第四節(jié)函數(shù)的連續(xù)性

1、1.4 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性1.4.1 函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性定義定義1.7 (函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性)設(shè)設(shè) 在在 x0 的某一鄰域內(nèi)有的某一鄰域內(nèi)有定義定義,)(xf時(shí)函數(shù)時(shí)函數(shù) 的極限存在的極限存在,)(xf0 xx 如果當(dāng)如果當(dāng)且且)()(lim00 xfxfxx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù),)(xf0 x稱為稱為 的連續(xù)點(diǎn)的連續(xù)點(diǎn).)(xf0 x;)()1(0處處有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn) xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx 處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件:0)(xxf在在點(diǎn)點(diǎn)說(shuō)明說(shuō)明:函數(shù)函數(shù)),()

2、(00 xfxxfy 所以所以, 在點(diǎn)在點(diǎn) 連續(xù)連續(xù)等價(jià)于等價(jià)于:)(xf0 x,0 xxx 若設(shè)若設(shè)00 xxx. 0lim0 yx),()(lim00 xfxfxx 若若;)(0處處左左連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱xxf),()(lim00 xfxfxx 若若.)(0處右連續(xù)處右連續(xù)在點(diǎn)在點(diǎn)則稱則稱xxf0 x左連續(xù)左連續(xù)0 x右連續(xù)右連續(xù)xyoxyo顯然顯然, 00)()(xxfxxf在在處處連連續(xù)續(xù)在在定義定義1.8 (函數(shù)在一點(diǎn)左右連續(xù)函數(shù)在一點(diǎn)左右連續(xù))又右連續(xù)又右連續(xù).處既左連續(xù)處既左連續(xù), 或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù)或稱函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù). .在區(qū)間上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù)在區(qū)間上每一點(diǎn)都

3、連續(xù)的函數(shù), 稱該區(qū)間上的稱該區(qū)間上的在開區(qū)間在開區(qū)間),(ba右連續(xù)右連續(xù) )(lim(xfax )(lim(xfbx左端點(diǎn)左端點(diǎn)ax 右端點(diǎn)右端點(diǎn)bx ,)(bacxf continuous左連續(xù)左連續(xù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù),),()(bacxf )(af)(bf內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù))(xf連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)而不間斷的曲線.定義定義1.9 (函數(shù)在區(qū)間連續(xù)函數(shù)在區(qū)間連續(xù))例如例如, 多項(xiàng)式函數(shù)多項(xiàng)式函數(shù)內(nèi)是連續(xù)的內(nèi)是連續(xù)的. 因此因此, 有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)有理分式函數(shù)在其定義域內(nèi)的每一點(diǎn)都是連續(xù)的都是連續(xù)的.有理分式函數(shù)有理分式函數(shù), ),(0

4、xnnnxaxaaxp 10)(),( )()(lim00 xpxpnnxx ,)()()(xqxpxrmn 只要只要,0)(0 xqm都有都有).()(lim00 xrxrxx 因此因此, 多項(xiàng)式多項(xiàng)式函數(shù)函數(shù)在在例例1 證明函數(shù)證明函數(shù) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .證證,00處處在在 x.),(,內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在故故 xy . 0, 0,xxxxxy, 0)(limlim00 xyxx, 0limlim00 xyxx所以所以).0(0lim0yyx ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x);(limlim0000 xyxxyxxxx ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x);()(limlim0000 xyxxyxxxx ),( 在在xy

5、證證),(0 x.sinsinlim00 xxxx 2sin2cos2sinsin0000 xxxxxx 002sin2xxxx 由由夾逼定理夾逼定理, 有有 .),(sin,內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù)在在所以所以 xy.),(cos內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xy因因例例2 證明函數(shù)證明函數(shù) 內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). .),(sin 在在xy同理同理,定理定理1.14 (函數(shù)四則運(yùn)算的連續(xù)性函數(shù)四則運(yùn)算的連續(xù)性) 例如例如,),(cos,sin內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 xx則則點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(),(0 xxgxf;)()()1(0連續(xù)連續(xù)在在xxgxf ;)()()2(0連續(xù)連續(xù)在在xxgxf ).0)()()()

6、3(00 xgxxgxf若若連續(xù)連續(xù)在在故故 在其定義域內(nèi)連續(xù)在其定義域內(nèi)連續(xù).xxxxcsc,sec,cot,tan,)(,)(000uxxxu 且且連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定理定理1.15 (復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性)(lim)(lim00 xfxfxxxx .)(,)(00點(diǎn)也連續(xù)點(diǎn)也連續(xù)在在則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù)在在而函數(shù)而函數(shù)xxfyuufy ).(0 xf 定理定理1.16 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間i 上單調(diào)而上單調(diào)而且連續(xù)且連續(xù), 則其反函數(shù)也單調(diào)且連續(xù)則其反函數(shù)也單調(diào)且連續(xù).)(xfy 由此由此, 反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù)

7、.即即三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的連續(xù)的.)1, 0( aaayx;,),(且且連連續(xù)續(xù)內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)在在 )1, 0(log aaxya;,), 0(且且連連續(xù)續(xù)內(nèi)內(nèi)單單調(diào)調(diào)在在 可以證明可以證明: xy xeln ,uey xuln ,), 0(內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)在在 均在其定義域內(nèi)連續(xù)均在其定義域內(nèi)連續(xù).指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)定理定理1.17 (初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性) 初等函數(shù)在其初等函數(shù)在其定義區(qū)間定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.注注 1. 初等函數(shù)僅

8、在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù), 例如例如,)1(32 xxy), 1 0 :d在在 0 點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義點(diǎn)的鄰域內(nèi)沒(méi)有定義,.), 1內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)在在 注注 2. 初等函數(shù)的連續(xù)性提供了簡(jiǎn)單極限的求法初等函數(shù)的連續(xù)性提供了簡(jiǎn)單極限的求法.)(),()(lim000某定義區(qū)間某定義區(qū)間若若 xxfxfxx在其定義域內(nèi)不一定連續(xù)在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);例例3 求求.1sinlim1 xxe1sin1 e原原式式. 1sin e例例4 求求.11lim20 xxx 解解解解)11()11)(11(lim2220 xxxxx原式原式11lim20 xxx020 例例5 (非

9、初等函數(shù)的例子非初等函數(shù)的例子) ,0, 10, 00, 1sgn xxxx證明符號(hào)函數(shù)證明符號(hào)函數(shù) 是非初等函數(shù)是非初等函數(shù). 證證 因?yàn)橐驗(yàn)?,(sgn 的的定定義義域域是是而而x, 11limsgnlim00 xxx1)1(limsgnlim00 xxx.sgnlim0不不存存在在所所以以xx.0sgn處處不不連連續(xù)續(xù)在在因因此此 xx,sgn初初等等函函數(shù)數(shù)是是若若x.),(sgn連連續(xù)續(xù)在在則則 x矛盾矛盾, .sgn非非初初等等函函數(shù)數(shù)是是所所以以x;)()1(0處處有有定定義義在在點(diǎn)點(diǎn) xxf;)(lim)2(0存存在在xfxx)()(lim)3(00 xfxfxx ),()(0

10、或或間間斷斷處處不不連連續(xù)續(xù)在在點(diǎn)點(diǎn)則則稱稱函函數(shù)數(shù)xxf1.4.2 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn))(0 xfx 為為并并稱稱點(diǎn)點(diǎn)的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件處連續(xù)必須滿足三個(gè)條件:0)(xxf在在點(diǎn)點(diǎn)函數(shù)函數(shù)如果上述三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足如果上述三個(gè)條件中有一個(gè)不滿足,間斷點(diǎn)分為兩大類間斷點(diǎn)分為兩大類:第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)0(0 xf和和)0(0 xf都存在的都存在的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn),),0()0(00 xfxf若若則稱為則稱為可去間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn);),0()0(00 xfxf若若則稱為則稱為跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).其中其中稱為稱為第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn).例例6 討論討論.00,

11、10,)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在 xxxxxxf解解, 0)00( f, 1)00( f)00()00( ffoxy所以所以, 為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn)為函數(shù)的跳躍間斷點(diǎn).0 x例例7 討論函數(shù)討論函數(shù) 1,11, 110,2)(xxxxxxfoxy112xy 1xy2 解解, 2)01( f2)01( f1)1(2)(lim1 fxfx所以所以, 為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)為函數(shù)的可去間斷點(diǎn).1 x在在 處的連續(xù)性處的連續(xù)性.1 x如例如例7中中, 2)1( f令令 1,110,2)(xxxxxfoxy112注意注意: 可去間斷點(diǎn)只要可去間斷點(diǎn)只要改變改變或者或者補(bǔ)充補(bǔ)充間斷處函間斷處函 數(shù)的定義數(shù)的定

12、義, 則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn)則可使其變?yōu)檫B續(xù)點(diǎn).則則在在 處連續(xù)處連續(xù).1 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):和和中至少一個(gè)不中至少一個(gè)不)0(0 xf)0(0 xf若其中有一個(gè)為若其中有一個(gè)為, 稱為稱為無(wú)窮間斷點(diǎn)無(wú)窮間斷點(diǎn). .稱為稱為第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn).存在的存在的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn),例例8 討論函數(shù)討論函數(shù).00,0,1)(處處的的連連續(xù)續(xù)性性在在 xxxxxxf解解oxy, 0)00( f )00(f所以所以, 為函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn)為函數(shù)的無(wú)窮間斷點(diǎn).0 x 是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)是是有有理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxd, 0, 1)(狄利克雷函數(shù)狄利克雷函數(shù)定義域內(nèi)每一點(diǎn)都是第二類間斷點(diǎn)定義域內(nèi)每一

13、點(diǎn)都是第二類間斷點(diǎn). 是無(wú)理數(shù)時(shí)是無(wú)理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxxxf,)(注意注意: 不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn)不要以為函數(shù)的間斷點(diǎn)只是個(gè)別的幾個(gè)點(diǎn).僅在僅在 處連續(xù)處連續(xù), 其余各點(diǎn)處處間斷其余各點(diǎn)處處間斷.0 x初等函數(shù)無(wú)定義的孤立點(diǎn)是間斷點(diǎn)初等函數(shù)無(wú)定義的孤立點(diǎn)是間斷點(diǎn).分段函數(shù)的分段點(diǎn)可能是間斷點(diǎn)分段函數(shù)的分段點(diǎn)可能是間斷點(diǎn), 也可能是連續(xù)點(diǎn)也可能是連續(xù)點(diǎn),需要判定需要判定.求函數(shù)的間斷點(diǎn)的方法求函數(shù)的間斷點(diǎn)的方法的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn).)1)(1(sin)1()( xxxxxxf例例如如,求求解解0, 1, 1 xxx是間斷點(diǎn)是間斷點(diǎn).111)( xxexf1001

14、1lim)(lim xxxxexf )(lim1xfx 1 1111lim xxxe11111lim)(lim xxxxexf0 解解例例9 求函數(shù)求函數(shù) 的間斷點(diǎn)的間斷點(diǎn), 并判斷其類型并判斷其類型. 1, 0 xx是間斷點(diǎn)是間斷點(diǎn).所以所以, x = 0為第二類無(wú)窮為第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).內(nèi)連續(xù)內(nèi)連續(xù). 由初等函數(shù)的連續(xù)性由初等函數(shù)的連續(xù)性,),0 ,(函數(shù)函數(shù) 在其定義區(qū)間在其定義區(qū)間)(xf),1 , 0(), 1( 所以所以, x = 1為第一類為第一類跳躍間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn).,0ix 若若)()()()(00 xfxfxfxf 1.4.3 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性

15、質(zhì)設(shè)設(shè) 在區(qū)間在區(qū)間i 有定義有定義, )(xf, ix 使得使得則稱則稱 是函數(shù)是函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間i 的最大值的最大值(最小值最小值).)(xf)(0 xf定理定理1.18 (最大最小值定理最大最小值定理)設(shè)設(shè) 在在a, b上連續(xù)上連續(xù), 則則 在在a, b上有上有)(xf)(xf最大值最小值最大值最小值.有有ab2 1 xyo)(xfy ,21ba 則則,bax 使得使得,)(bacxf ).()(),()(21xffxff 注意注意: 1. 若區(qū)間是開區(qū)間若區(qū)間是開區(qū)間, 定理不一定成立定理不一定成立;推論推論1.5 (有界性定理有界性定理)2. 若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn)若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn), 定

16、理不一定成立定理不一定成立.設(shè)設(shè) 在在a, b上連續(xù)上連續(xù), 則則 在在a, b上上有界有界.)(xf)(xf有有若若 顯然顯然, 函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個(gè)函數(shù)的最大、最小值分別是它的一個(gè)上界和一個(gè)下界上界和一個(gè)下界.),(0)(內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一個(gè)個(gè)實(shí)實(shí)根根在在即即方方程程baxf 定理定理1.19 (零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 a, b上連續(xù)，上連續(xù)，)(xf, 0)()( bfaf若若. 0)( f使得使得),(ba 則至少有一點(diǎn)則至少有一點(diǎn)如果如果 的一個(gè)的一個(gè)零點(diǎn)零點(diǎn).)(, 0)(00 xfxxf為函數(shù)為函數(shù)則稱則稱 ab3 2 1 幾何解釋幾

17、何解釋:xyo)(xfy 定理定理1.20 (介值定理介值定理) 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 在閉區(qū)間在閉區(qū)間 上連續(xù)上連續(xù),)(xf,ba若若),()(bfaf ,)()(之之間間的的任任一一值值與與是是介介于于bfafc),(ba 則至少有一點(diǎn)則至少有一點(diǎn).)(cf 使得使得兩個(gè)端點(diǎn)位于兩個(gè)端點(diǎn)位于x 軸的兩側(cè)軸的兩側(cè),則曲線弧與則曲線弧與x 軸至少有一交點(diǎn)軸至少有一交點(diǎn).連續(xù)曲線弧連續(xù)曲線弧 的的)(xfy mbcamab1 2 3 2x1xxyo)(xfy 證證,)()(cxfx 設(shè)設(shè),)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則bax cafa )()( 且且ca cbfb )()( cb , 0)()( ba 由由

18、零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理,),(ba , 0)( 使得使得, 0)()( cf 即即cf )( 故故推論推論1.6 閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù), 必取得介于最必取得介于最大值大值m 與最小值與最小值m 之間的任何值之間的任何值.例例10 證明方程證明方程內(nèi)內(nèi)至至少少有有在在區(qū)區(qū)間間)1 , 0(4123xx 證證, 14)(23 xxxf令令,1 , 0)(上連續(xù)上連續(xù)在在則則xf, 01)0( f又又, 02)1( f由由零點(diǎn)定理零點(diǎn)定理,),1 , 0( , 0)( f, 01423 即即.)1 , 0(4123 內(nèi)內(nèi)至至少少有有一一根根在在xx 一根一根.所以所以,方程方程使得使得例例11 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù),)(,)(aafbaxf 且且上上連連續(xù)續(xù)在在區(qū)區(qū)間間證證,)()(xxfxf 令令,)(上上連連續(xù)續(xù)在在則則baxfaafaf )()(而而,