曲面與曲線方程

1、e-mail: 5 5 曲面及其方程曲面及其方程在前面，我們已知，空間平面對應于一在前面，我們已知，空間平面對應于一 個三個三元一次方程元一次方程.0dczbyax 反之，任意一個三元一次方程也對應于空間反之，任意一個三元一次方程也對應于空間中的一個平面中的一個平面.如果平面如果平面 的方程是的方程是(1)，其含義是平面，其含義是平面 上任意動點上任意動點(x, y, z)都是都是(1)的解的解. 而而(1)的每一組解的每一組解也對應于也對應于 上某一點上某一點.(1)e-mail: 定義定義1 設空間曲面設空間曲面s,及三元方程及三元方程 f(x, y, z)=0有如有如下關系：下關系：（1

2、）曲面）曲面 s 上任一點上任一點 m(x, y, z)，其坐標其坐標 x, y, z 都滿足都滿足f(x, y, z)=0； （2）不在曲面）不在曲面s 上任一點上任一點 m(x, y, z) 的坐標不滿的坐標不滿 足方程足方程f(x, y, z)=0；則說明方程則說明方程f(x, y, z)=0為為曲面曲面s的方程的方程. 而而曲面曲面 s 為為 f(x, y, z)=0的的圖形圖形.一一 曲面方程曲面方程1、曲面方程的概念、曲面方程的概念e-mail: f(x，y，z )0oxyzsm(x，y，z )研究曲面的兩個基本問題：研究曲面的兩個基本問題： （1）已知曲面，如何求曲面的方程？）已

3、知曲面，如何求曲面的方程？ （2）已知方程，如何描繪其曲面？）已知方程，如何描繪其曲面？e-mail: ozx ym0rm 例例1 求以在求以在m 0(x 0,y 0,z 0)球心球心, r為半徑的球面的方程為半徑的球面的方程 解解 設設m(x，y，z)是球面上的任一點，是球面上的任一點， 那么那么|m 0m| r由于由于| m 0m|所以所以 r，或或 (x x 0) 2 (y y 0) 2 (z z 0) 2 r 2這就是建立球心在點這就是建立球心在點m 0(x 0，y 0，z 0)半徑為半徑為r的球面的方程的球面的方程特殊地，球心在原點特殊地，球心在原點o(0，0，0)、半徑為半徑為r的

4、球面的方程為的球面的方程為x 2 y 2 z 2 r 2202020)()()(zzyyxx，202020)()()(zzyyxxe-mail: 例例2 設有點設有點a(1,2,3)和和b(2, 1,4)，求線段，求線段ab的垂直平的垂直平 分面的方程分面的方程 解解 由題意知道，所求的平面就是與由題意知道，所求的平面就是與a和和b等距離的等距離的 點的幾何軌跡點的幾何軌跡設設m(x，y，z)為所求平面上的任一點，為所求平面上的任一點， 由于由于| am|bm|，所以所以等式兩邊平方，然后化簡得等式兩邊平方，然后化簡得2x 6y 2z 7 0這就是線段這就是線段ab的垂直平分面的的垂直平分面的

5、方程方程ozx yabm222)3()2() 1(zyx222)4() 1()2(zyx222)3()2() 1(zyx222)4() 1()2(zyxe-mail: 解解 通過配方，原方程可以改寫成通過配方，原方程可以改寫成 (x 1) 2 (y 2) 2 z 2 5例例3 方程方程x 2 y 2 z 2 2x 4y 0表示怎樣的曲面？表示怎樣的曲面？這是一個球面方程，球心在點這是一個球面方程，球心在點m 0(1， 2，0)、比較：比較：球心在點球心在點m 0(x 0，y 0，z 0)、半徑為、半徑為r的球面的球面 的方程的方程 (x x 0) 2 (y y 0) 2 (z z 0) 2 r

6、 25半徑為r e-mail: 一般地，設有三元二次方程一般地，設有三元二次方程a x 2 a y 2 a z 2 d x e y f z g 0，這個方程的特點是缺這個方程的特點是缺x y ，y z ，z x 各項，而且平方各項，而且平方項系數(shù)相同，項系數(shù)相同， 只要將方程經(jīng)過配方就可以化成方程只要將方程經(jīng)過配方就可以化成方程(x x 0) 2 (y y 0) 2 (z z 0) 2 r 2的形式，的形式， 它的圖形就是一個球面它的圖形就是一個球面e-mail: 空間曲線可以視為兩區(qū)面的交線，設兩曲面的空間曲線可以視為兩區(qū)面的交線，設兩曲面的方程分別為：方程分別為：( , , )0( , ,

7、 )0f x y zg x y z和則空間曲線則空間曲線l的一般方程：的一般方程：( , , )0( , , )0f x y zg x y z（*）有如下關系：有如下關系：（1）曲線）曲線l上所有點的坐標都滿足（上所有點的坐標都滿足（*）（2）坐標滿足（）坐標滿足（*）的所有點都在曲線）的所有點都在曲線l上。上。 則稱方程（則稱方程（*）為曲面）為曲面l的一般方程，而曲線的一般方程，而曲線l稱為方程組（稱為方程組（*）對應的曲線。）對應的曲線。例如：例如：22220 xyzrxyz方程組表示空間中的一個圓表示空間中的一個圓e-mail: xyz222xyr引例.分析方程是怎樣的曲面 沿曲線沿曲

8、線c c平行于平行于z z軸的一切直線所形成的曲面稱軸的一切直線所形成的曲面稱為為圓柱面圓柱面，其上所有點的坐標都滿足此方程，其上所有點的坐標都滿足此方程, ,故在空故在空間上：間上：222xyr表示圓柱面oclm1m222,xoyxyrc解 在面上，表示圓1( , ,0),cmx yzl在圓 上任取一點過此點作平行與 軸的直線222,( , , )zm x y zxyr對任意 點的坐標也滿足方程1 1、柱面、柱面二、常見曲面方程二、常見曲面方程e-mail: 類似圓柱面給出一般柱面的定義類似圓柱面給出一般柱面的定義:l一條直線 在空間平行于固定方向運動，xy母線平行與z軸，柱面在平面( ,

9、)0f x y 容易驗證此時該柱面的方程為（如右圖所示）但總和某一條固定的曲線 相交，這樣所產(chǎn)生的曲面叫做柱面，l直線 稱為，曲線 叫做柱面母線的準線.( , )0,0,f x yz的準線方程,( , )0y zh z xxy同理,方程g()=0和分別表示母線平行 和 軸的柱面.oxyzcl母線準線e-mail: 例例4 設設( , )00 x yz：，求以 作為準線，母線平行于z軸的柱面方程。解：在柱面上任意取一點解：在柱面上任意取一點m(x,y,z),則則m必在某條母必在某條母 線上，它與線上，它與的交點為的交點為m1(x,y,0),從而有從而有( , )0 x y另一方面：若另一方面：若

10、m(x,y,z)滿足滿足( , )0 x y，則，則m必在經(jīng)過必在經(jīng)過m(x,y,0)的母線上，且的母線上，且z=0，故所求，故所求柱面方程為柱面方程為，故曲面上任一點都滿足，故曲面上任一點都滿足( , )0 x y( , )0 x ye-mail: 【注】此表達式中，缺【注】此表達式中，缺z。同理：同理： 以以( , )0( , )0,00 x zy zyx為準線，母線分別平行為準線，母線分別平行于于y，z軸的柱面方程分別為：軸的柱面方程分別為：( , )0, ( , )0 x zy z其中：其中：222yz代表母線平行于代表母線平行于x軸的圓柱面；軸的圓柱面；220 xz代表母線平行于代表

11、母線平行于y軸的圓柱面；軸的圓柱面；e-mail: 下面介紹一般錐面定義：下面介紹一般錐面定義：00.pp一直線通過一定點 與一條不經(jīng)過 的定曲線相交而移動所產(chǎn)生曲面為錐面的其中定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準其中定點稱為錐面的頂點，定曲線稱為錐面的準線，構成線，構成準線準線的直線稱為錐面的的直線稱為錐面的母線母線.(見下圖見下圖)2.2.錐面錐面p0pe-mail: 特別，當準線為圓時就是我們常見的圓錐面特別，當準線為圓時就是我們常見的圓錐面.0 xyzle-mail: 5 求以坐標原例點為頂點，222( )1,txtytzcab2代入 的方程得( )及22221.(0)xyabzc

12、c橢圓：,為準線的錐面方程( , , )p x y z設是該錐面上任解意一點，1111( ,),pp x y z過 的母線交準線 于點1111,.optopxtx yty ztz 則有即e-mail: , t消去參數(shù) 得到錐面方程.ab稱上述錐面為二次錐面，時為圓錐面22()1,.cxcyzzab2()2222220 xyzabc即e-mail: l 一條曲線 繞一條直線 旋轉所產(chǎn)生的曲面稱為旋轉曲面.曲線 稱為母線，l直線 稱為軸.l過 的半平面與旋轉曲面的交線稱為經(jīng)線.圓柱面、圓錐面都是旋轉曲面.母線上的點旋轉所得的圓稱為緯圓，3.3.旋轉曲面旋轉曲面le-mail: 總結：總結：2222

13、l( , )0( ,)0(, )0yozf y zyf yxzzfxyz（1） 與 在平面，其方程為則 繞 旋轉得方程為：繞 旋轉得方程為：2222l( , )0( ,)0(, )0 xoyx yxxyzyxzy（2）設 與 在平面，其方程為則 繞 旋轉一周所得方程為：繞 旋轉一周所得方程為：2222l( , )0( ,)0(, )0 xozx zxxyzzxyz（3）設 與 在平面，其方程為則 繞 旋轉一周所得方程為：繞 旋轉一周所得方程為：e-mail: 例例6 把橢圓把橢圓繞繞x軸旋轉，所形成的旋轉軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：曲面的方程：222210 xzacy222221xyzac

14、繞繞z軸旋轉，所形成的旋轉軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：曲面的方程：222221xyzac這兩種曲面均稱為這兩種曲面均稱為旋轉橢球面旋轉橢球面。 e-mail: 例例7 把曲線把曲線繞繞x軸旋轉，所形成的旋轉軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：曲面的方程：222210 xyabz222221xyzac繞繞z軸旋轉，所形成的旋轉軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：曲面的方程：222221xyzac這兩種曲面均稱為這兩種曲面均稱為旋轉雙曲面旋轉雙曲面。 e-mail: 例例8 把拋物線把拋物線繞繞x軸旋轉，所形成的旋轉軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：曲面的方程：220yxz222yzx繞繞y軸旋轉，所形

15、成的旋轉軸旋轉，所形成的旋轉曲面的方程：曲面的方程：4224()yxz這兩種曲面均稱為這兩種曲面均稱為旋轉拋物面旋轉拋物面。 e-mail: 2222221( , ,)xyza b cabc方程為正的常數(shù)所表示的曲面稱為橢球面.abc特別地，時為球面當下面討論橢球面地性質下面討論橢球面地性質(1)對稱性：橢球面關于三個坐標平面、三個坐標軸、及原點都是對稱.(2)有界性:,xa yb zcxa yb zc 因此橢球面在六個面所圍的長方體內(nèi).4.4.橢球面橢球面e-mail: (3)與坐標軸的交點(4)平截線,0,0,0abc顯然橢球面與三坐標軸的交點分別為()、(0,),(0,0,).xyzh用

16、平行與坐標平面的截橢球面，所得截線2222221,xyhabczh 方程為e-mail: 22221,ii00,xyhxyabz（ ）當時截線為在平面的橢圓iiihc（）當時橢圓縮成兩點(0,0, c)ihchh（ ）當時，截線是平面 上的一個中心在(0,0, )的一個橢圓，h顯然橢圓隨著的增大而不斷減??；此時交線橢圓最大.zxy0e-mail: (1)單葉雙曲面xyz2222221 ( , ,)xyza b cabc方程為正數(shù)所確單定葉的曲面稱為雙曲面.5 5、雙曲面、雙曲面e-mail: 顯然由類似的討論可知單葉雙曲面對于三個顯然由類似的討論可知單葉雙曲面對于三個坐標軸、三個坐標平面和原點

17、都是對稱的坐標軸、三個坐標平面和原點都是對稱的.xyzk平截線：用一組平行與平面的平面去截單葉雙曲面，可得一族半軸各不相同的橢圓平面222211,.abackbckcc顯然該橢圓的半軸為2222221,.xyzabczk 和曲面的交線為e-mail: yzxz用平行與平面以及平行于平面的平面去截單葉雙曲面其交線都是雙曲線，方程為222222221,(1)(1),xzkkacbbyk和222222221,(1)(1),yzkkbcaaxk ,0,0,0ab與坐標的交點：(),(0,)為單葉雙曲面與坐標軸的交點，稱為其頂點，對稱中心稱為中心。e-mail: (2)雙葉雙曲面雙葉雙曲面2222221

18、( , ,)xyza b cabc 方程為正常數(shù)所確定的曲面，稱為雙葉雙曲面. 顯然雙葉雙曲面是關于三個坐標平面、三個顯然雙葉雙曲面是關于三個坐標平面、三個坐標軸及原點對稱坐標軸及原點對稱.2222221,.yzxzyzkbcaxk 平截線：曲面與平行于平面，平心于平面的交線為e-mail: zxyo2222221,.xzkacbyk 和顯然他們都是雙曲線xykkc用平行于平面的平面z去截曲面當時和曲面沒有交點；kc當 時和曲面的交點為(0,0, c).kc當時和曲面的交線為橢圓e-mail: (1)橢圓拋物面0zxy由上式可知，所以拋物面與平面的交點僅為坐標原點.,xz yz與平面的交線以次

19、為：22222 ( ,)xyz a bab方程為正常數(shù)所確定的曲面為橢圓拋物面.2222 ,2 ,20,0,yxzzbaxy和6.6.拋物面拋物面e-mail: yxzo(0)xyzk k平行與平面的平面與該拋物面的截線為22222 ,xykabzk是一橢圓，則該拋物面的圖像為右圖所示e-mail: (2)雙曲拋物面,xz yzz顯然曲面關于平面和 軸都是對稱的.0,0,.0ha h b hhah bhh時，半軸分別為；時半軸分別為時為兩條直線.2222 ( ,)2xyz a bab方程為正常數(shù)所確定的曲面稱為雙曲拋物面.xyzh用平行與線平面的平面截該曲面，截線為22222 ,.xyhabzh雙曲面，方程為e-mail: ,xh yh用平面截曲面，截線為拋物線，方程為xyzo22222222(),(),.hhybzxazabxhyh 和 圖像為下圖所示：e-mail: 在講直線與平面之關系時，曾介紹過如何在講直線與平面之關系時，曾介紹過如何求空間直線在某平面上的投影求空間直線在某平面上