【數(shù)學】活中的優(yōu)化問題舉例

1、 生活中經(jīng)常會遇到生活中經(jīng)常會遇到求什么條件下求什么條件下可使用料最省，利可使用料最省，利潤最大，效率最高等問題，這些問題通常稱為潤最大，效率最高等問題，這些問題通常稱為優(yōu)化問題優(yōu)化問題. .這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題這往往可以歸結(jié)為求函數(shù)的最大值或最小值問題. .其中其中不少問題可以運用導數(shù)這一有力工具加以解決不少問題可以運用導數(shù)這一有力工具加以解決. .復習：如何用導數(shù)來求函數(shù)的最值？復習：如何用導數(shù)來求函數(shù)的最值？ 一般地，若函數(shù)一般地，若函數(shù)y=f (x)在在a，b上的圖象是一條上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線連續(xù)不斷的曲線，則求，則求f (x) 的最值的步驟是：的最值的步

2、驟是：（1）求）求y=f (x)在在a，b內(nèi)的極值內(nèi)的極值(極大值與極小值極大值與極小值)；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值f (a)、f (b) 比較，比較， 其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值. 特別地，特別地，如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)如果函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個極值點只有一個極值點，則這個極值一定是最值。則這個極值一定是最值。問題情景一：問題情景一：飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響飲料瓶大小對飲料公司利潤的影響 下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們下面是某品牌飲料的三種規(guī)格不同的產(chǎn)品，若它們的價格如下

3、表所示，則的價格如下表所示，則（1）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？）對消費者而言，選擇哪一種更合算呢？（2）對制造商而言，哪一種的利潤更大？）對制造商而言，哪一種的利潤更大？例例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售售1ml的飲料，制造商可獲利的飲料，制造商可獲利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？，則每瓶飲料的利潤何時最大，

4、何時最小呢？2( ) = 0.8- 20= 2()，f rrrr 令令得得r(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)減函數(shù) 增函數(shù)增函數(shù) -1.07p p解：解：每個瓶的容積為每個瓶的容積為:)(343mlrp p每瓶飲料的利潤：每瓶飲料的利潤：238 .0342 .0)(rrrfyp p p p 32= 0.8 (-)3rr)60( r解：設(shè)每瓶飲料的利潤為解：設(shè)每瓶飲料的利潤為y，則，則238 .0342 .0)(rrrfyp p p p 32= 0.8 (-)3rr)60( rr(0，2)2(2，6f (r)0f (r)-+減函數(shù)減函數(shù) 增函數(shù)增函數(shù) f (r)在在(2，6上

5、只有一個極值點上只有一個極值點由上表可知，由上表可知，f (2)=-1.07p p為利潤的最小值為利潤的最小值-1.07p p例例1、 某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料，瓶子的制造瓶子的制造成本是成本是0.8p pr2分分，其中，其中r是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出是瓶子的半徑，單位是厘米，已知每出售售1ml的飲料，制造商可獲利的飲料，制造商可獲利0.2分分，且制造商能制造的瓶子的，且制造商能制造的瓶子的最大半徑為最大半徑為6cm，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？，則每瓶飲料的利潤何時最大，何時最小呢？解：設(shè)每瓶飲料的利潤為解：設(shè)每瓶飲料的利

6、潤為y，則，則238 .0342 .0)(rrrfyp p p p 32= 0.8 (-)3rr)60( r當當r(0，2)時，時，( ) 0f r( ) 0f r例例2、通過研究，人們發(fā)現(xiàn)汽車在行駛過程中，汽油的、通過研究，人們發(fā)現(xiàn)汽車在行駛過程中，汽油的平均消耗率平均消耗率 g（即每小時的汽油消耗量，（即每小時的汽油消耗量， 單位單位: l / h）與汽車行駛的平均速度與汽車行駛的平均速度v（單位（單位: km）之間，有如圖的）之間，有如圖的函數(shù)關(guān)系函數(shù)關(guān)系 g = f (v) ，那么如何根據(jù)這個圖象中的數(shù)據(jù)來，那么如何根據(jù)這個圖象中的數(shù)據(jù)來解決汽油的使用效率最高的問題呢？解決汽油的使用效率最高的問題呢？v(km/h)g (l/h)o12090305051015問題問題1：可用哪個量來衡量：可用哪個量來衡量汽油的使用效率