第四節(jié)無(wú)窮小量的比較

1、第一章函數(shù)極限連續(xù)第一章函數(shù)極限連續(xù)第四節(jié)無(wú)窮小量的比較第四節(jié)無(wú)窮小量的比較定義定義設(shè)設(shè) ( x ) 和和 b b ( ( x ) 為為( ( x x0 或或 x ) ) 兩兩個(gè)無(wú)窮小量個(gè)無(wú)窮小量. 若它們的比有非零極限若它們的比有非零極限，cxx )()(limb b ， )0( c 若若 c = 1，則稱(chēng)則稱(chēng) ( x ) 和和 b b ( (x ) 為等價(jià)無(wú)窮小量為等價(jià)無(wú)窮小量，則稱(chēng)則稱(chēng) (x ) 和和 b b ( (x ) 為同階無(wú)窮小為同階無(wú)窮小. 并記為并記為 ( x ) b b ( ( x )，( ( x x0 或或 x ) ) .即即例如，在例如，在 x 0 時(shí)時(shí) sin x 和

2、和 5 x 都是無(wú)窮小量，都是無(wú)窮小量，且且.515sinlim0 xxx所以當(dāng)所以當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)，sin x 和和 5 x 是同階無(wú)窮小量是同階無(wú)窮小量.又如，因?yàn)樵谟秩?，因?yàn)樵?x 0 時(shí)，時(shí)， x ，sin x，tan x， 1 - - cos x，ln(1 + + x) 等都是無(wú)窮小量等都是無(wú)窮小量., 1sinlim0 xxx, 1tanlim0 xxx, 121cos1lim20 xxx. 1)1ln(lim0 xxx所以，當(dāng)所以，當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)， x 與與 sin x， x 與與 tan x，都是等價(jià)無(wú)窮小量，都是等價(jià)無(wú)窮小量，),cos1(212xx 與與x sin x

3、，x tan x，ln(1 + x) x.,2cos12xx 即即x 與與 ln(1 + x )并且并且定義定義設(shè)設(shè) ( x ) 和和 b b ( (x ) 為為 x x0 ( (或或 x ) ) 時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量，0)()(lim xxb b 則稱(chēng)當(dāng)則稱(chēng)當(dāng) x x0 ( (或或 x ) )時(shí)時(shí)， ( x ) 是是 b b ( ( x ) 的的高高階無(wú)窮小量階無(wú)窮小量，例如，例如， x2, sin x 都是都是 x 0 時(shí)的無(wú)窮小量時(shí)的無(wú)窮小量, 且且， 0sinlim20 xxx所以，當(dāng)所以，當(dāng) x 0 時(shí)，時(shí)， x2 是是 sin x 的高階無(wú)窮小量，的高階無(wú)窮小量，即即 x2 =

4、 o(sin x). 或稱(chēng)或稱(chēng) b b ( ( x ) 是是 ( x ) 的的低階無(wú)窮小低階無(wú)窮小量量，記為記為 ( x ) = o (b b ( ( x ) .若它們的比的極限為零若它們的比的極限為零，即即 定理定理 1設(shè)設(shè) ( x ) 1 1( ( x )，b b ( x ) b b1 1( ( x )，)()(lim)()(lim11xxxxb b b b . )()(lim xxb b 或或)()(lim11xxb b 且且存在存在( (或無(wú)窮大量或無(wú)窮大量) )，)()(lim xxb b 則則也存在或也存在或( (無(wú)窮大量無(wú)窮大量) )，并且并且，和和1)()(lim 1)()(l

5、im11 xxxxb bb b 證證 由定理?xiàng)l件可知由定理?xiàng)l件可知因此有因此有 )()()()()()(lim)()(lim1111xxxxxxxxb bb bb b b b )()(lim)()(lim)()(lim1111xxxxxxb bb bb b .)()(lim11xxb b ，那么考慮，那么考慮若若0)()(lim )()(lim1111 xxxx b bb b 即可仿上面的證法即可仿上面的證法 .1e)1ln(lim0 xxx計(jì)算計(jì)算例例 1解解因?yàn)橐驗(yàn)?x 0 時(shí)，時(shí)，ln (1 + x) x， ex - - 1 x，所以所以.1lim1e)1ln(lim00 xxxxxx.35tanlim0 xxx計(jì)算計(jì)算例例 2解解因?yàn)橐驗(yàn)?x 0 時(shí)，時(shí)，tan 5x 5x，所以所以.3535lim35tanlim00 xxxxxx.sinsintanlim 30 xxxx 計(jì)算計(jì)算例例 4解解.sincoscos1sinlimsinsintanlim3030 xxxxxxxxx xxxxx200sincos1limcos1lim .2121lim1220 xxx若直接用若直接用 x 代替代替 tanx 及及 sinx，. 0limsinsintanlim3030 xxxxxxxx因?yàn)?，雖然因?yàn)?，雖然 tan