第五節(jié) 可降階的二階微分方程

1、第五節(jié)第五節(jié) 可降階的二階微分方程可降階的二階微分方程一、一、 型的微分方程型的微分方程)(xfy 二、二、 型的微分方程型的微分方程),(yxfy 三、三、 型的微分方程型的微分方程),(yyfy 一、一、 型的微分方程型的微分方程)(xfy 解法解法,d)(1cxxfy .d)d)(21cxcxxxfy 特點特點 右端僅含有自變量右端僅含有自變量 x , 只要連續(xù)積分只要連續(xù)積分 二次即得通解二次即得通解 . .cos的通解的通解求方程求方程xxeyx 例例 1解解 xxxeyxd)cos(1sin,xxxeexc1(sin)dxxyxeexcx122cos.xxxeexc xc逐次積分的

2、解法可用于解高階微分方程逐次積分的解法可用于解高階微分方程. )()(xfyn ,d)(1)1(cxxfyn xcxxfynd)d)(1)2(,d)d)(21cxcxxxf 只要連續(xù)積分只要連續(xù)積分 n 次即得含次即得含 n 個獨立任意常數(shù)的通解個獨立任意常數(shù)的通解 .2的通解的通解求方程求方程例例xxey 解解 xxeyxd,1cexexx xcexeyxxd)(1,221cxcexexx xcxcexeyxxd)2(21.33221cxcxcexexx ,00 tx解解 據(jù)題意有據(jù)題意有)(dd22tftxm tfot0ff0(1)tft0dd0 ttx)1(0ttf對方程兩邊積分對方程兩

3、邊積分, , 得得 例例3 3 質(zhì)量為質(zhì)量為 m 的質(zhì)點受力的質(zhì)點受力f 的作用沿的作用沿 ox 軸作直線軸作直線運動運動 , 設(shè)力設(shè)力 f 僅是時間僅是時間 t 的函數(shù)的函數(shù): f = f (t) .在開始時在開始時刻刻t = 0 時時f(0) = f0 , 隨著時間的增大隨著時間的增大 , 此力此力 f 均勻均勻地減小地減小 , 直到直到 t = t 時時 f(t) = 0 .若開始時質(zhì)點在原點若開始時質(zhì)點在原點 , 且初速度為且初速度為0 , 求質(zhì)點的運動規(guī)律求質(zhì)點的運動規(guī)律. 120)2(ddctttmftx 120)2(ddctttmftx 利用初始條件利用初始條件, 01 c得得于

4、是于是)2(dd20tttmftx 兩邊再積分得兩邊再積分得2320)62(ctttmfx 再利用再利用00 tx, 02 c得得故所求質(zhì)點運動規(guī)律為故所求質(zhì)點運動規(guī)律為).3(2320tttmfx 0dd0 ttx二、二、 型的微分方程型的微分方程),(yxfy 特點：特點：解法：解法：.y不顯含未知函數(shù)不顯含未知函數(shù), )(xpy 令令.py 則則代入原方程代入原方程, 化為關(guān)于變量化為關(guān)于變量 x , p 的一階微分方程的一階微分方程).,(pxfp 關(guān)于關(guān)于 p(x) 的的一一階方程階方程設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1cxp 即即, ),(1cxy 再次再次積分積分, 得得原方程的通解原

5、方程的通解.d),(21cxcxy .0的通解的通解求方程求方程 yyx解解),(xpy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程,得得, 0 ppx,1xcp 解線性方程解線性方程, 得得兩端積分兩端積分,得原方程通解為得原方程通解為, )(xpy 則則）（0 p,1xcy 即即,21221cxcy 例例 1.221cxcy 即即.12的通解的通解求方程求方程 yxyx解解),(xpy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程, 得得,12 xppx),(ln11cxxp 解線性方程解線性方程, 得得兩端積分兩端積分,得原方程通解為得原方程通解為),(xpy 則則,lnln21212cxcxy 例例2,112xpxp 即即

6、),(ln11cxxy 即即.1)0(,0)0(0)1(2的解的解求方程求方程 yyyxyx解解),(xpy 設(shè)設(shè)代入原方程代入原方程,得得,0)1(2 xppx211xcp 解線性方程解線性方程, 得得),(xpy 則則例例 3,012 pxxp即即211xcy 即即,1)0( y由由,11 c得得211xy 兩端積分兩端積分 , 得原方程通解為得原方程通解為,arcsin2cxy ,0)0( y由由,02 c得得故所求原方程的解為故所求原方程的解為:.arcsin xy 三、 型的微分方程),(yyfy ),(ypy 設(shè)設(shè)xpydd 則則特點：特點：.x右端不顯含自變量右端不顯含自變量解法

7、：解法：xyypdddd ,ddypp 代入原方程代入原方程, 化為關(guān)于化為關(guān)于 p(y) 的一階微分方程的一階微分方程, ),(ddpyfypp 設(shè)其通解為設(shè)其通解為),(1cyp 即即, ),(1cyy 分離變量后分離變量后積分積分, 得得原方程的通解原方程的通解.),(d21cxcyy .02的通解的通解求方程求方程 yyy解解,ddyppy 則則),(ypy 設(shè)設(shè)代入原方程得代入原方程得 , 0dd2 pyppy, 0)dd( pypyp即即，由由0dd pypy,1ycp 可得可得.12xcecy 故原方程通解為故原方程通解為例例 1即即,1ycy .02的通解的通解求方程求方程 y

8、yy解解2,12y兩端同乘兩端同乘, 0)(dd22 yyxyyyy,1ycy 故故從而通解為從而通解為.12xcecy 例例 1解解3原方程變?yōu)樵匠套優(yōu)?yyyy 兩邊積分兩邊積分,得得，1lnlnlncyy ，即即ycy1 原方程通解為原方程通解為.12xcecy 22(),(0,1)21,.yyyyyx例2 已知一曲線滿足方程其在處的切線為求該曲線解解 2)0(,1)0()(22yyyyyy即求初值問題即求初值問題),(ypy 設(shè)設(shè),ddyppy 則則代入原方程得代入原方程得 ,)1(2ddypyp ,2d1d yypp,ln)1ln(2cyp 得得代入代入將將,2,1 py,0 c,

9、12 ypy,d1d2xyy ,arctancxy 可得可得故曲線方程為故曲線方程為,d1d2 xyy得得代入代入將將,1,0 yx,4 c. )4tan( xy.02的通解的通解求方程求方程 yey例例3解解令令),(ypy ,ddyppy 則則代入方程得代入方程得,dd2yeppy 積分得積分得,1221221cepy 即即,122cepy ,12cepy 若若,12ceyy 即即, y解得解得,12cepy 若若,12ceyy 即即, y解得解得解解例例4解初值問題解初值問題.1,00002 xxyyyey令令),(ypy ,ddyppy 則則代入方程得代入方程得,dd2yeppy 積分

10、得積分得,1221221cepy 即即,122cepy 利用初始條件利用初始條件, , 0100 xyyp, 01 c得得根據(jù)根據(jù),ddyepxy 積分得積分得,2cxey , 00 xy再由再由, 12 c得得故所求特解為故所求特解為.1xey 得得四、小結(jié)四、小結(jié)可降階微分方程的解法可降階微分方程的解法 降階法降階法)(. 1)(xfyn 逐次積分逐次積分),(. 2yxfy 令令, )(xpy xpydd 則則),(. 3yyfy 令令, )(ypy yppydd 則則思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 方程方程)(yfy 如何代換如何代換求解求解 ?答答: : 令令)(xpy 或或)(ypy 一

11、般說一般說, , 用前者方便些用前者方便些. . 均可均可. . 有時用后者方便有時用后者方便 .例如：例如：2)( yey 2. 解解二階可降階微分方程初值問題需注意哪些二階可降階微分方程初值問題需注意哪些問題問題 ?答答: (1) 一般情況一般情況 , 邊解邊定常數(shù)計算簡便邊解邊定常數(shù)計算簡便. .(2) 遇到遇到開平方時開平方時, , 要根據(jù)題意確定正負(fù)號要根據(jù)題意確定正負(fù)號. .一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: :1 1、xxey ； 2 2、21yy ；3 3、yyy 3)(； 4 4、0122 yyy. .二、二、 求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解求下列各微分方程滿足所給初始條件的特解: :1 1、0,1,01113 xxyyyy；2 2、1,0,0002 xxyyyay；3 3、2,1,300 xxyyyy. .三、三、 試求試求xy 的經(jīng)過點的經(jīng)過點)1,0(m且在此點與直線且在此點與直線12 xy相切的積分曲線相