線性數(shù)學與高中數(shù)學教育PPT課件

1、2021-11-14高二數(shù)學新增部分內(nèi)容高二數(shù)學新增部分內(nèi)容教學建議教學建議2021-11-14新課本高二上的教學內(nèi)容新課本高二上的教學內(nèi)容 分為三個單元: 1 數(shù)列和數(shù)學歸納法(數(shù)列概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)學歸納法、歸納猜想論證、數(shù)列極限、無窮等比數(shù)列各項和). 2 高中線性數(shù)學(平面向量的坐標表示、矩陣、行列式). 3 算法初步(算法概念、程序框圖、計算語句與計算程序).2021-11-14向量教學的作用地位作用地位：向量是近代數(shù)學最重要和基本的數(shù)學概念之一，是溝通代數(shù)、幾何、三角的橋梁。它與代數(shù)、幾何、三角的聯(lián)系將隨著向量的坐標表示逐步具體化。為了說明這種聯(lián)系，書中給出了向量在推導兩

2、角差的余弦公式、在線性方程組解的存在性討論、在幾何證明中應用的例題。這些例題僅是一種啟示，更多具體的聯(lián)系同學們可以在探索中發(fā)現(xiàn)。向量實質(zhì)上是坐標幾何（高中二年級第二學期將學習）的反璞歸真。可以這樣說：向量是繼函數(shù)概念以外，另一個貫穿整個高中數(shù)學的核心概念。2021-11-14向量的教育價值向量是通過位移、力、速度等概念抽象出來的，通過向量的坐標表示，向量與代數(shù)、幾何、三角建立起廣泛的聯(lián)系。從這里可以看到數(shù)學的抽象為向量的廣泛應用打下了堅實的基礎。數(shù)學的抽象，使數(shù)學應用更加廣泛，這是辨證法。通過向量學習引導學生認識科學抽象的作用。2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史 史載，古希臘的亞里士

3、多德（前384-前322）已經(jīng)知道兩個力的合成，可以用平行四 邊形的法則得到。但是， 集古希臘數(shù)學大成的幾何原本， 沒有討論向量。 以后的一千多年中，經(jīng)過文藝復興時期， 牛頓創(chuàng)立微積分之后的17、18世紀， 向量的知識沒有什么變化。伽利略（1564-1642）清楚地敘述 了“平行四邊形法則”，僅此而已。 這點向量知識，形不成多少有意義的問題， 發(fā)展不成一個獨立的學科， 因而數(shù)學家沒有把向量當作一回事。2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史 進入19世紀， 事情開始發(fā)生變化?！皬蛿?shù)”充當了催化劑。 丹麥的魏塞爾（1745-1818），瑞士的阿工（1768-1822）發(fā)現(xiàn)了復數(shù)的幾何表示，德

4、國高斯（1777-1855）建立了 復平面的概念，從而使向量與復數(shù)建立起一一對應。這不但為虛數(shù)的現(xiàn)實化提供了可能，也為向量的發(fā)展開辟了道路。向量表示為一對有序的實數(shù)（a, b），是一個重大的進步。2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史 當時的數(shù)學家想到， 實數(shù)可看作一維向量， 復數(shù)可看作二維向量，那么一定還有“三維數(shù)”、“四維數(shù)”， 乃至“n維數(shù)”。令人失望的是， 哈密頓發(fā)現(xiàn)， 要形成有加減乘除四則運算的數(shù)系， 只能是四元數(shù)， 而且不得不放棄乘法的交換律。最后發(fā)現(xiàn)的八元數(shù)， 連結(jié)合律也維持不了。除此而外， 其他維數(shù)的向量， 根本無法定義四則運算，談不上構(gòu)成數(shù)系1。1 參見羅賢強 ,從四元

5、數(shù)到向量從四元數(shù)到向量:向量概念演變的歷史分向量概念演變的歷史分析析2005年04期 2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史 德國數(shù)學家格拉斯曼1844年引入了n 維向量的概念。令人深思的是， n維向量既然不能成為有四則運算的數(shù)系， 那么它的結(jié)構(gòu)是什么呢？這是19世紀抽象代數(shù)思想的發(fā)展的自然思考。研究表明，n維向量全體，可以定義加法和減法，此外還有單個的“數(shù)”可以和向量相乘。 這就是向量空間（線性空間）的來源。 此外， 兩個向量可以有“內(nèi)積”和“外積”，但是它們都沒有逆運算， 即沒有除法。 這是一個不同于“數(shù)系”的嶄新的數(shù)學結(jié)構(gòu)。果然， 在向量空間的舞臺上， 產(chǎn)生了具有深遠影響的數(shù)學成就

6、。2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史 “線性”， 是20世紀數(shù)學中使用十分廣泛的詞匯。 但是， 中國的中學數(shù)學教學中卻很少使用。 無論是英文還是俄文， 我們常說的“一次方程”和“一次函數(shù)”， 原本都是“線性方程（linear equation）”和“線性函數(shù)(linear function)”。至于為什么丟棄“線性”的提法，不得而知。 在大學里， 則大量流行“線性”?！?線性代數(shù)”、“線性變換”、“線性常微分方程”、“線性偏微分方程”、“線性規(guī)劃”、“線性算子 ”、“線性泛函”、 “線性控制系統(tǒng)”、“擬線性”、“準線性”等等， 不一而足。 2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史

7、 相對于大學熱衷于向量空間和線性數(shù)學， 我國中學的反映比較遲緩。 1980年代， 中學里只有與復數(shù)相關的平面向量。 那里不談數(shù)量積，只有平行四邊形法則孤零零的一點內(nèi)容， 不成氣候。 至于三維向量進入立體幾何， 則歷盡周折。 直到1990年代， 仍然勢均力敵（據(jù)說在國家教材審定委員會里， 4票對4票）， 遂有立體幾何分兩種版本的折中處理辦法問世。 2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史 上海教材在陳昌平主編的力挺之下， 率先在1990年代初全面推行向量方法。進入21世紀以后，立體幾何采用向量方法處理，在全國范圍內(nèi)也終成定局。 實際上， 現(xiàn)今中學數(shù)學內(nèi)容，除去“數(shù)和式的運算”以及排列組合、數(shù)

8、據(jù)處理 等少數(shù)內(nèi)容， 可以分成“線性數(shù)學”和“非線性”數(shù)學兩大部分。2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史 那么， 向量究竟有什么威力和魅力， 使得它如此受人重視呢？說來簡單， 無非是向量“能算”。在數(shù)學上， 點的直角坐標，向量的坐標分解（投影），直角三角形的正弦余弦， 復數(shù)的實部與虛部， 四位一體。它們的原始概念彼此相通，只有形式上的不同。向量分解可以看作直角坐標的一種推廣。分解就是投影， 投影的量化就是正弦和余弦。2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史 現(xiàn)今的上海新課程， 在初中就出現(xiàn)了“平面向量”的概念。高中的解析幾何部分， 也注入了“向量幾何”的成分。 例如用向量推導平面直

9、線方程，強調(diào)直線的方向式和法向式、直線的一般式和直線的斜率，卻不要求學生在“兩點式”、“點斜式”上下功夫。這樣做，可以和將來推導空間直線方程相一致。2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史 向量幾何在法國已經(jīng)有很長的歷史。以下是一個初中的教學事例（取自1985年法國國民教育部數(shù)學教育委員會馬蒂內(nèi)訪華講演）2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史勾股定理的證明勾股定理的證明 （事先準備知識：由一個角的兩邊的任何一點向另一邊作投影， 其壓縮的比值相同）。在角a 中，ac = ab， ad= ac，故 ad = 2ab在角b 中，bc = ab， bd = bc，故 bd = 2 ab。由于

10、 ab= ad+ bd=2 ab +2 ab = （2 +2 ）ab，因此（2 +2） =1。ab2=ac2+bc2.于是 。 證畢 2021-11-14向量的發(fā)展史向量的發(fā)展史 這里， 將線段的投影，三角的余弦， 以及未來的向量分解和數(shù)量積等知識都擰在一起，并用來證明勾股定理， 在數(shù)學思想上更簡約、更緊密了。2021-11-14矩陣行列式的作用地位矩陣行列式的作用地位 陳省身先生說數(shù)學的對象不外“數(shù)”與“形”，雖然近代的概念，已與原始的意義，相差甚遠。這里的形和數(shù)都用了引號。這就是說“形”不僅是三維空間中見到的圖形；“數(shù)”也不僅是有理數(shù)、無理數(shù)、實數(shù)，也包括如矩形數(shù)表（矩陣）所表示的“數(shù)”。

11、矩陣的引入使“數(shù)”的內(nèi)涵擴充了。 2021-11-14矩陣行列式的作用地位矩陣行列式的作用地位同時可以看到矩陣有解線性方程組作為其背景，矩陣還可以表示點的坐標的變換。矩陣在今天計算機計算中有著十分重要的地位。行列式和矩陣的引入，使向量的應用和表示更加簡練和方便?？偠灾仃囆辛惺揭敫咧袛?shù)學有三個理由：1. 矩陣是“數(shù)”概念的擴充；2. 矩陣行列式是討論解線性方程組的有效工具；3. 矩陣可以表示圖形的變換(坐標變換)。2021-11-14矩陣內(nèi)容的教育作用行列式是16831693年間引入的，矩陣是1858年引入的。在此期間，數(shù)學有著長足進步，其中數(shù)學符號的進步是數(shù)學進步的一個方面。數(shù)學符號的規(guī)

12、范化和正確使用是數(shù)學教學的重要方面；是培養(yǎng)學生數(shù)學交流能力的重要方面。同時，數(shù)學內(nèi)容的簡潔表示也顯示了數(shù)學的美。圖形的矩陣變換反映了一種運動變化。2021-11-14為什么要學矩陣行列式2021-11-14行列式與幾何的聯(lián)系 11221122,0.x yxyxyxy兩向量、平行的充分必要條件是2021-11-14行列式與幾何的聯(lián)系 平面上三點共線的充分必要條件是1122331101xyxyxy2021-11-14行列式與幾何的聯(lián)系 空間三個向量共面的條件是1112223330 xyzxyzxyz2021-11-14行列式與幾何的聯(lián)系 平面上三直線共點的條件:111122223333111222

13、333:0:0:00laxbyclaxbyclaxbycabcabcabc2021-11-14高二線性數(shù)學的教學要求高二線性數(shù)學的教學要求 一. 在向量方面的教學要求: 1. 理解基向量的作用;理解平面向量的分解定理; 2. 掌握向量運算的坐標表示;掌握向量平行垂直的坐標表示;掌握求兩向量夾角的公式. 3.通過例子了解向量與幾何、三角、代數(shù)的關系.2021-11-14高二線性數(shù)學的教學要求高二線性數(shù)學的教學要求 二. 在矩陣行列式初步方面的教學要求: 1.理解矩陣及其有關的概念(元素、行、列、零矩陣、單位矩陣等). 2. 掌握兩矩陣可以進行加、減運算的條件;兩矩陣可以相乘的條件.理解矩陣乘法不

14、滿足交換律. 3. 理解為什么引進矩陣.2021-11-14高二線性數(shù)學的教學要求高二線性數(shù)學的教學要求 4. 掌握二階、三階行列式展開的對角線法則,三階行列式按照某一行(列)展開的方法. 5.掌握二元、三元線性方程組解的行列式方法;利用行列式討論線性方程組解的存在性和唯一性. 6.會用計算機(器)求行列式的值.2021-11-14高二線性數(shù)學的教學要求高二線性數(shù)學的教學要求 矩陣和行列式是目前計算機常用的計算對象.著名的計算機軟件matlab、scilab都是以矩陣運算為基本運算的. 密碼學正從軍事應用走向商業(yè)和民間,密碼使用時利用矩陣進行文件的加密,當對方收到密碼文件后要利用逆矩陣來解密,

15、才能是對方得到清晰的文本. 現(xiàn)在矩陣論已成為一門獨立的學科.2021-11-14矩陣行列式課時安排 矩陣和行列式初步共9學時，其中一矩陣9.1 矩陣的概念 2學時9.2 矩陣的運算 2學時二行列式9.3 二階行列式 2學時9.4 三階行列式 3學時2021-11-14矩陣行列式教學設計建議 1學生學習矩陣、行列式的最大障礙是不知道為什么要學習這些概念。教師應通過引入、例題等各種途徑使學生了解學習意義。通過二元線性方程組求解的討論，引入矩陣、行列式概念，使學生了解矩陣、行列式產(chǎn)生的背景。通過例子了解學習矩陣的好處。2021-11-14矩陣行列式教學設計建議 2矩陣概念的引入使“數(shù)”的內(nèi)涵更加豐富

16、了。在小學里，整數(shù)、小數(shù)是“數(shù)”；在初中里，有理數(shù)、實數(shù)是“數(shù)”，引進矩陣后平面向量的坐標（有序數(shù)對）是“數(shù)”，矩形數(shù)表也是“數(shù)”。為了使學生明了矩陣是“數(shù)”概念的擴張應該通過例題，讓學生知道用矩陣計算的好處。2021-11-14矩陣行列式教學設計建議 3通過例子，讓學生理解向量向量的矩陣變換的含義。了解關于直線對稱的變換、關于軸對稱、關于軸對稱的變換。 4把行列式計算與兩向量平行、平面上三點共線的簡潔表示聯(lián)系起來，進一步理解數(shù)學符號的意義。2021-11-14矩陣行列式教學設計建議 5通過例題討論，使學生掌握用行列式討論和表示二元、三元線性方程組解的方法，掌握行列式的對角線展開法。 6引導學

17、生用計算機（器）進行矩陣、行列式計算。學習本章的探究與實踐，對于培養(yǎng)學生用計算機進行矩陣計算和理解矩陣變換與圖形變換關系是十分有益的。2021-11-14算法初步教學的作用地位算法初步教學的作用地位作用地位：古希臘數(shù)學家發(fā)明了公理化演繹方法，對數(shù)學發(fā)展，甚至于對科學的發(fā)展是一個偉大的貢獻。與古希臘數(shù)學相比，中世紀的東方數(shù)學表現(xiàn)出強烈的算法精神。中國古代數(shù)學以算法見長。算法是數(shù)學的組成部分。算法數(shù)學與論證數(shù)學的結(jié)合產(chǎn)生了現(xiàn)代數(shù)學。算法體現(xiàn)與演繹思想不同思想方法，它用符合邏輯程序的計算步驟來解決數(shù)學問題。在計算機已進入生活各個領域的今天，算法知識已成為公民必備的修養(yǎng)。2021-11-14算法初步教學的作用地位算法初步教學的作用地位 一位專家在的序言中寫道: 與時俱進,數(shù)學也不例外.這不,一個全新的數(shù)學內(nèi)容算法.在21世紀初,就大踏步地進入中學數(shù)學,成為高中生必修課程的一部分.與中學里的微積分幾進幾出相比.算法進中學要順利得多.原因何在? 信息時代的要求使然.2021-11-14算法初步的教育價值算法對于培養(yǎng)學生邏輯思維能力和用圖表示計算機程序關系的能力。對