線性代數(shù)課件歐幾里得空間

1、第六章 歐幾里得空間 前面介紹的線性空間，是前面介紹的線性空間，是n維向量空間維向量空間r的抽象與深化的抽象與深化到目前為止我們?cè)诰€性空間中只涉及到向量的加法與數(shù)乘到目前為止我們?cè)诰€性空間中只涉及到向量的加法與數(shù)乘然而在三維空間中還有許多重要的幾何概念和運(yùn)算，例如然而在三維空間中還有許多重要的幾何概念和運(yùn)算，例如向量的長(zhǎng)度，向量之間的夾角等概念以及向量的內(nèi)積在線向量的長(zhǎng)度，向量之間的夾角等概念以及向量的內(nèi)積在線性空間中都沒(méi)有涉及及討論性空間中都沒(méi)有涉及及討論第一節(jié)第一節(jié) 歐幾里得空間歐幾里得空間1. 空間向量及兩向量的夾角空間向量及兩向量的夾角 (回顧回顧)實(shí)際問(wèn)題中, 既有大小又有方向的物理

2、量稱為幾何上用有向線段表示一個(gè)向量, 線段的長(zhǎng)度表示向量的大小. 空間向量為 在直角坐標(biāo)系下, 將向量的起點(diǎn)移至原點(diǎn), 稱之為. 向量 m(x, y, z)om = (x, y, z)向量 = (x, y, z) 的 222|zyx 向量的,|arccos x,|arccos y.|arccos z將空間兩向量 , 的起點(diǎn)移至一點(diǎn)o, 兩有向線段的夾角 (0 )，稱為向量 與 的, 當(dāng)2時(shí)，稱 與 記作 . 當(dāng) = 0 或 時(shí)，稱 與 記作 / . o記為(a, b)例如, 常力 f 作用于物體, 使之產(chǎn)生位移 s, sf),cos(sf s f w2. 空間向量的內(nèi)積空間向量的內(nèi)積.這個(gè)力所

3、作的功為定義定義: :設(shè)設(shè) , r3, 記記 與與 的夾角為的夾角為) ), ,( ( , 稱數(shù)稱數(shù)),cos( 為向量為向量 與與 的的 記為記為 , 即即),cos( (1)( 勾股定理勾股定理 ) 設(shè)設(shè) 1, 2 , , k 是是 n 維歐氏空間維歐氏空間 rn 中的向量中的向量, 且且 i j 時(shí)時(shí), ( i , j ) = 0 , 則則 221|k ),(2121kkkikiikiiki ,12111),(),(),(2211kk .|22221k 上一頁(yè), 與 的夾角),( ,arccos 212121zzyyxx. 0 的長(zhǎng)度因?yàn)?= x12+y12+z12 ,|),cos( (

4、 , 0 ) ., 所以4. 用內(nèi)積表示向量的長(zhǎng)度及向量的夾角用內(nèi)積表示向量的長(zhǎng)度及向量的夾角上一頁(yè)定義定義: :1. rn 中向量?jī)?nèi)積定義中向量?jī)?nèi)積定義設(shè)設(shè) , rn, = (x1, x2, , xn), = (y1, y2, , yn), 稱數(shù)稱數(shù) x1 y1 + x2 y2 + + xn yn 為為 與與 的的 記為記為( , ) , 即即( , ) = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn (3)2、內(nèi)積的性質(zhì)、內(nèi)積的性質(zhì)設(shè) , ,則rn , kr, 則上面定義的內(nèi)積滿足以下性質(zhì)：),(,( ) ),(),(), kkk(, 0,() 當(dāng)且僅當(dāng) = 0 時(shí), 等號(hào)成立 .性質(zhì)

5、 (1) 到 (4) 的證明可由內(nèi)積定義直接推得.(1)(2)(3)(4),(),(,( ) 定義定義: :定義定義: :稱定義了內(nèi)積的稱定義了內(nèi)積的 n 維實(shí)向量空間維實(shí)向量空間 rn 為為 n 維歐幾里得維歐幾里得 (euclid) 空間空間, 簡(jiǎn)稱歐簡(jiǎn)稱歐氏空間氏空間, 仍記作仍記作rn.三維歐氏空間 r3 具有直觀性,習(xí)慣上稱之為 r3 中向量長(zhǎng)度及兩向量的夾角等概念通過(guò)內(nèi)積可平行推廣到 rn, 使 n 維歐氏空間設(shè)設(shè) = (x1, x2, , xn) rn, 的的| | 定義為定義為),(, 即即 (4)特別地,1| 時(shí), 稱 為當(dāng), 0 2),( 221 故稱 為 的=1 ,)|,

6、(|2 | | | 定義：定義：1. 正交向量組正交向量組:如果歐氏空間中的向量組如果歐氏空間中的向量組 1, 2 , , m 中任意兩個(gè)向量都是相互中任意兩個(gè)向量都是相互正交的正交的, 即即 ( i, j ) = 0, i j, i, j = 1, 2, , m, 則稱則稱 1, 2 , , m 為為定理：定理：歐氏空間中不含零向量的正交向量組是線性無(wú)關(guān)的歐氏空間中不含零向量的正交向量組是線性無(wú)關(guān)的.設(shè) 1, 2 , , m是一個(gè)正交的向量組, 又設(shè) k1 1 + k2 2 + km m = 0則jjmjik1, 0),(iiik ., 2, 1mi mjjijk1),( ),(),(),(

7、2211mmiiikkk 由于, 0)(,ii 故 ki = 0, 故 1, 2 , , m 線性無(wú)關(guān)., 2, 1mi 上一頁(yè)定義定義2 22. 標(biāo)準(zhǔn)正交基標(biāo)準(zhǔn)正交基設(shè)設(shè) 1, 2 , , n rn, 如果如果),(ji ,1ji , ,0ji .,2,1ni 則稱則稱 1, 2 , , n 是是 rn 的一組的一組顯然)0 , , 0 , 1 (1e ), 0 , , 0 , 1 , 0(2e) 1 , 0 , , 0( ,ne是 rn 的標(biāo)準(zhǔn)正交基.在 r3 中,),0 , 0 , 1 (i),0 , 1 , 0(j) 1 , 0 , 0(k分別為三個(gè)坐標(biāo)軸正向的單位矢量.上一頁(yè) 下面討

8、論由 rn 的一組基構(gòu)造 rn 的標(biāo)準(zhǔn)正交基的方法, 為直觀起見(jiàn), 先從 r3 開(kāi)始討論. o , r3 在 上的投影為：|),(|),cos(| .|),( 在 上的投影向量為： |),(|),(.),(),( 為了便于討論,首先介紹一個(gè)向量在另一向量上的投影及投影向量. 設(shè) 1, 2 , 3 是 r3 的一組基, 令 1 = 1, 將 2 在 1 上的投影向量記為 2, 則 2= k12 1, 其中.),(),(111212 k22o11再取,1122222 k則 2 1.1=122222o將 在 1, 2 上的投影向量分別記為,2313 3 在 1, 2 所在平面上的投影向量為 3 .則

9、23133 ,223113 kk其中,),(),(111313 k.),(),(222323 k31323123取333 ,2231133 kk則,13 .23 因此321, 是兩兩正交的非零向量組.再將321, 單位化,即取, ) 3, 2, 1( , iiii 321, 則就是r3 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.113232333上一頁(yè)一般地, 設(shè)m ,21是 rn 中的一個(gè)線性無(wú)關(guān)組, 取;11 ;),(),(1111222 .),(),(),(),(),(),(111122221111mmmmmmmmm ;),(),(),(),(222231111333 容易驗(yàn)證m ,21兩兩正交, 上述由m ,

10、1得到m ,21的過(guò)程稱之為 將這 個(gè)正交化的向量組再單位化, 即取miiii , 2, 1 就得到正交的單位向量組 ,21m 稱之為上述從線性無(wú)關(guān)組求得標(biāo)準(zhǔn)正交組的方法稱為上一頁(yè)例 1設(shè) r3 的一組基為 1 = (1, 2, 1), 2 = (1, 3, 1), 3 = (4, 1, 0), 試用施密特正交化方法構(gòu)造 r3 的一組標(biāo)準(zhǔn)正交基.取 1 = 1 ,1111222),(),( ) 1 , 2 , 1 (64) 1 , 3 , 1(),1 , 1 , 1(35222231111333),(),(),(),( ) 1 , 1 , 1(35) 1 , 2 , 1 (31)0 , 1 , 4(),1 , 0 , 1 (2取|111 ),1 , 2 , 1 (61