第五節(jié)兩個(gè)重要極限

1、第五節(jié)第五節(jié) 兩個(gè)重要極限兩個(gè)重要極限一一0sinlim1xxx xy01xsin xx1 0.5 0.05 0.01 0.001 0.841470.958850.999580.999980.99999980sinlim1xxx 于是得到于是得到第一個(gè)重要極限：第一個(gè)重要極限： 顯然顯然0lim1sinxxx 00“ ”未未定定式式0 xxsin ( )lim1( )u xu x 推廣形式為：如果推廣形式為：如果 ，或或 時(shí)，時(shí)， ，則則x ( )0u x 020202sin5sin(36)2tan1 lim2 lim3 lim2sin35624 lim(5)limlimsinsin2sin(

2、2)xxxxxxxxxxxxxxxxxxx （ ）； （ ）；（ ）； （ ） ； ； ( (6 6) )例例1:1:求下列極限求下列極限解解: :00sin5sin51 limlim55xxxxxx （）1 55 22sin(36)sin3(2)2 limlim22xxxxxx （ ）2sin3(2)lim33(2)xxx 1 33 02tan3 limxxx（ ）0sin2limcosxxxx 0sin12limcosxxxx2 1 12 0sin34 limsin2xxx（ ）331 122 2256(5)limsin(2)xxxx 2limsinxxx(6)(6)2(2)lim(3)s

3、in(2)xxxx 1 ( 1)1 2sinlim22xxx2 0tan2limxxx 0sin323lim3sin22xxxxxxx2(2)(3)limsin(2)xxxx 2sinlim1xxx 二二第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限1lim(1)xxex 1 未未定定式式204060802.552.62.652.7xye1lim(1)xxex1(1)xyxe-100-80-60-40-202.752.82.852.92.953.05xy1lim(1)xxex1lim(1)xxex1(1)xyx10lim(1)xxxe即即1 未未定定式式有有兩兩種種形形式式11lim(1)xxeuxx在在中中，

4、令令，則則變變形形為為10lim(1)uuue011lim(1)xxex10lim(1)xxxe0 02 2都稱為都稱為第二個(gè)重要極限第二個(gè)重要極限 00 xxxu x 如如果果當(dāng)當(dāng)或或者者時(shí)時(shí)，那那么么 1lim 1u xu xe第二個(gè)重要極限可以推廣為以下形式第二個(gè)重要極限可以推廣為以下形式: 1sin0lim 1sinxxx 如如 sinu xx 這這里里0( )sin0 xu xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， 1sin0lim 1sinxxxe為了計(jì)算的方便，上述推廣的結(jié)果還可以進(jìn)一步推廣為：為了計(jì)算的方便，上述推廣的結(jié)果還可以進(jìn)一步推廣為： lim 1av xu xe 則則 00limxxxu xu

5、 x v xa 如如果果當(dāng)當(dāng)或或者者時(shí)時(shí)，并并且且，32122(1)lim 1;(2)lim 1;(3)lim2xxxxxxxxxx 例例2 ： 求下列極限求下列極限解解: :（1）這里）這里 1,u xv xxx 1( )0 xu xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， limxu x v x1limxxx1 11lim 1xxex 這里這里 2,3u xv xxx 2( )0 xu xx 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)， limxu x v x2lim(3)xxx2 322lim 1xxex 32(2)lim 1xxx 22(3)lim2xxxx 224lim2xxxx 24lim 12xxx 這里這里 4,22u xv xxx 4

6、lim22xxx 8 limxu x v x282lim2xxxex 課堂練習(xí)課堂練習(xí)求下列極限求下列極限22010sin5sin(1)sin7(1)lim;(2)lim;(3)limsin317xxxxxxxxxx 252013(4)lim 1;(5)lim 1;(6)lim 12xxxxxxxxx limu xv x00 ,u xxv xx 且且，則則有有 limlimu xxv xx 等價(jià)無窮小代換法則：等價(jià)無窮小代換法則：若若 為為 型未定式極限型未定式極限即即 型未定式在求極限時(shí)，可將分子分母用等價(jià)無窮小型未定式在求極限時(shí)，可將分子分母用等價(jià)無窮小00替換后再求極限。替換后再求極限。

7、三三利用等價(jià)無窮小代換計(jì)算利用等價(jià)無窮小代換計(jì)算 未定式的極限未定式的極限0 0兩個(gè)無窮小量?jī)蓚€(gè)無窮小量 ， 之比的極限之比的極限 稱為稱為 型型未定式極限未定式極限 u x v x limu xv x0 0 1000ln 11limlimln 1limln 11xxxxxxxxx 例如例如01lim1xxex 可可以以證證明明0sinlim1xxx 0sinxxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，0ln(1) xxx當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，01 xxex當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，需要記住的等價(jià)無窮小量有：需要記住的等價(jià)無窮小量有：0 x 當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)sinxxtanxxln(1) xx 1 xex 22xaxaa 0sin5(1)limsin7xx

8、x例例3 ： 求下列極限求下列極限0sin5 5 ,sin7 7xxxxx時(shí)時(shí)，05lim7xxx 57 0ln(13 )(2)limtanxxx 0ln(13 ) 3 ,tanxxxxx時(shí)時(shí)，03limxxx 3 201(3)limln(12 )xxex 201 2 ,xxex 時(shí)時(shí)，02lim2xxx 1 ln(12 )ln1( 2 )2xxx 011(4)limxxx 011 2xxx時(shí)時(shí)，02limxxx 12 039(5)limxxx 202xxaxaa時(shí)時(shí)，023limxxx 16 2033limxxx 20ln(13)(6)limxxx 220ln(13) 3xxx時(shí)時(shí)，203l

9、imxxx 0lim30 xx 課堂練習(xí)課堂練習(xí)利用等價(jià)無窮小代換求下列極限利用等價(jià)無窮小代換求下列極限22030sin5sin(3)7(1)lim;(2)lim;(3)limtan39sin2xxxxxxxxxx 22sin20011ln(14 )(4)lim;(5)limsin1xxxxxxe 第六節(jié)第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 許多變量的變化都是連續(xù)的。如氣溫隨著時(shí)間的變化，許多變量的變化都是連續(xù)的。如氣溫隨著時(shí)間的變化，一般地，氣溫不會(huì)在極其短暫的時(shí)間內(nèi)由一般地，氣溫不會(huì)在極其短暫的時(shí)間內(nèi)由2c突變到突變到20c。由由2c變到變到20c必然要經(jīng)過一個(gè)時(shí)間過程，并且不是一個(gè)很必然要經(jīng)

10、過一個(gè)時(shí)間過程，并且不是一個(gè)很短的過程。短的過程。 自然界中連續(xù)的現(xiàn)象還有很多，抽象到數(shù)學(xué)上來可以描自然界中連續(xù)的現(xiàn)象還有很多，抽象到數(shù)學(xué)上來可以描述為：對(duì)函數(shù)述為：對(duì)函數(shù) ，當(dāng)自變量，當(dāng)自變量 的改變量非常微小時(shí)，相的改變量非常微小時(shí)，相應(yīng)函數(shù)值的改變量也非常微小，且隨著自變量的改變量趨于應(yīng)函數(shù)值的改變量也非常微小，且隨著自變量的改變量趨于零，函數(shù)值的改變量也趨于零。零，函數(shù)值的改變量也趨于零。( )yf x x( )yf x 從幾何上講，函數(shù)從幾何上講，函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)，就是曲線連續(xù)，就是曲線 在點(diǎn)在點(diǎn) 不間斷，即當(dāng)橫坐標(biāo)不間斷，即當(dāng)橫坐標(biāo) 從從 的左右兩側(cè)無限趨的左右兩側(cè)無限趨于于

11、時(shí)，縱坐標(biāo)時(shí)，縱坐標(biāo) 無限趨于無限趨于 處的縱坐標(biāo)處的縱坐標(biāo) ，如下圖所示，如下圖所示( )yf x 0 x0 x0 xx00(,()xf x0 xy0()f x0 xxy( )yf x 00(,()xf x00()yf x 一一函數(shù)連續(xù)的概念函數(shù)連續(xù)的概念定義：定義：設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在在 附近有定義附近有定義, ,如果當(dāng)如果當(dāng) 時(shí)，函時(shí)，函數(shù)數(shù) 的極限存在的極限存在, ,且等于它在點(diǎn)且等于它在點(diǎn) 處的函數(shù)值處的函數(shù)值 , ,即即)(xf)(xf0 xx 0 x)(0 xf)()(lim00 xfxfxx )(xf0 x那末就稱函數(shù)那末就稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù). .0 x fx0 x函數(shù)函數(shù)

12、 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)必須同時(shí)成立以下三個(gè)條件：連續(xù)必須同時(shí)成立以下三個(gè)條件：0 x1在點(diǎn)在點(diǎn) 有定義，即有定義，即 存在；存在； 0fx 0limxxfx2 存在，即在存在，即在 有極限；有極限；0 x 00limxxfxfx 3極限值等于函數(shù)值，即極限值等于函數(shù)值，即 f x0 x 如果函數(shù)如果函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 不能同時(shí)滿足以上三個(gè)條件，則不能同時(shí)滿足以上三個(gè)條件，則稱函數(shù)在點(diǎn)稱函數(shù)在點(diǎn) 間斷間斷，或稱函數(shù)在，或稱函數(shù)在 不連續(xù)不連續(xù)。0 x0 x例例1：討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 的連續(xù)的連續(xù)性性sin xyx 0 x 解：解：因?yàn)橐驗(yàn)楹瘮?shù)函數(shù) 在在 沒有定義沒有定義sin xyx 0 x 所以所以

13、函數(shù)函數(shù) 在在 不連續(xù)。不連續(xù)。sin xyx 0 x 例例2:2: 討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性 12,1,1xxxfxex 1x 解：解：(1)123f 1limxfx 1limxfx 1lim23xx 11lim1xxe 1lim( )xf x不不存存在在1x 故該函數(shù)在故該函數(shù)在 處不連續(xù)處不連續(xù)有定義有定義2222lim( )lim2xxxxf xx 例例3:3: 討論函數(shù)討論函數(shù) 在在 處的連續(xù)處的連續(xù)性性 222232xxxfxxx 2x 解：解：(2)3f 有定義有定義2(2)(1)lim2xxxx 2lim(1)xx3 (2)f 2x 故該函數(shù)在故該函數(shù)在 處

14、連續(xù)處連續(xù)有時(shí)還需要用到函數(shù)在某一點(diǎn)單側(cè)連續(xù)的概念有時(shí)還需要用到函數(shù)在某一點(diǎn)單側(cè)連續(xù)的概念 000)lim(xxfxffxxx 如如果果，則則稱稱在在點(diǎn)點(diǎn)處處左左連連續(xù)續(xù) 000)lim(xxfxffxxx 如如果果，則則稱稱在在點(diǎn)點(diǎn)處處右右連連續(xù)續(xù)例如：函數(shù)例如：函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 右連續(xù)，右連續(xù)，21yx1x 1x 在點(diǎn)在點(diǎn) 左連續(xù)左連續(xù)11 21yxxy例例4:4:.0, 0, 0,cos)(,處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)取何值時(shí)取何值時(shí)當(dāng)當(dāng) xxxaxxxfa解解xxfxxcoslim)(lim00 , 1 )(lim)(lim00 xaxfxx , a ,)0(af 00lim( )lim(

15、 )(0),xxf xf xf要要使使,1時(shí)時(shí)故當(dāng)且僅當(dāng)故當(dāng)且僅當(dāng) a.0)(處連續(xù)處連續(xù)在在函數(shù)函數(shù) xxf, 1 a二二間斷點(diǎn)及其分類間斷點(diǎn)及其分類函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)。函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)稱為間斷點(diǎn)。如如函數(shù)函數(shù) 在在 不連續(xù)，所以間斷點(diǎn)為不連續(xù)，所以間斷點(diǎn)為sin xyx 0 x 0 x 一般地，函數(shù)沒有定義的點(diǎn)是間斷點(diǎn)，極限不存在的點(diǎn)一般地，函數(shù)沒有定義的點(diǎn)是間斷點(diǎn)，極限不存在的點(diǎn)也是間斷點(diǎn)，極限值不等于函數(shù)值的點(diǎn)仍是間斷點(diǎn)。也是間斷點(diǎn)，極限值不等于函數(shù)值的點(diǎn)仍是間斷點(diǎn)。-11231234211xyx 21,11xyxx 在在無無定定義義1x 是是其其間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)21(1)yx oxy

16、1211(1)yxx 在在無無定定義義1x 是是其其間間斷斷點(diǎn)點(diǎn),0,( )1,0,xxf xxx 函函數(shù)數(shù)(00)0,f, 1)00( f0(00)(00),lim( )xfff x不不存存在在0.x 為為函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)oxy1,1( )11,1xxf xxx 函函數(shù)數(shù)在在處處oxy1121,11,1xxyx , 1)1( f, 2)01( f, 2)01( f2)(lim1 xfx),1(f 0.x 為為函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)000( ),( )xf xxf xx 設(shè)設(shè)為為函函數(shù)數(shù)的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn) 如如果果在在處處的的左左右右極極限限都都存存在在，則則稱稱 為為間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)，否

17、否則則稱稱為為第第一一類類第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。三三初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性定理：定理：000( ),( ),( )( )( ),( )( ),( ()0)( ).f xg xxf xf xg xf xg xg xg xx 若若函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處連連續(xù)續(xù)則則在在點(diǎn)點(diǎn)處處也也連連續(xù)續(xù)例如例如,2,sin ,cos(,),xxexx 在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)2sin ,cos ,tan.xxx exx 故故在在其其定定義義域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù) 即由連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算所得到的函數(shù)仍然是連續(xù)即由連續(xù)函數(shù)經(jīng)過四則運(yùn)算所得到的函數(shù)仍然是連續(xù)的（分母為零的點(diǎn)除外）。的（分母為零的點(diǎn)除外）。00000()

18、,(),( ),().uxxxxuyf uuuyfxxx 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)且且而而函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)則則復(fù)復(fù)合合函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)也也連連續(xù)續(xù)定理定理 即由兩個(gè)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)仍然是即由兩個(gè)連續(xù)函數(shù)經(jīng)過復(fù)合運(yùn)算所得到的函數(shù)仍然是連續(xù)的。連續(xù)的。例如例如,1(, 0),(0,),ux在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù),),(sin內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在 uy1sin(, 0),(0,).yx在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)定理定理 基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的. .定理定理 一切初等函數(shù)在其一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的. .定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間. . 因?yàn)槌醯群瘮?shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算因?yàn)槌醯群瘮?shù)是由基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運(yùn)算以及復(fù)合運(yùn)算得到的并且由一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)。以及復(fù)合運(yùn)算得到的并且由一個(gè)式子表達(dá)的函數(shù)。 fx0 x 根據(jù)這一結(jié)論，求初等函數(shù)根據(jù)這一結(jié)論，求初等函數(shù) 在某點(diǎn)在某點(diǎn) 的極限時(shí)，的極限時(shí)，如果如果 在在 的定義區(qū)間內(nèi)，則函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，則函數(shù) 在該點(diǎn)的極限值在該點(diǎn)的極限值等于等于 在該點(diǎn)的函數(shù)值在該點(diǎn)的函數(shù)值 0 x fx fx fx 0fx即即 初等函數(shù)求極限的方法初等