最優(yōu)控制中的變分法

1、第1章 最優(yōu)控制中的變分法第1章 最優(yōu)控制中的變分法本章主要內(nèi)容：q 1.1 變分的基本概念q 1.2 無(wú)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題q 1.3 具有等式約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題q1.4 應(yīng)用變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題第1章 最優(yōu)控制中的變分法1.1 變分的基本概念例1-1 最速降線問(wèn)題 最速降線問(wèn)題對(duì)變分學(xué)的創(chuàng)立產(chǎn)生過(guò)重大影響。 確立一條連結(jié)定點(diǎn)a(0，0)和定點(diǎn)b(xf，yf)的曲線。使質(zhì)點(diǎn)在重力作用下從點(diǎn)a滑動(dòng)到點(diǎn)b所需的時(shí)間最短(忽略摩擦和阻力的影響)。 解：最速降線問(wèn)題的示意圖如下ftdtxyj0) 11 ()()21 (2212gydtdsvmgymv)31 (212)()(2222dxgyygy

2、dydxgydsdt)41 (21)(02dxgyyxyjfx第1章 最優(yōu)控制中的變分法(1)泛函的概念函數(shù)：對(duì)于變量x的某一變域中的每一個(gè)值，y都有一個(gè)值與之相對(duì)應(yīng)，那么變量y稱作變量x的函數(shù)。記為： y=f (x)x稱為函數(shù)的自變量自變量的微分：dx=x-x0 （增量足夠小時(shí)）泛函：對(duì)于某一類函數(shù)y()中的每一個(gè)函數(shù)y(x)，變量j都有一個(gè)值與之相對(duì)應(yīng)，那么變量j稱作依賴于函數(shù)y(x)的泛函。記為： j=j y(x)y(x)稱為泛函的宗量宗量的變分：)()(0 xyxyy例1-1問(wèn)題的本質(zhì)：泛函極值第1章 最優(yōu)控制中的變分法泛函的連續(xù)性： 對(duì)任意給定的正數(shù)，總存在另一個(gè)正數(shù)，當(dāng) 則稱泛函j

3、y(x)在點(diǎn)y0(x)處是連續(xù)的。兩個(gè)函數(shù)接近度的概念：k階接近度時(shí),.)()(,.,)()(,)()()(0)(00 xyxyxyxyxyxykk)()(0 xyjxyj零階接近度一階接近度第1章 最優(yōu)控制中的變分法線性泛函： 泛函jy(x)如果滿足下列兩個(gè)條件： )()()()() 12121xyjxyjxyxyj)()()2xycjxcyj 則稱為線性泛函。 第1章 最優(yōu)控制中的變分法(2)泛函的變分設(shè)泛函jy(x)為連續(xù)泛函，則泛函增量的線性主部稱為泛函的變分：記為： j。 可以證明，泛函的變分是唯一的。如何求解泛函的變分？ 借鑒函數(shù)f(x)微分的求解：)51 ()()()()(00

4、xdfdxxfdxdxxfdxxfx 與（1-5）類似，可得出泛函jy(x) 的求解： )61 ()()()(0 xyxyjxyj第1章 最優(yōu)控制中的變分法例：求下列泛函的變分例：求下列泛函的變分 fttdttxj0)(2dttxtxdttxtxtxdttxtxtxtxjjffftttttt)()(2|)()()( 2|)()(|)()(0000020第1章 最優(yōu)控制中的變分法(3)泛函的極值泛函極值的定義： 對(duì)于與y0(x)接近的曲線y(x)，泛函jy(x) 的增量 則泛函jy(x) 在曲線y0(x)上達(dá)到極值。0)()(0)()(00 xyjxyjjxyjxyjj或泛函極值定理： 若可微泛

5、函jy(x)在y0(x)上達(dá)到極值，則在y= y0(x)上的變分為零。即)71 (0j第1章 最優(yōu)控制中的變分法證明如下：根據(jù)函數(shù)極值的條件，函數(shù)()在=0時(shí)達(dá)到極值的必要條件為：)91 ()()()()(0000ddxyxyjxyj)81 ()()()(00 xyxyj)101 (0)(0dd比較（1-9）和（1-10），可見：)111 (0)(0 xyj第1章 最優(yōu)控制中的變分法1.2 無(wú)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題1端點(diǎn)固定的情況 了解泛函極值的概念后，再來(lái)研究最速降線問(wèn)題。其目標(biāo)函數(shù)為： 不失一般性，可寫為：)121 ()(),(,0fxdxxyxyxlj)131 ()(),(,0fttdtt

6、xtxtlj問(wèn)題為：確定一個(gè)函數(shù)x(t)，使jx(t) 達(dá)到極?。ù螅┲?。這條能使泛函jx(t) 達(dá)到極值的曲線稱為極值曲線（軌線），記作： x*(t)對(duì)于端點(diǎn)固定的情況，容許軌線x(t)應(yīng)滿足下列邊界條件：)141 ()()(00ffxtxxtx對(duì)（1-13）求取泛函極值的思路：求取泛函的變分（通過(guò)泰勒展開，求取泛函增量的線性主部，）第1章 最優(yōu)控制中的變分法容許軌線是由極值曲線微小攝動(dòng)而成，即)151 ()()()(*ttxtx)161 (0)()(0ftt將（1-15）式代入（1-13）)191 (),()(),()()(0*fttdttttxttxlj)201 ()()()()()()

7、(00*ffttttdtldtrttxlttxlljjj)181 (),(),(0*fttdtttxtxlj)171 ()()(ttx)211 (0fttdtxxlxxlj第1章 最優(yōu)控制中的變分法)211 (0fttdtxxlxxlj對(duì)式（1-21）中被積函數(shù)第二項(xiàng)分部積分(消去 ）)221 ()()(0000ffffttttttttxdtxldtdxldtxldtdxxxldtxxlj根據(jù)泛函極值的必要條件，可得歐拉方程)231 (00)(xxldtdlxldtdxl或歐拉方程的展開形式：)241 (002222xlxlllxxlxxxlxtlxlxxxxx tx 或x 第1章 最優(yōu)控制中

8、的變分法歐拉方程的特殊形式（l不顯含t時(shí))261 (0)()()(22dtdxxldtdxltxtlxldtdxldtdx)251 (,xxll)271 (0 xlxldtd)281 ( cxlxl第1章 最優(yōu)控制中的變分法再來(lái)回顧最速降線問(wèn)題，其指標(biāo)函數(shù)為：gyyxyxylldxgyyxyjfx21)(),(21)(202代入（1-28）式：)291 ()1 (22122cygyyygyylyly整理、簡(jiǎn)化后可得若用參數(shù)法求解，令 ，可得這是圓滾線的參數(shù)方程。.21,12121gccycyctgy )cos1(2)sin(211cycx第1章 最優(yōu)控制中的變分法關(guān)于歐拉方程的幾點(diǎn)說(shuō)明：q 歐

9、拉方程是泛函極值的必要條件，是否充分還需進(jìn)一步判斷。 （參見p56 “泛函極值的充分條件勒蓋特條件）q歐拉方程是二階微分方程，只有在個(gè)別情況下才能得到封閉形式的解。（如最速降線問(wèn)題） 2端點(diǎn)變動(dòng)的情況 （例如，攔截問(wèn)題） 始點(diǎn)x0在曲線x=(x)上變動(dòng)終點(diǎn)xf在曲線x=(x)上變動(dòng)第1章 最優(yōu)控制中的變分法端點(diǎn)變動(dòng)時(shí)泛函極值的必要條件： （推導(dǎo)過(guò)程略） （1）歐拉方程 )301 (0)(xldtdxl（2）橫截條件 )311 (0)(ftxlxl)321 (0)(0txlxl)()()(00ffttxxtxftfxtxttx)()()(00第1章 最優(yōu)控制中的變分法x21 0 1 2 t例：確

10、定點(diǎn)例：確定點(diǎn)a(0,1)至給定直線至給定直線 的最短的曲線方程。的最短的曲線方程。tt 2)(解：由解：由a至至 的弧長(zhǎng)的弧長(zhǎng) 性能指標(biāo)為性能指標(biāo)為由歐拉方程：由歐拉方程：積分得，積分得， 再積分，得通解再積分，得通解 dtxdxdtds2221)()(dtxtxjft021)(0)1(2xxdtd,1,122accxcxxbattx)(根據(jù)始端條件：根據(jù)終端橫截條件，得最優(yōu)軌線方程：1, 1)0(bx101)1(1)(22axxxaxlxlftx1)(*ttx第1章 最優(yōu)控制中的變分法1.3 具有等式約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題 在最優(yōu)控制問(wèn)題中，泛函jx(t)所依賴的函數(shù)往往會(huì)受到定約束條件的限

11、制。在動(dòng)態(tài)最優(yōu)化問(wèn)題中，由于受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型往往用微分方程來(lái)描述，所以等式約束就是系統(tǒng)的狀態(tài)方程。 解決具有等式約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題的基本思路，就是應(yīng)用拉格朗日乘子法，將有約束條件的泛函極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條件的泛函極值問(wèn)題。1.微分約束ftffxtxxtxtttttutxfx)()(,)331 (),(),(000問(wèn)題：已知受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為目標(biāo)泛函為：)341 (),(),(0fttdtttutxlj求最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)從初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)， 其目標(biāo)函數(shù)j取極值。（兩點(diǎn)邊值問(wèn)題）第1章 最優(yōu)控制中的變分法 這里，為了將有約束條件的泛函極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為無(wú)約束條

12、件的泛函極值問(wèn)題，可應(yīng)用拉格朗日乘子法。為此，引入待定的n維拉格朗日乘子向量(t)，即)351 ()()()()(21tntttt構(gòu)造一個(gè)新的輔助泛函：)361 ()(),(),()(),(),(0ftttdttxttutxftttutxlj定義哈密爾頓(hamilton)函數(shù)h： （將 分離出去）)371 (),(),()(),(),(),(),(),(ttutxftttutxltttutxht代入（1-36）式fftttttdttttutxtxfdtxhj00),(),(),(),()381 ()(tx 第1章 最優(yōu)控制中的變分法 多元輔助泛函j的歐拉方程為：fftttttdttttutx

13、txfdtxhj00),(),(),(),()381 ()391 (00 xhxfdtdxf)401 (0fxhfdtdf)411 (00uhufdtduf協(xié)態(tài)方程狀態(tài)方程控制方程正則方程組 根據(jù)上述三個(gè)方程，加上邊界條件，可得最優(yōu)控制問(wèn)題的唯一確定解 思考： ， 給定， 自由時(shí)的情況。00)(xtx)(ftxft第1章 最優(yōu)控制中的變分法2.端點(diǎn)等式約束（等式約束的更一般形式)0),()()421 (,),(),(000fffttxxtxtttttutxfx問(wèn)題：已知受控系統(tǒng)狀態(tài)方程為目標(biāo)泛函為：)431 (),(),(),(0fttffdtttutxlttxj求最優(yōu)控制u*(t)，使系統(tǒng)從

14、初始狀態(tài)x(t0)轉(zhuǎn)移到終端狀態(tài)x(tf)， 其目標(biāo)函數(shù)j 取極值。根據(jù)一個(gè)微分約束，一個(gè)端點(diǎn)約束，共需引入2個(gè)拉格朗日乘子向量，構(gòu)成新的輔助目標(biāo)泛函：第1章 最優(yōu)控制中的變分法)441 ()(),(),(0ftttfftffdtxflttxvttxj用分部積分法消去極值的必要條件是一階變分為零)(tx ffftttttttttdttxtxdttx000)()()()451 ()()(),(),(),()()()()(),(),(000fttttfftfftffdttxtttuttxhtxttxtttxvttxj0)()461 ()()(0dtuhuxhxxvxtdxxhxttvtdtujux

15、jxtxjtdxtjdtjtttttttfttftftffttttffttfffffff第1章 最優(yōu)控制中的變分法)481 ( xh)471 (,tuxfhx)491 (0uh（2）協(xié)態(tài)方程（1）狀態(tài)方程（3）控制方程 （極值條件）（4）端點(diǎn)約束)491 (0),()481 ()(00ffttxxtx泛函極值必要條件為：取值的任意性，推知由uxtdxdtff,),(,（5）橫截條件)501 ()()()(vtxtxtftff)511 (0)(ftfftvtth思考：?/dtdh第1章 最優(yōu)控制中的變分法1.4 應(yīng)用變分法求解最優(yōu)控制問(wèn)題 用變分法求解連續(xù)系統(tǒng)最優(yōu)控制問(wèn)題，實(shí)際上就是具有等式約束

16、條件的泛函極值問(wèn)題，只要把受控系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型看成是最優(yōu)軌線x(t) 應(yīng)滿足的等式約束條件即可。1.變分法中的三類基本問(wèn)題)521 (),(),(ttutxfx 受控系統(tǒng)狀態(tài)方程目標(biāo)泛函為：)531 (),(),(0fttdtttutxlj拉格朗日(lagrange)問(wèn)題：梅耶（mayer)問(wèn)題：)541 (),(),(0fttttutxj波爾扎（bolza)問(wèn)題：)551 (),(),(),(),(00ffttttttutxlttutxj第1章 最優(yōu)控制中的變分法2.變分法應(yīng)用示例已知系統(tǒng)狀態(tài)方程) 1 (100010uxx邊界條件為：)2(0)0()0()0(021xxx) 3(00)()(

17、)(12111txtxtx性能指標(biāo)為：)4(,)(211021給定tdttujt1）寫出h函數(shù)uxuuxuflht2212221221)5(212）由控制方程推導(dǎo)u的表達(dá)式22)6(0uuuh解:3）求解協(xié)態(tài)方程2121211121)7(0ctcctcxh第1章 最優(yōu)控制中的變分法4）求解狀態(tài)方程5）利用邊界條件求解c c21221ctcuxxx)5(2161)4(21432231132212ctctctcxctctcx6）寫出最優(yōu)控制)將代入j求出最優(yōu)性能指標(biāo)j 8)寫出最優(yōu)軌線)(),(2*1*txtx解畢！上例中當(dāng)存在端點(diǎn)約束時(shí)，如)2(0)0()0()0(021xxx) 3(0)()(

18、)(12111自由txtxtx求解步驟1)-4)相同，5）中所需邊界條件的變動(dòng)為：及橫截條件)(),0(),0(1121txxx0)()()(121212vtxtxtt*橫截條件用于補(bǔ)充所缺邊界條件第1章 最優(yōu)控制中的變分法作業(yè)作業(yè)1。系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：。系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：初態(tài)初態(tài) 。欲使系統(tǒng)從初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集。欲使系統(tǒng)從初態(tài)轉(zhuǎn)移到目標(biāo)集且使性能指標(biāo)且使性能指標(biāo)為最小的最優(yōu)控制為最小的最優(yōu)控制 及最優(yōu)軌線及最優(yōu)軌線 。uxx1000100)0(, 0)0(21xx1) 1 () 1 (21 xx10221dtuj)(*tu)(),(*2*1txtx第1章 最優(yōu)控制中的變分法第1章 要點(diǎn)q 無(wú)約束條件下泛函極值必要條件（歐拉方程，橫截條件）q微分型和端點(diǎn)等式約束下泛函極值必要條件（波爾扎問(wèn)題的解）tf目標(biāo)集目標(biāo)集( (t tf f) )h固定固定未知未知自由自由固定固定未知未知自由自由未知未知固定固定自由自由橫截條件橫截條件等式約束條件下的極值條件必要條件一覽表等式約束條件下的極值條件