曲線積分與路徑無關(guān)的條件

1、平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件一一. 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的概念平面上曲線積分與路徑無關(guān)的概念二二. 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件三三. 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的應(yīng)用平面上曲線積分與路徑無關(guān)的應(yīng)用一一. 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的概念平面上曲線積分與路徑無關(guān)的概念引例引例.,)2()3(2ldyyxdxyx計(jì)算對坐標(biāo)的曲線積分;)0 , 1()0 , 1 () 1 (的線段到點(diǎn)是從點(diǎn)bal的圓??；到點(diǎn)沿上半圓是從點(diǎn))0 , 1(1)0 , 1 ()2(2bxyal.)0 , 1() 1, 0()0 , 1 ()

2、3(的折線再到點(diǎn)到點(diǎn)是從點(diǎn)bmalxyo1111解解:2)2()3(2ldyyxdxyxi在(1),(2)和(3)的各自條件下注注: 這是偶然的還是必然的這是偶然的還是必然的?定義定義:上定義在平面區(qū)域設(shè)函數(shù)dyxqyxp),(),(內(nèi)任意兩個若對連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)d.為終點(diǎn)的任一分段b為同一個稱否則,.與路徑有關(guān)內(nèi)有且在d為始點(diǎn)中以沿定點(diǎn)adba,ldyyxqdxyxpl),(),(,積分光滑曲線.內(nèi)與積分路徑無關(guān)值，則稱此積分在ddyxo1l2lba例例32.1證明證明ldyyxdxyx)2()3(2曲線積分證明證明:則令,2),(,3),(2yxyxqyxyxp.平面上有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)xoy與路徑無

3、關(guān)顯然它們在整個的分段光任取兩條連接任取兩點(diǎn)baba,滑曲線,21anblambl的正向?yàn)槭归]曲線ambna,逆時針方向abmn則211lllqdypdxqdypdx2) 11 (ldqdypdxd.2lqdypdx2lqdypdx二二. 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件平面上曲線積分與路徑無關(guān)的等價條件定理定理:,),(),(,ypyxqyxpd為平面單連通區(qū)域設(shè):,則下列四個命題等價內(nèi)連續(xù)在dxq; 0,) 1 (lqdypdxld曲線內(nèi)任意一條分段光滑閉沿lqdypdxld積分線內(nèi)任意一條分段光滑曲對于,)2(;與路徑無關(guān)使得上定義在存在某一函數(shù),),()3(dyxuu qdypdxd

4、u;內(nèi)恒成立在d.)4(xqypd內(nèi)才處處有在).1 ()4()3()2() 1 ( :證明路線圖說明說明:林公式條件的差別；比較此定理的條件與格) 1 (;:)2(xqyp關(guān)的條件應(yīng)用判別積分與路徑無及其求法二元函數(shù)的原函數(shù))3(方法方法(i),(0yxc),(yxbxyo),(00yxa xxdxyxpyxu0),(),(0yydyyxq0),(或xxyydxyxpdyyxqyxu00),(),(),(0三三. 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的應(yīng)用平面上曲線積分與路徑無關(guān)的應(yīng)用. 1簡化線積分的計(jì)算);() 1 (取適當(dāng)?shù)穆窂街苯雍喕?.()2(添加輔助線間接簡化得由qdypdxdu),(),(

5、),(xdyyxpyxu)(),(,xdyyxpxxuqx得求導(dǎo)對dxdyyxpxqdxdxxx),()()(由此得方法方法(ii)例例32.2)0 , 0(,)2()(oldyyxedxxelyy為從點(diǎn)其中計(jì)算.)2 , 1 ()0 , 1 (的圓弧段到點(diǎn)經(jīng)過ba解解:,2),(,),(yxeyxqxeyxpyy令,yyexqeyp則,xqypxoyxqypqp且面上連續(xù)在整個和顯然.與路徑無關(guān)故積分lqdypdxxoyab,aboal因此取積分路徑有.27)2()1 (22010abyloaedyyedxx例例32.3lyxydxxdy.,:22與路徑無關(guān)積分在右半平面上驗(yàn)證證明：, 0,

6、),(,),(2222xyxxyxqyxyyxp令, 0,)(22222xxqyxxyyp則,)0(上顯然在右半平面x故在右半平面上恒成立且,xqyp,都連續(xù)和xqypqplyxydxxdy.,22與路徑無關(guān)積分在右半平面上積積分分與與路路徑徑無無關(guān)關(guān)xqyp ，解解,2)(2xyxyyyp ),()(xyxyxxq ,),(2xyyxp ),(),(xyyxq 故故 )1 , 1()0,0(2)(dyxydxxy由由xyxy2)( cxx 2)( 10100ydydx.21 由由0)0( ，知知0 c 2)(xx .例例32.5分，是某個二元函數(shù)的全微驗(yàn)證：表達(dá)式y(tǒng)dyxdxxy22并求出這

7、個函數(shù):證明,),(,),(22yxyxqxyyxp令則.2,xqxyxpxoyxqxpqp面上連續(xù)，且在整個和.22分是某個二元函數(shù)的全微故表達(dá)式y(tǒng)dyxdxxy則取),0 , 0(),(00yx.210),(220202yxydyxdxxyxuyxxyo),(yx. 2求二元函數(shù)的原函數(shù)例例32.6xylxyrkfcos2:),(2作用下沿曲線設(shè)質(zhì)點(diǎn)在力場).(),0 ,2()2, 0(22yxrba其中求此力場所作的功移動到點(diǎn)由點(diǎn)解解:力場所作的功為,2222lldyyxkxdxyxkydsfw令,22rxkqrykp則有)0()(22422yxryxkypxq可見, 在不含原點(diǎn)的單連通

8、區(qū)域內(nèi)積分與路徑無關(guān).:ab)02:(sin2,cos2yx取圓弧)dd(2yxxyrkwabd)cos(sin2022kk2思考思考: 積分路徑是否可以取?obao為什么？lbayox三三. 小結(jié)小結(jié);. 1概念曲線積分與路徑無關(guān)的;. 2四個等價命題曲線積分與路徑無關(guān)的;. 3簡化曲線積分. 4原函數(shù)求二元函數(shù)的注:對坐標(biāo)的曲線積分計(jì)算方法代入法化成定積分；) 1 (（添加輔助線）；利用格林公式簡化計(jì)算)2(;,)3(取特殊路徑簡化計(jì)算利用積分與路徑無關(guān)性.)4(原函數(shù)利用備用題:例例32.7dyyyxdxxyxab)56()4(4214的值，使線積分確定時這個線積分與點(diǎn)分別為點(diǎn)與與路徑無

9、關(guān)并求當(dāng))2 , 1 ()0 , 0(ba的值解解:. 3.579)56()4(421)2, 1()0, 0(4dyyyxdxxyx例例32.81. 設(shè),4:, 1:222412yxlyxl且都取正向, 問下列計(jì)算是否正確 ?lyxxyyx22d4d) 1(lyxxyyx22d4dlxyyxd4d41dd5415lyxxyyx22dd)2(lyxxyyx22ddlxyyxdd41dd2412o2y1x2ll提示提示:時022 yxypxq) 1(ypxq)2(設(shè), )56,4(),(grad42234yyxxyxyxu).,(yxu求例例32.9解解:551x322yxcy 5),(yxu例例32.