第五章無(wú)窮級(jí)數(shù)第三節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)

1、第三節(jié)第三節(jié) 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)1三角函數(shù)系及其正交性三角函數(shù)系及其正交性2函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)3一般周期函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)一般周期函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)一一 三角函數(shù)系及其正交性三角函數(shù)系及其正交性簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng)簡(jiǎn)單的周期運(yùn)動(dòng) :sin()yat(諧波函數(shù)諧波函數(shù))( a為為振幅振幅, 復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng) :)sin(10nnntnaay tnatnannnn sincoscossin 令令,200aa ,sinnnnaa ,cosnnnab xt 得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)得函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))sincos(210 xnbxnaannk 為為角頻率角頻率,為為初相初相 )(諧波迭

2、加諧波迭加)稱上述形式的級(jí)數(shù)為稱上述形式的級(jí)數(shù)為三角級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù). ,1,cosx,sin x,2cos x,2sin x,cos,nx,sinnx函數(shù)系函數(shù)系稱為稱為三角函數(shù)系三角函數(shù)系。定義定義 設(shè)函數(shù)系設(shè)函數(shù)系( )(0,1,2)kxk 是一簇定義在是一簇定義在 , a b上的平方可積的函數(shù)，上的平方可積的函數(shù)， 如果滿足條件：如果滿足條件：1) ( )( )0()bmnaxx dxmn 2)2( )0bnnax dx 則稱函數(shù)系則稱函數(shù)系( )(0,1,2)kxk 是區(qū)間是區(qū)間 , a b上上正交函正交函數(shù)數(shù)系系。 xxnkxnkd)cos()cos(21 1xnxdcos 1xnxd

3、sin0 xnxk coscos)(nk xxnxkdcoscos 00dsinsin xxnxk 同理同理),2,1( n xnkxnk)(cos)(cos21 )(nk 由于由于cossind0k xnx x 2d11 xxxn dsin2 xxn dcos2 ), 2, 1( n 因此，因此， 三角函數(shù)系是區(qū)間三角函數(shù)系是區(qū)間, 上的正交函數(shù)系。上的正交函數(shù)系。同理，同理， 三角函數(shù)系是區(qū)間三角函數(shù)系是區(qū)間0,2 上的正交函數(shù)系。上的正交函數(shù)系。二二 函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)1 傅立葉系數(shù)傅立葉系數(shù)設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 且且)s

4、incos(2)(10nxbnxaaxfnnn ( )f x dx 0a ,則由條件則由條件,對(duì)對(duì)在在逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分02adx 1(cosdsind )nnnanxxbnxx 01( )daf xx 右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分右端級(jí)數(shù)可逐項(xiàng)積分, 0cosd2akxx 1ncoscosdnak xnx x cossindnbk xnxx 2cosdkak xx ka 1( )cosdkaf xk xx ),2,1( k( (利用正交性利用正交性) )1( )sind(1 , 2 ,)kbf xkxxk 類似地類似地, 用用 sin k x 乘乘 式兩邊式兩邊, 再逐項(xiàng)積分可得再逐項(xiàng)積分可得( )co

5、sdf xkxx 因此因此1( )cosdnaf xnxx (0,1,2,)n 1( )sind(1, 2,)nbf xnxxn 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù)葉系數(shù)為系數(shù)的三角級(jí)數(shù) 稱為稱為的的傅傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) ;由公式由公式 確定的確定的nnba ,以以)(xf)(xf的傅的傅里里的的傅傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù) .稱為函數(shù)稱為函數(shù))(xf2 傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性傅立葉級(jí)數(shù)的收斂性定理定理 (收斂定理收斂定理, 展開定理展開定理)設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為2 的的周期函數(shù)周期函數(shù), 并滿足并滿足狄利克雷狄利克雷( dirichlet )條件條件:1) 在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)在一

6、個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn);2) 在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極值點(diǎn), 則則 f (x) 的傅的傅里里葉級(jí)數(shù)收斂葉級(jí)數(shù)收斂 , 且有且有 01cossin2nnnaanxbnx , )(xf(0)(0),2f xf x x 為間斷點(diǎn)為間斷點(diǎn)其中其中nnba ,( 證明略證明略 )為為 f (x) 的傅的傅里里葉系數(shù)葉系數(shù) . x 為連續(xù)點(diǎn)為連續(xù)點(diǎn)注意注意: 函數(shù)展成函數(shù)展成傅傅里里葉級(jí)數(shù)的條葉級(jí)數(shù)的條件比展成冪級(jí)數(shù)件比展成冪級(jí)數(shù)的條件低得多的條件低得多.例例1.1. 設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 它在它在 上的表達(dá)式為上的表達(dá)

7、式為),1 ,0( )1 , 0 xf xx 解解:s (x)為為f (x) 的傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)，的傅立葉級(jí)數(shù)的和函數(shù)， 求求( )s x的表達(dá)式的表達(dá)式及及(0), (1), ( ), (5).ssss ( )f x在在(0, ) 連續(xù)，連續(xù)， 所以所以( )( )1,(0, )s xf xx ( )f x在在(,0) 連續(xù)，連續(xù)， 所以所以( )( )1,(,0)s xf xx (0)s (00)(00)2ff 1( 1)02 ()s (0)(0)2ff 1( 1)02 所以由周期性可知所以由周期性可知( )s x 2(21)kxk(21)2kxkxk (0, 1, 2,)k 11 0(

8、0)0,s (1)1s ( )0s (5)s(52 )s 1 3 函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)xoy例例2.上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為), xxxxf0,00,)(將將 f (x) 展成傅展成傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù). 解解: : 2332設(shè)設(shè) f (x) 是周期為是周期為 2 的周期函數(shù)的周期函數(shù) , 它在它在 1) 以以2 為周期為周期 的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù)的周期函數(shù)的傅立葉級(jí)數(shù) )(xf在在 )12( kx連續(xù)，連續(xù)，因此其傅立葉級(jí)數(shù)因此其傅立葉級(jí)數(shù)收斂到收斂到),(xf當(dāng)當(dāng) )12( kx時(shí)，時(shí)， 收斂到收斂到.220 xxfad)(10 0dcos1 xxnx xnxxfand

9、cos)(1 0d1 xx 0221x2 02cossin1nnxnnxx 2)1(1nn xnxxfbndsin)(1nn 1)1( 0dsin1 xnxx )(xf 112)sin)1(cos)1(1(nnnnxnnxn 4 ),2,1,0,)12(,( kkxx 例例3. 設(shè)設(shè)( ) |()f xxxoyx0a xxfd)(1 0d2xx na xnxxfdcos)(1 0dcos2xnxx 02cossin2 nnxnnxx解解:將函數(shù)將函數(shù)(2 )( ),f xf x 且且( )f x展開成傅立葉級(jí)數(shù)。展開成傅立葉級(jí)數(shù)。22( 1)1 )nn 12 knkn2,0 ),2,1( k,

10、2)12(4 k x3cos312nb 1( )sindf xnxx 0 )(xf2 4 xcos x5cos512()x 利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和利用此展式可求出幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)的和.當(dāng)當(dāng) x = 0 時(shí)時(shí), f (0) = 0 , 得得 2222)12(1513118n 設(shè)設(shè)2221111,234 22217151311 2 12cos1)1(2nnnxn 42 ,421 312 242已知已知821 又又21 213 6248222 12248222 ,6141212222 22234131211 例例4. 設(shè)設(shè)的的表達(dá)式為表達(dá)式為 f (x)x ,將將 f (x) 展成傅展成傅

11、里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù).是是周期為周期為2 的周期函數(shù)的周期函數(shù),它在它在上上), )(xf解解:yxo1( )sindnbf xnxx 1( )cos0(0 , 1 , 2 ,)naf xnxdxn ),3,2,1( n 0dsin2xnxx nncos2 1)1(2 nn)(xf在在 )12( kx連續(xù)，連續(xù)，因此其傅立葉級(jí)數(shù)因此其傅立葉級(jí)數(shù)收斂到收斂到),(xf當(dāng)當(dāng) )12( kx時(shí)，時(shí)， 收斂到收斂到. 02 )(xf,( x)3sin312sin21(sin2 xxx 12nnxnnsin)1(1 ),1,0,)12( kkx yxo2) 定義在定義在, 上函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)上函數(shù)展開成

12、傅立葉級(jí)數(shù), )( xxf周期延拓周期延拓 )(xf傅傅里里葉展開葉展開,)( 在在得得xf上的傅上的傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù),), , )( xxf, )2( kxf 其它其它最后在最后在, 上討論級(jí)數(shù)的收斂性。上討論級(jí)數(shù)的收斂性。例例5 將定義在將定義在, 上函數(shù)上函數(shù)20( )00 xf xx 展開成傅展開成傅里里葉級(jí)數(shù)。葉級(jí)數(shù)。解解在在( )f x(, 上滿足收斂定理的條件，上滿足收斂定理的條件，周期延拓，周期延拓，延拓后的函數(shù)在延拓后的函數(shù)在,0 x 處不連續(xù)，處不連續(xù)，因此其傅立葉級(jí)數(shù)因此其傅立葉級(jí)數(shù)在在,0 x 收斂到收斂到201,2 在在(,0),(0, ) 上收斂到上收斂到( ).

13、f x01( )af x dx 02dx 2 1( )cosnaf xnxdx 02cosnxdx 0 并求級(jí)數(shù)并求級(jí)數(shù)11( 1)21kkk 的和。的和。1( )sinnbf xnxdx 02sinnxdx 02cosnxn 1( 1)2nn 2nk 4(21)k 21nk0(1,2,3,)k ( )f x 1141sin(21)21kkxk ,0 xx令令,2x 1sin(21)( 1),2kk 2 1114( 1)21kkk 11( 1)214kkk 例例6 將定義在將定義在, 上函數(shù)上函數(shù)221|( )1|xf xx 展開成傅展開成傅里里葉級(jí)數(shù)。葉級(jí)數(shù)。2 2 xyo1 解解在在( )

14、f x(, 上滿足收斂定理的條件，上滿足收斂定理的條件，周期延拓，周期延拓，延拓后的函數(shù)在延拓后的函數(shù)在2x 處不連續(xù)，處不連續(xù)， 其傅立葉其傅立葉級(jí)數(shù)在級(jí)數(shù)在2x 收斂到收斂到110,2 在在2222,),(, ),( , 上收斂到上收斂到( ).f x dxxfa)(10 0)(2dxxf 202 dx2 dx0 nxdxxfancos)(1 0cos)(2nxdxxf 20cos2 nxdxcos2 nxdx20sin2 nxn sin2 nx 2sin4 nn12 kn )12()1(41 kkkn2 0), 2 , 1( k nxdxxfbnsin)(1), 2 , 1( n0 )(

15、xf 1)12cos(12)1(4kkxkk )2|,( xx3) 定義在定義在0, 上函數(shù)展開成正弦、余弦級(jí)數(shù)上函數(shù)展開成正弦、余弦級(jí)數(shù)定理定理 對(duì)周期為對(duì)周期為 2 的的奇奇函數(shù)函數(shù) f (x) , 其傅里葉其傅里葉級(jí)數(shù)為級(jí)數(shù)為周期為周期為2 的的偶偶函數(shù)函數(shù) f (x) , 其傅里葉級(jí)數(shù)為其傅里葉級(jí)數(shù)為余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù) ,),2,1,0( dcos)(20 nxnxxfan ),3,2,1( 0 nbn),2,1,0( 0 nan 0),3,2,1(dsin)(2nxnxxfbn它的傅它的傅里里葉系數(shù)為葉系數(shù)為正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù),它的傅它的傅里里葉系數(shù)為葉系數(shù)為,0),( xxf )(xf

16、周期延拓周期延拓 f (x) )(xf f (x) 在在 0 , 上展成上展成周期延拓周期延拓 f (x)余弦級(jí)數(shù)余弦級(jí)數(shù)奇延拓奇延拓偶延拓偶延拓xoy正弦級(jí)數(shù)正弦級(jí)數(shù) f (x) 在在 0 , 上展成上展成xoy, 0(),( xxf0, 0 x)0,(),( xxf,0(),( xxf)0,(),( xxf例例7 將定義在將定義在tetusin)( 展成余弦級(jí)數(shù)展成余弦級(jí)數(shù), 其其中中e 為正常數(shù)為正常數(shù) .解解:22oyx0a 0dsin2tte e4 ttntuan 0dcos)(2ttnte 0dcossin2 0d)1sin()1sin(ttntne 0d)(2ttu, 0 上函數(shù)

17、上函數(shù)將函數(shù)將函數(shù))(tu先進(jìn)行先進(jìn)行偶延拓，偶延拓，在進(jìn)行周期延拓，在進(jìn)行周期延拓， 延拓后函數(shù)在延拓后函數(shù)在, 0 連續(xù)，連續(xù)，因此展開后的余弦級(jí)數(shù)收斂到因此展開后的余弦級(jí)數(shù)收斂到).(tu1 nt 2cos31 0d)1sin()1sin(ttntneankn2 12, 0 kn),2,1( k 1a0 )(tu)0( t,)14(42 ke 0d2sintte21t 4cos151 t 6cos351e2 e42141cos241kektk 1xyo例例8. 將函數(shù)將函數(shù))0(1)( xxxf分別展成正弦級(jí)分別展成正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù)數(shù)與余弦級(jí)數(shù) . 解解: 先求正弦級(jí)數(shù)先求正弦級(jí)數(shù).

18、去掉端點(diǎn)去掉端點(diǎn), 將將 f (x) 作奇周期延拓作奇周期延拓, 0dsin)(xnxxf 2 nb 0dsin)1(2xnxx 02cossincos2 nnxnnxnnxx nn)1)(1(12 1x 1sin)1)(1(12nnnxn )0( x注意注意:在端點(diǎn)在端點(diǎn) x = 0, , 級(jí)數(shù)的和為級(jí)數(shù)的和為0 ,與給定函數(shù)與給定函數(shù) f (x) = x + 1 的值不同的值不同 . 再求余弦級(jí)數(shù)再求余弦級(jí)數(shù).x1y將將)(xf則有則有o 0a 0d)1(2xx na 0dcos)1(2xnxx0222 xx2 02sincossin2 nnxnnxnnxx 1cos22 nn12,)12

19、(42 knk kn2,0 ),2,1( k作偶周期延拓作偶周期延拓 ,121 x xcos x3cos312)0( x x5cos512說(shuō)明說(shuō)明: 令令 x = 0 可得可得851311222 8)12(1212 nk即即 412 12)12(14kk xk)12cos( 1yox三三 一般周期函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)一般周期函數(shù)展開成傅立葉級(jí)數(shù)設(shè)周期為設(shè)周期為2l 的周期函數(shù)的周期函數(shù) f (x)滿足收斂定理?xiàng)l件滿足收斂定理?xiàng)l件,則它的傅里葉展開式為則它的傅里葉展開式為 10sincos2)(nnnlxnblxnaaxf (在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處) naxlxnxflbllnd

20、sin)(1 其中其中定理定理.l1xlxnxflldcos)( ),2,1,0( n),2,1( n證明證明: 令令lxz , 則則,llx , z令令 )(zf, )( z lf 則則)2()2( zlfzf)2(lz lf )( z lf )(zf 所以所以)(zf且它滿足收斂且它滿足收斂定理定理?xiàng)l件條件, 將它展成傅里葉級(jí)數(shù)將它展成傅里葉級(jí)數(shù): 10sincos2)(nnnznbznaazf( 在在 f(z) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處 )(xf變成變成是以是以 2 為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù) , zznzfandcos)(1 其中其中zznzfbndsin)(1 令令lxz lan1

21、 xlxnxflbllndsin)(1 lxnblxnaaxfnnn sincos2)(10 ),2,1,0( n),3,2,1( n),2,1,0( n),3,2,1( n( 在在 f (x) 的的 連續(xù)點(diǎn)處連續(xù)點(diǎn)處 )xlxnxflldcos)( 證畢證畢 說(shuō)明說(shuō)明: 1)(nnbxf),2,1(dsin)( nxlxnxfbn 其中其中(在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處)lxn sinl20l如果如果 f (x) 為為偶函數(shù)偶函數(shù), 則有則有(在在 f (x) 的連續(xù)點(diǎn)處的連續(xù)點(diǎn)處) 2)(0axf),2,1,0(dcos)( nxlxnxfan 其中其中 1nnalxn cos注

22、注: 無(wú)論哪種情況無(wú)論哪種情況 ,).0()0(21 xfxf在在 f (x) 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn) x 處處, 傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)收斂于收斂于l20l如果如果 f (x) 為為奇函數(shù)奇函數(shù), 則有則有 )(tfto例例9. 交流電壓交流電壓tete sin)( 經(jīng)半波整流后負(fù)壓消經(jīng)半波整流后負(fù)壓消失失, ,試求半波整流函數(shù)的試求半波整流函數(shù)的解解: 這個(gè)半波整流函數(shù)這個(gè)半波整流函數(shù)2,它在它在 )(tf tdtnteancos)( 0dcossinttnte,sinte ,0傅傅里里葉級(jí)數(shù)葉級(jí)數(shù). .,上的表達(dá)式為上的表達(dá)式為0 t t0 的周期是的周期是22 dttean)( 0ttedsi

23、n e2 時(shí)時(shí)1 n 0d)1sin()1sin(ttntn na tnn )1cos()1(1 2e0 tnn )1cos()1(1 )1(1)1(21 nen32 ,0 kn,)41(22 ke ),1,0( kkn2 0dcossinttnte 2e 0 0d2sintt 21ea 02cos212 etttebdsinsin01 ttntned)1cos()1cos(20 )1()1sin(2ntne0)1()1sin(0 ntnttntebndsinsin0 tted)2cos1(20 022sin2 tte2e n 1 時(shí)時(shí)nb由于半波整流函數(shù)由于半波整流函數(shù) f ( t ),),(上連續(xù)上連續(xù)在在 etf)( te sin2tkkek 2cos411212 )( t直流部分直流部分說(shuō)明說(shuō)明:交流部分交流部分由收由收斂定理可得斂定理可得2 k 次諧波的振幅為次諧波的振幅為,14122 keak k 越大振幅越小越大振幅越小,因此在實(shí)際應(yīng)用中展開式取前幾項(xiàng)就足以逼近因此在實(shí)際