多面體內(nèi)切外接球問題

1、此類問題是高考的熱點(diǎn)，主要考查多面體、球的結(jié)構(gòu)特征及有關(guān)計(jì)算，考查學(xué)生的理解水平和應(yīng)用能力，考查空間想象能力、計(jì)算求解能力、轉(zhuǎn)化與化歸能力和分析問題解決問題的能力試題源于教材、高于教材，解決此類問題的關(guān)鍵是找到球心、 計(jì)算出球半徑筆 者在多年的教學(xué)中總結(jié)出解決此類問題的求解策略如下教學(xué)中，在引導(dǎo)學(xué)生掌握“球”的體積與表面積的計(jì)算公式的同時(shí)，要幫助學(xué)生掌握“球”的接切問題如何突破突破點(diǎn)就是兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)其一，球面可以看作空間中到一個(gè)定點(diǎn)距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合其二，用一個(gè)平面去截一個(gè)球，截面是一個(gè)圓，圓心與球心連線、截面圓半徑、球半徑構(gòu)成直角三角形（垂徑關(guān)系）關(guān)鍵點(diǎn)是怎樣幫助學(xué)生學(xué)會(huì)畫球的截面圖高考命

2、題專家喜歡考球面題目，是因?yàn)榍蛎骖}最能考出所謂的“空間想象能力”，球的題我們永遠(yuǎn)也畫不清楚，除非畫出截面圖，從而將立體問題轉(zhuǎn)化為平面問題，能正確分析 出圖形中的基本元素及其相互關(guān)系，而這也正是立體幾何教學(xué)的能力要求關(guān)于球的題都比較難，解題突破點(diǎn)都是：學(xué)生要有能力看到球面就能畫出截面圖，然后尋找與球心的關(guān)系因此從知識(shí)層面上來說，都沒有超過我們所說的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn) 但這兩 個(gè)知識(shí)點(diǎn)在教科書上又都是沒有的，需要教師引申、拓展因此高三階段在復(fù)習(xí) “球”的內(nèi)容時(shí)，需要做一個(gè)專題，球與三棱錐、球與四棱錐，球與三棱柱，球與四棱柱（長(zhǎng)方體、 正方體），球與圓柱等的內(nèi)接、外切都要研究清楚一.掌握確定球心位置、計(jì)算球

3、半徑的常見結(jié)論對(duì)于一些規(guī)則的多面體而言，其外接球和內(nèi)切球的球心位置或半徑都有規(guī)律可循1. 長(zhǎng)方體的外接球球心為體對(duì)角線的交點(diǎn)；半徑為體對(duì)角線長(zhǎng)的一半2. 正方體的外接球、內(nèi)切球及與各棱相切的球 外接球：球心是正方體中心；半徑r=于a （ a為正方體的棱長(zhǎng)）內(nèi)切球：球心是正方體中心；1半徑r= $ a（ a為正方體的棱長(zhǎng)）與各條棱都相切的球：球心是正方體中心；V2-半徑r= 2 a （ a為正方體的棱長(zhǎng)）3. 正四面體的外接球與內(nèi)切球（正四面體可以看作是正方體的一部分）外接球：球心是正四面體的中心；半徑r= 4 a （ a為正四面體的棱長(zhǎng)）.內(nèi)切球：球心是正方體中心；半徑r= 12 a （ a為

4、正四面體的棱長(zhǎng)）.4. 正棱柱、圓柱的外接球和內(nèi)切球外接球和內(nèi)切球的球心在上、下底面中心連線的中點(diǎn)處5. 正棱錐的外接球正棱錐的外接球的球心在其頂點(diǎn)和底面中心的連線上，設(shè)正棱錐的底面四邊形外接圓r 2 亠 h 2 半徑為r,高為h，則其外接球半徑 R=不,R2 = r2 +（ h - R）2 .對(duì)于一般不規(guī)則的外接球球心不好找，放到長(zhǎng)方體中不失為一種很好的方法！二.確定球心位置、計(jì)算球半徑的特殊方法對(duì)于某些特殊形狀的多面體，有一些巧妙的方法來解1. 若一個(gè)三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則可將這個(gè)三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)方體的 對(duì)角線長(zhǎng)度、中點(diǎn)即為該外接球的直徑、球心2. 另一種特殊三棱錐也可補(bǔ)成長(zhǎng)

5、方體，如三棱錐D- ABC中，DA與平面ABC垂直,AE與EC垂直，可構(gòu)圖求之.3. 正四面體也可補(bǔ)成正方形 （如圖）.正四面體的棱長(zhǎng)為a,則正方體的棱長(zhǎng)為a,外接球的棱長(zhǎng)為-3 a.4. 一般四面體外接球可找相鄰面，過外心與相應(yīng)面垂直的垂線交點(diǎn)即為外接球球心.例1.已知三棱錐 P-ABC的正視圖和俯視圖如圖所示，則此三棱錐的外接球的表面積為（ ）A. 4 nB. 12 nC.1664D. 3 n例2.如圖四面體A-BCD中，AB=AD=CD=1,BD=三,BD丄CD，平面A BD丄平面BCD，若四個(gè)頂點(diǎn)在同一球面上，則該球的體積為（）2_3_A. 3 nB. 3 n C. 2 nD. 2 n

6、例3.在菱形ABCD中，A=60° , AB = - 3 ,將？ABD沿BD折起到？PBD的位置若二面2角P-BD-C的大小為 3 n，則三棱錐 P-BCD的外接球體積為 例4. 一個(gè)棱長(zhǎng)為6.2的正四面體內(nèi)部有一個(gè)任意旋轉(zhuǎn)的正方體，當(dāng)正方體 的棱長(zhǎng)取得最大值時(shí)，正方體的外接球的表面積是（）A. 4二 B. 6二 C. 12二 D. 24二練習(xí)：1 . 2009年新課標(biāo)I 理科第15題（5分）直三棱柱ABC- A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若 AB=AC=AA=2,/ BAC=120，則此球的表面積等于 . 答案為：20 n2. 2010年新課標(biāo)I 理科第10題（5分）設(shè)三棱柱

7、的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都為a,頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則該球的表面積為（）A. 31 a1 B. Xjt a2 C. - 7T a2 D, 5 Ji a:菩秦=選 B_j313. 2011年新課標(biāo)I 理科第15題（5分）（5分）已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且 AB=6, BC=2，則棱錐 O- ABCD勺體積為.答案：8J34. 2012年新課標(biāo)I 理科第11題（5分）已知三棱錐s- ABC的所有頂點(diǎn)都在球 O 的表面上， ABC是邊長(zhǎng)為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2則此三棱錐的體 積為（）5. -b. 站）in區(qū)"晴卜水TU2的遷需無蓋的正方佯孚理車郵舄?jiǎng)?連 和世在零擇口.冉注也 雪球圍恰埒推暑.*國(guó)時(shí)利博*:課為6CM知不 討塞程旳再度.鞘球酌怵拱為t ）A.3frfi匹3答案：選A柱被一個(gè)何體，該幾何體的表6. 2015年新課標(biāo)I 理科第11題（5分）圓 平面截去一部分后與半球（半徑為r）組成一個(gè)幾何體三視圖中的正視圖和俯視圖如圖所示.若該幾面積為16+20 n，則r=（）A. 1 B . 2 C . 4 D . 8 答案：選 B7. 2016年新課標(biāo)I 理科第6題（5分）如圖, 視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的28何體的體積是3二，則它的表面積是（）A