高中數(shù)學(xué)競賽平面幾何定理證明大全

1、Gerrald 加油 堅持住Gerrald 加油 堅持住Gerrald 加油 堅持住莫利定理：將任意三角形的各角三等分，則每兩個角的相鄰三等分線的交點(diǎn)構(gòu)成一個正三角形。   設(shè)ABC中的B,C的兩條三等分角線分別交于P, D兩個點(diǎn)（圖1），按照莫利定理，D是莫萊三角形的一個頂點(diǎn)，當(dāng)然D就是BPC的內(nèi)心，因?yàn)锽D, CD正好是CBP, BCP的角平分線。莫利三角形的另兩個頂點(diǎn)E, F應(yīng)該分別落在CP和BP上，因此我們產(chǎn)生了一個念頭，如果能夠在CP, BP上找到E, F這兩個點(diǎn)，使DEF是個正三角形，再證AE、AF正好是BAC的三等分線就行了為此，先把DP連起來，在C

2、P, BP上分別取兩點(diǎn)E, F使EDPFDP30°,于是就得到一個三角形DEF。為什么它是一個正三角形呢？因?yàn)镈是BPC的內(nèi)心，所以DP是BPC的角平分線，即DPEDPF，由作圖知EDPFDP30°,在DPE和DPF中，DP是公共邊，而夾此邊的兩角又是對應(yīng)相等的，所以DPEDPF。于是DEDF,即DEF是個等腰三角形，它的腰是DE和DF，而它的頂角又是60°，所以它當(dāng)然是個正三角形。接下來，我們的目標(biāo)就是希望能證明DEF真的是莫利三角形，亦即AE, AF的確會三等分BAC。如圖2所示，在AB, AC上各取一點(diǎn)G,H,使得BGBD, CHCD，把G、 F、E、H各點(diǎn)

3、依次連起來，根據(jù)BFDBFG，CEDCEH，我們就得到GFFDFEEDEH。下面，如果能夠證明G,F,E,H，A五點(diǎn)共圓，則定理的證明就完成了，因?yàn)镚AF,FAE,EAH這三個圓周角所對的弦GF, FE, EH都等長，因而這三個圓周角也就都相等了。為了證明G,H,E,F，A共圓，必須證明FGEFHEA/3?？磮D2，首先我們注意到GFE是個等腰三角形，GFE是它的頂角，如果這個角能求出來，其底角FGE也就能求出來了。PFE也是一個等腰三角形，這是因?yàn)镻DFPDE，（PD是公用邊，DPFDPE，PDFPDE30°），所以PF=PE。等腰三角形PFE的頂角大小為：FPE=-2/3（ABC+

4、ACB）=-2/3（-BAC）=/3+2/3BAC（1）BFD=PDF+DPF=/6+1/2FPE=/6+/6+1/3BAC=/3+1/3BAC （2） GFE=2-EFD-2BFD=2-/3-2/3-2BAC/3=-2/3BAC （3）最后得到：FGE=FEG=1/2(-GFE)=1/3BAC（4）同理可證：FHE=HFE=1/3BAC（5）至此可知G,H,E,F，A五點(diǎn)共圓。因GF=FE=EH，所以GAF=FAE=EAH=1/3BAC（6）即AE和AF恰好是BAC的三等分線，所以DEF是莫利三角形。蝴蝶定理：AB是圓的一條弦，中點(diǎn)記為S，圓心為O，過S作任意兩條弦CD、EF，分別交圓于C、

5、D、E、F，連接CF,ED分別交AB于點(diǎn)M、N，求證：MS=NS。證明（一）過O作OLAD，OTCF，垂足為L、T，連接ON，OM，OS，SL，ST容易證明ESDCSF 所以ES/CSED/FC根據(jù)垂徑定理得：LDED/2，F(xiàn)TFC/2 所以ES/CSEL/CT又因?yàn)镋C 所以ESLCST 所以SLNSTM因?yàn)镾是AB的中點(diǎn) 所以O(shè)SAB 所以O(shè)SNOSN90° 所以O(shè)SN+OSN180°所以O(shè)，S，N，L四點(diǎn)共圓 同理O，T，M，S四點(diǎn)共圓所以STMSOM，SLNSON 所以SONSOM ，因?yàn)镺SAB 所以MSNS證明（二）從向和作垂線，設(shè)垂足分別為和。類似地，從向和作

6、垂線，設(shè)垂足分別為和?，F(xiàn)在，由于從這些等式，可以很容易看出：由于PM=MQ 現(xiàn)在，因此，我們得出結(jié)論： ，也就是說，是的中點(diǎn)。清宮定理 ：設(shè)P、Q為ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F，則D、E、F在同一直線上證明設(shè)P、Q為ABC的外接圓上異于A、B、C的兩點(diǎn)，P關(guān)于三邊BC、CA、AB的對稱點(diǎn)分別是U、V、W，且QU、QV、QW分別交三邊BC、CA、AB或其延長線于D、E、F 這時，P、Q兩點(diǎn)和D、F、E、三點(diǎn)有如下關(guān)系： 將三角形的三邊或者其延長線作為鏡面，則從P點(diǎn)出發(fā)的

7、光線照到D點(diǎn)經(jīng)過BC反射以后通過Q點(diǎn)，從P點(diǎn)出發(fā)的光線照到E點(diǎn)經(jīng)AC的延長線反射后通過Q點(diǎn)，從P點(diǎn)出發(fā)的光線照到F點(diǎn)后通過Q點(diǎn) 從而，如果P、Q兩點(diǎn)重合，則D、E、F三點(diǎn)成為從P（即Q）點(diǎn)向BC，CA，AB或者它們的延長線所引的垂線的垂足。于是，如果P、Q兩點(diǎn)重合，清宮定理就成為西摩松定理。 我們決定將證明清宮定理的方針確定如下：因?yàn)镈、E、F三點(diǎn)中，有兩點(diǎn)在ABC的邊上，其余一點(diǎn)在邊的延長線上， 如證明 （BD/DC）·（CE/EA）·（AF/FB）=1， 則根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理，就可證明DEF三點(diǎn)在同一直線上。 首先，A、B、P、C四點(diǎn)在同一圓周上，因此 PCE=A

8、BP 但是，點(diǎn)P和V關(guān)于CA對稱 所以PCV=2PCE 又因?yàn)镻和關(guān)于AB對稱，所以 PBW=2ABP 從這三個式子，有 PCV=PBW 另一方面，因?yàn)镻CQ和PBQ都是弦PQ所對的圓周角，所以 PCQ=PBQ 兩式相加，有 PCV+PCQ=PBW+PBQ 即QCV=QBW 即QCV和QBW有一個頂角相等，因此 S（QCV）/S（QBW）=（CV·CQ）/（BW·BQ） 但是CV=CP，BW=BP，所以 S（QCV）/S（QBW）=（CP·CQ）/（BP·BQ） 同理S（QAW）/（QCU）=（AP·AQ）/（CP·CQ） S（QBU

9、）/S（QAV）=（BP·BQ）/（AP·AQ） 于是 （BD/DC）·（CE/EA）·（AF/FB） =S（QBU）/S（QCU）·S（QCV）/S（QAV）·S（QAW）/S（QBW） =S（QBU）/S（QAV）·S（QCV）/S（QBW）·S（QAW）/S（QCU） =（BP·BQ)/（AP·AQ）·（CP·CQ)/（BP·BQ）· （AP·AQ)/（CP·CQ） =1 根據(jù)梅涅勞斯定理的逆定理，D、E、F三點(diǎn)在同一直線上牛頓定

10、理1： 四邊形兩條對邊的延長線的交點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)和兩條對角線的中點(diǎn)，三點(diǎn)共線。這條直線叫做這個四邊形的牛頓線。 證明 四邊形ABCD,ABCD=E,ADBC=F,BD中點(diǎn)M,AC中點(diǎn)L,EF中點(diǎn)N    牛頓定理1取BE中點(diǎn)P,BC中點(diǎn)R,PNCE=Q R,L,Q共線 QL/LR=EA/AB M,R,P共線 RM/MP=CD/DE N,P,Q共線 PN/NQ=BF/FC 三式相乘得: QL/LR*RM/MP*PN/NQ=EA/AB*CD/DE*BF/FC 由梅涅勞斯定理 QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1 由梅涅勞斯定理的逆定理知:L,M,N三點(diǎn)共 證畢 故牛頓定理1

11、成立 牛頓定理2 ：圓外切四邊形的兩條對角線的中點(diǎn)，及該圓的圓心，三點(diǎn)共線。 證明： 設(shè)四邊形ABCD是I的外切四邊形，E和F分別是它的對角線AC和BD的中點(diǎn)，連接EI只需證它過點(diǎn)F，即只需證BEI與DEI面積相等。    牛頓定理2圖顯然，SBEI=-SBIC+SCEI+SBCE，而SDEI=-SADE+SAIE+SAID。 注意兩個式子，由ABCD外切于I，AB+CD=AD+BC，SBIC+SAID=1/2*S四邊形ABCD，SADE+SBCE=1/2*SACD+1/2*SABC=1/2*S四邊形ABCD 即SBIC+SAID=SADE+SBCE，移項得SBIC-SBC

12、E=SADE-SAID，由E是AC中點(diǎn)，SCEI=SAEI，故SBIC-SCEI-SBCE=SADE-SAIE-SAID，即SBEI=DEI，而F是BD中點(diǎn)，由共邊比例定理EI過點(diǎn)F即EF過點(diǎn)I，故結(jié)論成立。 證畢。 （共邊比例定理：平行四邊形ABCD（不一定是凸四邊形），設(shè)AC,BD相交于E   則有BE/DE=SABC/SADC）  牛頓定理3 ：圓的外切四邊形的對角線的交點(diǎn)和以切點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形對角線交點(diǎn)重合。 證明 設(shè)四邊形ABCD的邊AB,BC,CD,DA與內(nèi)切圓分別切于點(diǎn)E,F,G,H. 首先證明,直線AC,EG,FH交于一點(diǎn).設(shè)EG,FH分

13、別交AC于點(diǎn)I,I'. 顯然 AHI'=BFI' 因此易知 AI'*HI'/FI'*CI'=S(AI'H)/S(CI'F)=AH*HI'/CF*FI' 故 AI'/CI'=AH/CF. 同樣可證:AI/CI=AE/CG 又AE=AH,CF=CG. 故AI/CI=AH/CF=AI'/CI'. 從而I,I'重合.即直線AC,EG,FH交于一點(diǎn). 同理可證:直線BD,EG,FH交于一點(diǎn). 因此 直線AC,BD,EG,FH交于一點(diǎn). 證畢。燕尾定理燕尾定理，因此圖類似燕尾而得

14、名，是一個關(guān)于三角形的定理（如圖ABC，D、E、F為BC、CA、AB 上的中點(diǎn)，AD、BE、CF 交于O點(diǎn)）。   圖2SABC中，SAOB：SAOC=SBDO：SCDO=BD：CD； 同理，SAOC：SBOC=SAFO：SBFO=AF：BF； SBOC：SBOA=SCEO：SAEO=EC：EA。證法1 下面的是第一種方法：利用合比性質(zhì) ABD與ACD同高 SABD：SACD=BD：CD 同理，SOBD：SOCD=BD：CD 利用合比性質(zhì)，得 SABD-SOBD：SACD-SOCD=BD：CD 即SAOB：SAOC=BD：CD 命題得證。證法2 下面的是第二種方法：相似三角形法已知：ABC的兩條中線AD、CF相交于點(diǎn)O，連接并延長BO，交AC于點(diǎn)E。 求證：AE=CE 證明： 如圖2，過點(diǎn)O作MNBC，交AB于點(diǎn)M，交AC于點(diǎn)N； 過點(diǎn)O作PQAB，交BC于點(diǎn)P，交AC于點(diǎn)Q。 MNBC AMOABD，ANOACD MO：BD=AO：AD，NO：CD=AO：AD MO：BD=NO：CD AD是ABC的一條中線 BD=CD MO=NO PQAB CPOCBF，CQOCAF PO：BF