點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)

1、第二節(jié)第二節(jié) 點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)與向量的坐標(biāo) 一、空間直角坐標(biāo)系一、空間直角坐標(biāo)系 平面直角坐標(biāo)系平面直角坐標(biāo)系 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 xyooxyz空間直角坐標(biāo)系的建立：空間直角坐標(biāo)系的建立：右手法則右手法則。 ),(yxxyxyz),(zyx空間直角坐標(biāo)系下：空間直角坐標(biāo)系下： 點(diǎn)：點(diǎn)：),(zyx坐標(biāo)軸：坐標(biāo)軸：x軸（橫軸）、軸（橫軸）、y軸（縱軸）、軸（縱軸）、 軸（豎軸）軸（豎軸） z坐標(biāo)面：坐標(biāo)面：xoy面、面、zoxyoz面、面、面面 卦限：卦限： 八個(gè)八個(gè)（,）（1 1）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有何特征？）坐標(biāo)軸上的點(diǎn)有何特征？ （2 2）坐標(biāo)面上的點(diǎn)有何特征？）坐標(biāo)面上

2、的點(diǎn)有何特征？ （3 3）各卦限中的點(diǎn)有何特征？）各卦限中的點(diǎn)有何特征？ 空間兩點(diǎn)空間兩點(diǎn) ),(),(22221111zyxpzyxp距離公式距離公式： 21221221221)()()(zzyyxxpp 例例1 1、求到定點(diǎn)、求到定點(diǎn)),(0000zyxm距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡。距離為定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡。 例例2 2、求到兩定點(diǎn)、求到兩定點(diǎn)),(),(11110000zyxmzyxm等距離等距離 的點(diǎn)的軌跡。的點(diǎn)的軌跡。 例例3 3、寫出點(diǎn)、寫出點(diǎn)),(cba關(guān)于各坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸及坐標(biāo)關(guān)于各坐標(biāo)面、坐標(biāo)軸及坐標(biāo) 原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)。 二、向量的坐標(biāo)及其線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示二、向

3、量的坐標(biāo)及其線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示 定義：定義：., ),(),(:, ,),(),(121212121212212122221111的坐標(biāo)的坐標(biāo)在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影點(diǎn)在三個(gè)坐標(biāo)軸上投影點(diǎn)即向量即向量坐標(biāo)分量坐標(biāo)分量的的為為的坐標(biāo)表達(dá)式的坐標(biāo)表達(dá)式并稱上式為并稱上式為記作記作的坐標(biāo)的坐標(biāo)為向量為向量稱稱為終點(diǎn)的向量記為為終點(diǎn)的向量記為為始點(diǎn)為始點(diǎn)以以設(shè)設(shè)aaaaaaaaazzyyxxaazzyyxxmmammzyxmzyxmzyxzyx . , ,kajaiaaazyxkjizyx 的坐標(biāo)分解式的坐標(biāo)分解式則有向量則有向量軸正向同向的單位向量軸正向同向的單位向量表示與表示與通常以通常以:),(),(

4、則可得則可得若若zyxzyxbbbbaaaa ),(. 1zzyyxxbabababa ),(. 2zyxaaaa zzyyxxzyxzyxabababaaabbbababa ),(),( ,/,0. 3或或即即相當(dāng)于相當(dāng)于時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例例4 4、., 1),(),(222111mbammabzyxbzyxa 使使上求點(diǎn)上求點(diǎn)在直線在直線以及實(shí)數(shù)以及實(shí)數(shù)和和已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)xozyamb例例5 5、.)4, 2, 0(),5 , 4 , 3(),1, 0 , 1(:共線共線三點(diǎn)三點(diǎn)證明證明 cba三、向量的模、方向角和投影三、向量的模、方向角和投影 1 1、向量的模、向量的模 222 :),(zy

5、xzyxaaaaaaaa 的模的模向量向量模模即向量的即向量的長(zhǎng)度長(zhǎng)度。模為。模為1 1的向量稱為的向量稱為單位向量單位向量。 ),(aaaaaaaaezyxa 即有即有 例例6 6、. )3 , 2 , 5(),2 , 1 , 7(),1 , 3 , 4(321個(gè)等腰三角形個(gè)等腰三角形點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形是一三三求證以求證以mmm例例7 7、. )2, 5 , 3()7 , 1 , 4( 距離相等的點(diǎn)距離相等的點(diǎn)和和軸上求與兩點(diǎn)軸上求與兩點(diǎn)在在 baz例例8 8、.),3 , 1 , 7()5 , 0 , 4(eabba方向相同的單位向量方向相同的單位向量求與求與和和已知兩點(diǎn)

6、已知兩點(diǎn)2 2、向量的方向角與方向余弦、向量的方向角與方向余弦 xzy a且有且有的方向余弦的方向余弦為為并稱并稱向角向角的方的方稱為稱為正向的夾角正向的夾角軸軸軸軸軸軸與與向量向量如右圖如右圖, cos,cos,cos, , aazyxa aaaaaazyx cos ,cos ,cosxazaya1coscoscos222 )cos,cos,(cos ae例例9 9、.,),0 , 3 , 1()2, 2 , 2(和方向余弦和方向余弦方向角方向角的模的模計(jì)算向量計(jì)算向量和和已知兩點(diǎn)已知兩點(diǎn)mnnm例例1010、., 6,43,)(,的坐標(biāo)的坐標(biāo)求點(diǎn)求點(diǎn)且且和和軸的夾角依次為軸的夾角依次為軸軸

7、與與起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量起點(diǎn)在原點(diǎn)的向量向徑向徑卦限卦限位于第位于第設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn)aoayxoaa 0coscos)3( ; 1cos)2( ; 0cos)1(:, 其方向余弦分別滿足其方向余弦分別滿足面有何關(guān)系時(shí)面有何關(guān)系時(shí)當(dāng)向量與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)當(dāng)向量與坐標(biāo)軸或坐標(biāo)3 3、向量的投影、向量的投影 .,),(, 0,上的投影向量上的投影向量在在為為則稱則稱點(diǎn)點(diǎn)上的投影上的投影在在為為夾角夾角其其向量向量如右圖如右圖bamobmmbaonboma omnabm bbeaeommo)cos()cos( 則則.cosjpr 上的投影上的投影在在為向量為向量稱稱baaab 例例1111、.jpr,oaomoaaoaoaomom影影方向上的投方向上的投在在求求且且棱為棱為一條一條為為設(shè)立方體的一條對(duì)角線設(shè)立方體的一條對(duì)角線如下圖如下圖 oam .,jpr也可為零也可為零可正可負(fù)可正可負(fù)是一個(gè)數(shù)是一個(gè)數(shù)ab練練 習(xí)習(xí) 題題 ., , ,. 3.)5 , 3, 4(. 2.),2 , 1 , 1( )7 , 4, 5(),1, 2 , 3(. 1寫出它各頂點(diǎn)的坐標(biāo)寫出它各頂點(diǎn)的坐標(biāo)軸上軸上軸和軸和底面的頂點(diǎn)在底面的頂點(diǎn)在底面的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)底面的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)其其面上面上的