第十一章多元函數(shù)微分學(xué)2

1、111.2 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)定義設(shè)定義設(shè)z=f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, 當(dāng)當(dāng)偏增量偏增量 z=f(x0+ x,y0) f(x0,y0)與與 x 比值的極限比值的極限,),(),(lim00000存在存在xyxfyxxfx , ),(, ),(0000yxxfyxxz 或或記記作作11.2.1 偏導(dǎo)數(shù)的概念偏導(dǎo)數(shù)的概念a.偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)的定義及計(jì)算則稱此極限為則稱此極限為z=f(x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處對(duì)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù),),(),(0000yxfyxzxx 或或或或2 z=f(x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處對(duì)處對(duì)y的偏

2、導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)可定義為可定義為:xyxfyxxfyxxzx ),(),(lim),(0000000即即如果如果 z=f(x, y)在區(qū)域在區(qū)域 d內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)(x, y)處對(duì)處對(duì) x的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)都存在都存在, 則這樣確定了一個(gè)新的函數(shù)則這樣確定了一個(gè)新的函數(shù), 稱為稱為z=f(x, y)對(duì)對(duì)x 的偏導(dǎo)函數(shù)的偏導(dǎo)函數(shù), 簡(jiǎn)稱為簡(jiǎn)稱為 x 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù), 記作記作: ,xxfzxfxz 或或3如果函數(shù)如果函數(shù) z=f(x, y)在區(qū)域在區(qū)域 d內(nèi)任一點(diǎn)內(nèi)任一點(diǎn)(x, y)處對(duì)處對(duì) y的的偏導(dǎo)數(shù)都存在偏導(dǎo)數(shù)都存在, 則這樣確定了一個(gè)新的函數(shù)則這樣確定了一個(gè)新的函數(shù), 稱為稱為 z=f(x,

3、 y)對(duì)對(duì) y 的偏函導(dǎo)數(shù)的偏函導(dǎo)數(shù), 記作記作: ,yyfzyfyz 或或4偏導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)與偏導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系:n元函數(shù)元函數(shù)z=f(x1, x2, .,xn)的偏導(dǎo)數(shù)的定義為的偏導(dǎo)數(shù)的定義為:,),(0000 xxyyxzyxxz zzyxfzzyxfzuz ),(),(lim012121101),.,(),.,(lim1xxxxfxxxxfxunnx 三元函數(shù)三元函數(shù) u=f(x,y,z)的偏導(dǎo)數(shù)的定義為的偏導(dǎo)數(shù)的定義為:5 b. 二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義二元函數(shù)二元函數(shù) z=f(x,y) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處對(duì)處對(duì) x 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) f x(x

4、0,y0), 就是一元函數(shù)就是一元函數(shù) z=f(x,y0) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)處的導(dǎo)數(shù)處的導(dǎo)數(shù), 也就是空間曲線也就是空間曲線: 0),(yyyxfz在點(diǎn)在點(diǎn)m0(x0,y0,f(x0,y0)處的處的切線切線m0t1關(guān)于關(guān)于x 軸的斜率軸的斜率. 6同樣同樣, f y(x0, y0), 就是空間曲線就是空間曲線: 在點(diǎn)在點(diǎn)m0(x0,y0,f(x0,y0)處的處的 0),(xxyxfz切線切線m0t2關(guān)于關(guān)于y 軸的斜率軸的斜率.7 c. 簡(jiǎn)單的多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法簡(jiǎn)單的多元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的求法例例1. 求函數(shù)求函數(shù).sin3),(322的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)yxxyyxyxf ,cos3213 y

5、yxxyxxf.lnsin922xxxyyyfy 8例例2. 設(shè)設(shè)解解:).1 , 0(),1 , 0(),arctan(22yxxyyxzzeez 求求),2()(1122222xyyxxyyxxyexeeez ,221)0()(11)1 , 0(20201 eeeeezx,222)02()(11)1 , 0(21201 eeeeeezy),2()(1122222xyyxxyyxyxeyeeez 9 例例2. 設(shè)設(shè) 解法二解法二: z=z(x, y)中中, 令令y=x, ).1 , 0(),1 , 0(),arctan(22yxxyyxzzeez 求求,)1(12), 0(222 yyyey

6、eyz12)1(12)1 , 0(22 yyyeyeyz),1arctan(), 0(2 yeyzz.2222 eee10例例3. 已知理想氣體狀態(tài)方程已知理想氣體狀態(tài)方程:證明證明: ),(,為常數(shù)為常數(shù)rrtpv . 1 pttvvp證證明明：,:2vrtvpvrtp 則則若方程寫成若方程寫成,:prtvprtv 則則若寫成若寫成,:rvptrpvt 則則若寫成若寫成. 12 pvrtrvprvrtpttvvp故故11例例4. 設(shè)設(shè)r1r2rn, 問(wèn)改變哪個(gè)電阻能使總電阻問(wèn)改變哪個(gè)電阻能使總電阻改變更快改變更快?故調(diào)整故調(diào)整r1, 能使總電阻改變更快能使總電阻改變更快.r1r2rn,)1.

7、11(:121 nrrrr解解,22irr .,.2121nnrrrrrrrrr 所以所以因?yàn)橐驗(yàn)?1()1.11(2221inirrrrrr 12求求 f(x, y) 在原點(diǎn)在原點(diǎn) (0, 0)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù).前面已證得前面已證得: f(x, y)在原點(diǎn)在原點(diǎn)(0, 0)處不連續(xù)處不連續(xù), 說(shuō)明函數(shù)在某點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在說(shuō)明函數(shù)在某點(diǎn)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在,不能保證函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù)不能保證函數(shù)在該點(diǎn)處連續(xù). 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)設(shè)設(shè)例例)0 , 0(),(,0)0 , 0(),(,),(. 522yxyxyxxyyxf, 000lim)0 , 0()0,0(lim)0 , 0(:00 x

8、xfxfxfxx解解, 0)0 , 0( yf同同理理13例例6. 證明證明:解解: (1) f(x, y)是二元初等函數(shù)是二元初等函數(shù), 點(diǎn)點(diǎn)(0, 0)是其定義區(qū)域內(nèi)是其定義區(qū)域內(nèi)的一點(diǎn)的一點(diǎn), 故故 f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(0, 0)處連續(xù)處連續(xù).,)0 , 0(),(22處處連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)yxyxf .)0 , 0(在在處處的的兩兩個(gè)個(gè)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都不不存存但但在在點(diǎn)點(diǎn),|lim)(lim)0 , 0()0 ,0(lim)2(0200 xxxxxfxfxxx , 1|lim, 1|lim00 xxxxxx而而.)0 , 0(,)0 , 0(也也不不存存在在同同樣樣不不存存在在故故y

9、fxf 例例5和例和例6說(shuō)明說(shuō)明: 函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)與函數(shù)的函數(shù)的連續(xù)性質(zhì)與函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)存在性質(zhì)在邏輯上沒(méi)有任何聯(lián)系偏導(dǎo)數(shù)存在性質(zhì)在邏輯上沒(méi)有任何聯(lián)系.1411.2.2 全微分的概念全微分的概念 設(shè)有長(zhǎng)為設(shè)有長(zhǎng)為x0, 寬為寬為 y0的金屬板的金屬板, 受熱膨脹長(zhǎng)從受熱膨脹長(zhǎng)從x0 增加增加到到 x0+ , 寬從寬從y0 增加到增加到 y0+ y, 則金屬板面積的改變量則金屬板面積的改變量:,)()(22yx 若若記記 xx0y0 yy0 xx0 y x ya.全微分的概念全微分的概念 s= (x0+ x)(y0+ y) x0y0 = y0 x+x0 y+ x y,其中其中y0 x+x0 y是關(guān)

10、于是關(guān)于 x, y的的線性函數(shù)線性函數(shù), 15且有且有:故有故有: s= a x+b y+o( ).|)()(|22yxyxyx )0(, 0|21|2| yxyxyx xx0y0 yy0 xx0 y x y16定義定義 設(shè)設(shè) z=f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)的某鄰內(nèi)有定義域的某鄰內(nèi)有定義域, 則稱則稱 f(x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0) 處可微處可微, 并稱并稱 a x+b y 為為 z=f(x, y) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處的微分處的微分, 記作記作 dz,即即 dz=a x+b y,且當(dāng)且當(dāng) | x|, | y| 都比較小時(shí)都比較小時(shí), 有有 z dz=a x+b y

11、.,)()(22yx 如果如果f(x,y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0,y0)的全增量的全增量 z= f(x0+ x, y0+ y) f(x0,y0) 可以寫成可以寫成 z=a x+b y +o( ), 其中其中, a, b是與是與 x, y無(wú)關(guān)的量無(wú)關(guān)的量,17b. 可微與連續(xù)、可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系可微與連續(xù)、可微與偏導(dǎo)數(shù)存在之間的關(guān)系定理定理3. (可微的必要條件之一可微的必要條件之一) 如果如果 z=f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處可微處可微, 則則 f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處必連續(xù)處必連續(xù)., 0)(limlim0000 oybxazyxyx證明證明: 由由 f(x, y

12、)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處可微處可微, 故有故有: z=a x+b y+o( ),故故 f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處連續(xù)處連續(xù).18 定理定理4. (可微的必要條件之二可微的必要條件之二) 如果如果 z=f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)證明證明: 由由 f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處可微處可微, 故有故有: z=a x+b y +o( ), 令令 y=0, 則有則有: z= f(x0+ x0, y0) f(x0, y0)=a x+o(| x|),xyxfyxxfyxfxx ),(),(lim),(0000000#),(:00byxfy 同理可證得同理可證得處可微處

13、可微, 則則 f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在處的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在.,|)(|lim0axxoxax 19因?yàn)橐驗(yàn)?故微分故微分, yyzxxzdz , 0, 1, yzxzdxdzxz時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),:ydyxdxxdz 同同理理故故有有則則有有.:dyyzdxxzdzdz 可可表表示示為為c. 可微的充分條件可微的充分條件定理定理5. (可微的充分性條件可微的充分性條件) 如果如果 z=f(x, y)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù) f x(x, y),f y(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處的某鄰域內(nèi)連續(xù)處的某鄰域內(nèi)連續(xù), 則則 f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處可

14、微處可微.20證明證明:故故, f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(x0, y0)處可微處可微.),(),(0000yxfyyxxfz ),(),(),(),(00000000yxfyyxfyyxfyyxxf )(),()(),(0000yoyyxfxoxyyxfyx )(),()()(),(0000yoyyxfxoxyyxfyx )()()(lim00yoxoxyyx 而而)()()()(),(),(0000yoxoxoyyyxfxyxfyx , 0)()()()()(lim2200 yxyoxoxyyx 21例例7. 解解: .)4, 1(sin2處處的的全全微微分分在在點(diǎn)點(diǎn)求求 yxz ,cos,s

15、in22yxyzyxxz , 241)sin2()4, 1( yxyxxz故故.2241)cos()4, 0(2 yxyxyz.222dydxdz 22例例8. 解解: 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)討討論論)0 , 0(),(,0)0 , 0(),(,1sin)(),(2222yxyxyxyxyxfzxfxffxx )0 , 0()0 ,0(lim)0 , 0(0yfyffyy )0 , 0()0 , 0(lim)0 , 0(0),(),()0 , 0(yxfyxfyx 處處的的可可微微性性及及偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn).)0 , 0(處的連續(xù)性處的連續(xù)性在點(diǎn)在點(diǎn), 0)(1sin)(lim220 xxxx,

16、0)(1sin)(lim220 yyyy23故故 z=f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)(0, 0)處可微處可微.而而 當(dāng)當(dāng) (x, y) (0, 0)時(shí)時(shí),1cos21sin2),(222222yxyxxyxxyxfx )0 , 0()0 , 0(lim00yfxfzyxyx , 0)()()()(1sin)()(lim22222200 yxyxyxyx24考察點(diǎn)考察點(diǎn)(x, y)沿直線沿直線 y=x 方向趨于原點(diǎn)方向趨于原點(diǎn)(0, 0)時(shí)時(shí), f x(x, y)的極限的極限:,1cos21sin2),(222222yxyxyyxyyxfy ,)21cos121sin2(lim),(lim2200不不存

17、存在在xxxxyxfxxxxy ,)0 , 0(),(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)yxfx .)0 , 0(),(處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)同同理理yxfy 2511.2.3 全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用當(dāng)當(dāng) | x|, | y| 都比較小時(shí)都比較小時(shí), 有有: z=f(x0+ x, y0+ y) f(x0, y0) dz, 或或 f(x0+ x, y0+ y) f(x0, y0) +dz,a. 函數(shù)值的近似計(jì)算函數(shù)值的近似計(jì)算26例例9. 求求 sin29 tan46 的的近似值近似值.解：解：,tansin),(yxyxf 設(shè)設(shè))18046,18029(18046tan180

18、29sin46tan29sin f 則則,180,180,4,60 yxyx故故取取yfxfffyx )4,6()4,6()4,6()18046,18029( 180221)180(123121 .50234. 0180)231(21 27 b. 函數(shù)增量的近似計(jì)算及誤差估計(jì)函數(shù)增量的近似計(jì)算及誤差估計(jì) 例例10. 一圓柱形的鐵罐一圓柱形的鐵罐, 內(nèi)半徑為內(nèi)半徑為 5cm, 內(nèi)高為內(nèi)高為 12cm, 壁厚為壁厚為 0.2cm, 估計(jì)制作此鐵罐所需材料估計(jì)制作此鐵罐所需材料., 4 . 0, 2 . 0,12, 5,:2 hrhrhrv取取解解 hrrrhhhvrrvdzv 22 則則).(8

19、.106344 . 052 . 0125232cm 28作業(yè)作業(yè) p217a. 2(4), (7); 3; 5; 9(1); 10.(4); 13; b. 7; 2911.2.4 方向?qū)?shù)及梯度方向?qū)?shù)及梯度 定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z=f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0, y0)的某鄰域內(nèi)有定義的某鄰域內(nèi)有定義, l是一條過(guò)點(diǎn)是一條過(guò)點(diǎn)p0 的射線的射線, 方向?yàn)榉较驗(yàn)? cos,cos l存在存在 z 0lim p0(x0, y0)oxyp(x0+ x, y0 + y) x y la. 方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)當(dāng)當(dāng) l上的點(diǎn)上的點(diǎn) p(x0+ cos , y0+ cos )沿射線沿射線l無(wú)限趨于無(wú)限

20、趨于點(diǎn)點(diǎn)p0時(shí)時(shí), (即即, =| p0p|0時(shí)時(shí)), 如果極限如果極限30存在存在, 則稱此極限為則稱此極限為 f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0, y0)處沿處沿 ),()cos,cos(limlim000000yxfyxfz 即即.的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)方方向向l.),(000plfyxlf 或或記記作作 p0(x0, y0)oxyp(x0+ x, y0 + y) x y l31定理定理6. 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) z=f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0, y0)處可微處可微, 則則 f(x, y)在點(diǎn)在點(diǎn)p0 處處 證明證明:且且的方向?qū)?shù)存在的方向?qū)?shù)存在沿方向沿方向,cos,cos l.cos)(

21、cos)(000 pyfpxfplf ),(),(0000yxfyyxxfz ,)(00 oypyfxpxfz 則則),(),(000yxplyxp無(wú)無(wú)限限趨趨于于點(diǎn)點(diǎn)沿沿方方向向令令動(dòng)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)),(00 oypyfxpxf 32即即 0, 則則 x=x0+ cosx0, y=y0+ cosy0時(shí)時(shí), ),()cos,cos(limlim000000yxfyxfz )(lim000 oypyfxpxf .coscos00 pyfpxf )coscos(lim000 pyfpxf 當(dāng)當(dāng) =0時(shí)時(shí), 有有:,00pxfplf 33而當(dāng)而當(dāng) =0時(shí)時(shí), 有有:對(duì)于三元函數(shù)對(duì)于三元函數(shù) u=f(x, y

22、, z)在點(diǎn)在點(diǎn)p0(x0, y0, z0)處沿方向處沿方向:cos,cos,cos的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為 l cos.coscos0000pzfpyfpxfplf ,00pyfplf ,:00pxfplf 時(shí)有時(shí)有且且 ,00pyfplf 時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 故故 可以將偏導(dǎo)數(shù)看作特殊方向上的方向?qū)?shù)可以將偏導(dǎo)數(shù)看作特殊方向上的方向?qū)?shù).34例例1. 再問(wèn)再問(wèn) : (1)沿哪個(gè)方向上的方向?qū)?shù)為最大沿哪個(gè)方向上的方向?qū)?shù)為最大(小小)? (2)沿哪個(gè)方向上的方向?qū)?shù)為零沿哪個(gè)方向上的方向?qū)?shù)為零 ?cos,cos)0 , 1(2 lxezy處處沿沿方方向向在在點(diǎn)點(diǎn)求求函函數(shù)數(shù), 1|:)0 , 1(

23、2)0 , 1( yexz解解, 22|)0 , 1(2)0 , 1( yxeyz.cos2coscos|cos|)0 , 1()0 , 1()0 , 1( yzxzlz.的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)35例例2. 解解: )1 , 0 , 2()2(3)1(2)1(222在在點(diǎn)點(diǎn)求求函函數(shù)數(shù) zyxu.22方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)處處沿沿向向量量kjil , 2)1(2)1 , 0 , 2()1 ,0 ,2( xxu, 4)1(4)1 , 0 , 2()1 ,0 ,2( yyu, 6)2(6)1 , 0 , 2()1 ,0 ,2( zzu,32cos,32cos,31cos . 2)32()6()32(4312 lu36b.梯度梯度問(wèn)題問(wèn)題: z=f