cè)棱，D、E分別是與的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD的重心G(I)求與平面ABD所成角的大?。ńY(jié)果用反三角函數(shù)值表示）(II)求點到平面AED的距離（）解：連結(jié)BG，則BG是BE在ABD的射影，即EBG是A1B與平面ABD所成的角.設(shè)F為AB中點，連結(jié)EF、FC，（）解：鞏固練習1、=（1，1，0）與=（1，1，1），若= +且，求，；2、（新課程01年高考20）以正棱錐V-ABCD底面中心O為坐標原點建立空間直角坐標系O-，其中OXBC，OYAB，E為VC的中點，正四

8、棱錐底面邊長為，高為（1）求；（2）記面BCV為，面DCV為，若BED是二面角的平面角，求BED的值。（理改為“求BED的值?！保?、如圖：已知正三棱柱ABCABC中，AB=4，BB=3，D為AB的中點，F(xiàn)為AC的中點，E在BB上，且BE=BB （1）求DF與CF所成角的大??；（2）若在BB上取一點P，問直線CP與平面ABC所成角為多少時，CPDF答案：1、 =（1，1，0），=（0，0，1）2、結(jié)果 ：（1）求=；（2）記面BCV為，面DCV為，若BED是二面角的平面角，求BED的值為。（理改為“求BED的值?！保?、 arccos , arctan例6、（03年新課程高考21（本小題滿分1

9、4分）已知常數(shù)a>0，向量c=（0，a），i=（1，0），經(jīng)過原點O以c+i為方向向量的直線與經(jīng)過定點A（0，a）以i2c為方向向量的直線相交于點P，其中R.試問：是否存在兩個定點E、F，使得|PE|+|PF|為定值.若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.21本小題主要考查平面向量的概念和計算,求軌跡的方法，橢圓的方程和性質(zhì)，利用方程判定曲線的性質(zhì)，曲線與方程的關(guān)系等解析幾何的基本思想和綜合解題能力，滿分12分.解：根據(jù)題設(shè)條件，首先求出點P坐標滿足的方程，據(jù)此再判斷是否存在兩定點，使得點P到兩定點距離的和為定值.i=（1，0），c=（0，a）， c+i=（，a），i2c=（1，

10、2a）.因此，直線OP和AP的方程分別為 和 .消去參數(shù)，得點的坐標滿足方程.整理得 因為所以得：（i）當時，方程是圓方程，故不存在合乎題意的定點E和F；（ii）當時，方程表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點；（iii）當時，方程也表示橢圓，焦點和為合乎題意的兩個定點.鞏固練習1、橢圓的焦點為F，F(xiàn)，點P為其上的動點，當FPF為鈍角時，點P橫坐標的取值范圍是 2、已知拋物線，上有兩點A、B，且OAOB，OMAB，求M點的軌跡方程。3、（02年新課程高考（21）（12分）已知兩點M（-1，0），N（1，0），且點P使·，·,·成公差小于零的等差數(shù)列（1）點P的軌跡是

11、什么曲線？（2）若點P坐標為（），記為與的夾角，求；4、已知OFQ的面積為S，且·=1 若S，求與的夾角的取值范圍；設(shè)|=c，S=c ，若以O(shè)為中心，F(xiàn)為焦點的橢圓經(jīng)過點Q，當|取得最小值時，求此橢圓的方程。答案：1、（，），2、(xp) +y=p (x0), 3、點P的軌跡是以原點為圓心，為半徑的右半圓tan=|y| 4; 5; 三、平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用1、數(shù)量積（點乘或內(nèi)積）的概念，·=|cos=xx+yy注意區(qū)別“實數(shù)與向量的乘法；向量與向量的乘法”2、數(shù)量積的主要應(yīng)用：求模長；求夾角；判垂直；例7、下面5個命題：|·|=|·|(·)

12、=·()，則·=· ·=0，則|+|=|·=0，則=或=，其中真命題是（ ）A B C D鞏固練習1、下面5個命題中正確的有（ ）=·=··=·=·（+）=·+··（·）=（·）·A B C D 2、下列命題中，正確命題的個數(shù)為（ ）若與是非零向量 ，且與共線時，則與必與或中之一方向相同；若為單位向量，且則=| ··=| 若與共線，與共線，則與共線；若平面內(nèi)四點A、B、C、D，必有+=+A 1 B 2 C 3 D 4

13、 答案：1、D 2、A 例8、設(shè)=（1+cos, sin）,=(1-cos, sin),=(1,0)，(0, ), (,2),與的夾角為 ， 與的夾角為，且+ =，求sin的值。解：Cos=(0, ),= , + = , , sin=sin(鞏固練習：1、已知=（cos,sin）與=(cos, sin) ，且x0,，求·與|+|，f(x)= ·4|+|的最小值答案：cosx; 2cos當且僅當cosx=1；即x=0時，f(x)取最小值為7如圖，已知平行六面體ABCD-的底面ABCD是菱形，且=。（I）證明：BD； （II）當?shù)闹禐槎嗌贂r，能使平面？請給出證明。（18乙）本小題主要考查直線與直線、直線與平面的關(guān)系，邏輯推理能力。滿分 12分。 （I）證明：連結(jié)、AC，AC和BD交于O，連結(jié)。 四邊形ABCD是菱形， ACBD，BC=CD。又 ， ， ， DO=OB， BD， 3分但 ACBD，AC=O， BD平面。又 平面， BD。 6分（II）當時，能使平面。證明一： ， BC=CD=，又 ，由此可推得BD=。 三棱錐C- 是正三棱錐。 9分設(shè)與相交于G。 AC，且OC=21， GO=21。又 是正三角形的BD邊上的高和中線， 點G是正三角形的中心， CG平面。即 平面。 12分證明二：由（I）知