積分變換第3講

1、1主要內(nèi)容主要內(nèi)容1、拉氏變換的概念和存在定理、拉氏變換的概念和存在定理 2 2、拉氏變換的性質(zhì)、拉氏變換的性質(zhì) 3 3、卷積和卷積定理、卷積和卷積定理4 4、拉氏逆變換及其應用、拉氏逆變換及其應用21 1 拉普拉斯變換的概念拉普拉斯變換的概念1、問題的提出、問題的提出 傅傅氏氏變換變換具有廣泛的應用具有廣泛的應用，但但有前提條件有前提條件，除了滿足狄氏條件之外，還要求函數(shù)絕對可積除了滿足狄氏條件之外，還要求函數(shù)絕對可積：即即.)( dttf 實際上這個條件非常強，對函數(shù)的要求較高，實際上這個條件非常強，對函數(shù)的要求較高，因而一些常見的函數(shù)都不滿足這一點因而一些常見的函數(shù)都不滿足這一點. .這

2、就限制了這就限制了傅氏變換的應用傅氏變換的應用. .3 另外，通常在實際應用中的許多以時間另外，通常在實際應用中的許多以時間t t為自為自變量的函數(shù)往往在變量的函數(shù)往往在t0t0時收斂時收斂, 且有且有,1|100sestdestst 7).0)(re(1)( sstul所以所以例例2 2 求指數(shù)函數(shù)求指數(shù)函數(shù)).()(rketftk 的的拉拉氏氏變變換換.)(0)(0 tdetdeesftsktstk解：解：根據(jù)拉氏變換的定義根據(jù)拉氏變換的定義, 有有這個積分在這個積分在re(s)k時收斂時收斂, 且有且有,1|10)(0ksesktdeetskt stk ).)(re(1ksksetk l

3、所以所以 k為為復數(shù)復數(shù)時上式也成立時上式也成立, , 只是只是收斂區(qū)間收斂區(qū)間為為re(s)re(k).83 3、拉氏變換存在定理、拉氏變換存在定理f( (t t) )滿足什么條件時它的拉氏變換存在滿足什么條件時它的拉氏變換存在? ? 有下面有下面的定理：的定理：拉氏變換的存在定理拉氏變換的存在定理 若函數(shù)若函數(shù)f( (t t) )滿足滿足: :（1 1） 在在t t 0 0的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；的任一有限區(qū)間上分段連續(xù)；（2 2） 當當t t時時, , f( (t t) )的增長速度不超過某一指的增長速度不超過某一指數(shù)函數(shù)數(shù)函數(shù), , 即存在常數(shù)即存在常數(shù)m 00及及c c 0, 0,

4、 使得使得| |f(t t)|)| m ect, 0, 0 t t c上一定存在上一定存在, 并且在并且在re(s)c的的半平面內(nèi)半平面內(nèi), f(s)為為解析函數(shù)解析函數(shù).9注注 定理的條件是定理的條件是充分充分的的. .例例3 3 求求 f(t)=sin kt (k為實數(shù)為實數(shù)) 的拉氏變換的拉氏變換. 00)(21sinsintdeeeitdktektstiktiktstl解：解：根據(jù)拉氏變換的定義根據(jù)拉氏變換的定義, 有有,1121122220)(0)(0)(0)(kskiksiksieikseiksitdetdeitikstikstikstiks 10： 0dtettlstmm 01s

5、tmdets.sin22kskkt l所以所以.cos22ksskt l同理可得同理可得例例4 4 求冪函數(shù)求冪函數(shù) f(t)=tm (m為正整數(shù)為正整數(shù))的拉氏變換的拉氏變換. .tdetmsetsstmstm 0101|1. )0)(re(101 stlsmtdetsmmstm.11s l注意到注意到.!1 mmsmtl所以所以11例例5 5 求周期性三角波求周期性三角波 btbtbbtttf2,2,0,)( 且且 f(t+2b)= f(t)的拉氏變換的拉氏變換.bob2b3b4btf(t)12.)()()(0)1(220 kbkkbststtdetftdetfsf解：解：根據(jù)定義，得根據(jù)

6、定義，得.)()2()(,220220)2()1(22 bskbsbkbsbkkbstdefedekbftdetfkbt則則令令 bbt sbt sbbt sbt sbt sedtbsedtstdetbtdtetdetf202020)2(11)2()(而而1322)1(1bses ,11,0)re(.)()(2020202bskkbskbstkbseestdetfesf 時時當當注意到注意到.111)1(111)(11)(2222202bsbsbsbsbstbseesesetdetfesf 則則14若若 f( (t t) )是周期為是周期為t t的函數(shù)，則的函數(shù)，則必須指出必須指出，當，當 f

7、( (t t) )在在t t= =0 0有界時，積分有界時，積分.)(11)(0 tststtdetfesf.)()()()(000 tdetftdetftdetftfstststl這是因為這是因為.0)(00 tdetfts但是，但是，當當 f(t)在在t=0處包含脈沖函數(shù)時處包含脈沖函數(shù)時，則，則.0)(00 tdetft s15 為了考慮這一情況為了考慮這一情況, , 需將進行拉氏變換的函數(shù)需將進行拉氏變換的函數(shù)f( (t t) )在在t t 0 0時有定義擴大為當時有定義擴大為當t t 00及及t t=0=0的任意一個鄰域的任意一個鄰域內(nèi)有定義內(nèi)有定義. . 這樣這樣, , 原來的拉氏

8、變換的定義原來的拉氏變換的定義但為了書寫方便起見但為了書寫方便起見, , 仍寫成仍寫成(1)(1)式的形式式的形式. .)()()1()()(00 tdetftftdetftfststll應應為為例如：例如：. 1)()()(000 tstststetdettdettl16實際應用中，有拉氏變換表可以查用實際應用中，有拉氏變換表可以查用.本講小結本講小結1、理解拉氏變換的定義；、理解拉氏變換的定義；2、掌握拉氏變換存在定理、掌握拉氏變換存在定理.17 說明：凡是要求拉氏變換的函數(shù)都滿足拉氏說明：凡是要求拉氏變換的函數(shù)都滿足拉氏變換存在定理的條件，并且把這些函數(shù)的增長指變換存在定理的條件，并且把

9、這些函數(shù)的增長指數(shù)都統(tǒng)一地取為數(shù)都統(tǒng)一地取為c.證明：根據(jù)定義和積分的性質(zhì)即可證明證明：根據(jù)定義和積分的性質(zhì)即可證明. .1、線性性質(zhì)、線性性質(zhì)為為常常數(shù)數(shù)，則則若若,).()()()(2121tftftftflll 拉氏逆變換也有類似的性質(zhì)，請自己寫出來拉氏逆變換也有類似的性質(zhì)，請自己寫出來. .182、微分性質(zhì)、微分性質(zhì)則則若若),()(sftf l).0()()( fssftf l證明證明：根據(jù)定義，有：根據(jù)定義，有)()( )( 00tfdetdetftft st s l.)re(),0()()(|)(00csfssftdetfsetft st s 推論推論則則若若),()(sftf

10、l).0()0( )0()()()1(21)( nnnnnffsfssfstfl19 此性質(zhì)可以將此性質(zhì)可以將f( (t) )的微分方程轉(zhuǎn)化為的微分方程轉(zhuǎn)化為f( (s) )的代的代數(shù)方程數(shù)方程. .因此，它對微分方程求解有著重要的作用因此，它對微分方程求解有著重要的作用. .特別地，若特別地，若則則, 0)0()0( )0()1( nfff).()()(sfstfnn l例例1 1 已知已知,sin22kskkt l求求.cos ktl解：解：因為因為,cos)(sinktkkt 則則0sinsin1)(sin1cos ktskktkktlll.kss0re(s)22 ,20例例2 2 利用

11、微分性質(zhì)求利用微分性質(zhì)求mttf )(的拉氏變換，其中的拉氏變換，其中m為正整數(shù)為正整數(shù). .解：解：因為因為,!)()(mtfm 所以所以),()0()0( )0()()()1(21)(sfsffsfssfstfmmmmmm l于是于是,1!1! !)(smmmtfsm lll.!1 mmsmtl21 以上是象原函數(shù)的微分公式以上是象原函數(shù)的微分公式. . 此外，根據(jù)拉氏此外，根據(jù)拉氏變換的存在定理，還可以得到變換的存在定理，還可以得到象函數(shù)的微分性質(zhì)象函數(shù)的微分性質(zhì)：則則若若),()(sftf l.)re(),()( cstftsf l一般地，有一般地，有.)re(),()1()()()(

12、)(cstfttftsfnnnn ll例例3 3 求求ktttfsin)( 的拉氏變換的拉氏變換.解：解：因為因為所以所以,sin22kskkt l.)(2sin22222kskskskdsdktt l223 3、積分性質(zhì)、積分性質(zhì)則則若若),()(sftf l).(1)(0sfstdtft l證明證明：設：設,)()(0 ttdtfth則則.0)0(),()( htfth于是于是),()0()()( thshthsthlll 即即).(1)(1)(0sfstfstdtft ll23重復應用上式，可以得到重復應用上式，可以得到).(1)(000sfstdtftdtdnttt l另外，關于像函數(shù)

13、的積分，有如下公式：另外，關于像函數(shù)的積分，有如下公式：則則若若),()(sftf l(*).)()( sdssfttfl特別地，在特別地，在* *式中令式中令s=0s=0，則，則.)()(00 dssftdttf24例例4 4 求求tttfsin)( 的拉氏變換的拉氏變換.解：解：因為因為所以所以,11sin2 stl.arctan2|arctan11sin2ssdssttss l于是于是.2|arctan11sin0020 dsstdtt思考題：思考題：?sin0 tdettt254 4、位移性質(zhì)、位移性質(zhì)則則若若),()(sftf l.)re(),()(000cssssftfelts 或

14、者或者).()()(00101tfesflessfltsts 證明：證明：根據(jù)定義，得根據(jù)定義，得.)re(),()()()(000)(0000cssssftdetftdetfetfetsssttsts l.00sets作作位位移移拉拉氏氏變變換換等等于于其其像像函函數(shù)數(shù)的的原原函函數(shù)數(shù)乘乘以以這這個個性性質(zhì)質(zhì)表表明明了了一一個個像像26例例5 5 求求ktetfatsin)( 的拉氏變換的拉氏變換.解解：因為因為所以所以,sin22kskkt l.)(sin22kaskkteat l例例6 6 求求)()(為為正正整整數(shù)數(shù)mtetfmat 的拉氏變換的拉氏變換.解解：因為因為,!1 mmsmtl所以所以.)(!1 mmatasmtel27).()(sfetfls 5 5、延遲性質(zhì)、延遲性質(zhì)證明證明：根據(jù)定義，得：根據(jù)定義，得 0)()(tdetftflst，有有任任一一非非負負實實數(shù)數(shù)則則對對于于時時又又若若, 0)(0),()( tftsftfl或者或者).()(1 tfsfels28(*).)()()(0 t detft detftflstst由于由于, 0)( tft時時,ut 所以所以* * *式中第一個積分為零；對于第二個積分，式中第一個積分為零；對于第二個積分，令令則則.)re(),()()()