空間直線的方程

1、復(fù)習(xí)2 平面與點(diǎn)的相關(guān)位置平面與點(diǎn)的相關(guān)位置1.平面與點(diǎn)的相關(guān)位置2. 點(diǎn)到平面的距離3 兩平面的相關(guān)位置兩平面的相關(guān)位置1.兩平面的相關(guān)位置2. 兩平面的交角(垂直)3.兩平行平面的距離4 空間直線的方程空間直線的方程00pvpvll 在空間給定一點(diǎn) 與一個(gè)非零向量 ,則通過點(diǎn) 且與向量 平行的直線 就唯一確定.與直線平行的任意一個(gè)非零向量都稱為直線的方向向量,簡稱為方向矢.1.直線的參數(shù)方程4.1直線方程的各種形式0000, ,lp xyzvx y zl 已知直線 通過點(diǎn),方向向量為下面我們來推導(dǎo)直線 的方程:oxyz0ppv0rrl00rrtvrrtvlt 或 稱為直線 的向量式參數(shù)方程

2、,其中 為參數(shù).000, , ,x y zxyzt x y z用向量的坐標(biāo)可以將上式表示成 l稱為直線 的坐標(biāo)式參數(shù)方程.000 xxxtyyytzzzt即 222, ,0,lvx y zlxyz說明:(1)方向數(shù) 直線 的方向向量 的坐標(biāo)稱為直線 的方向數(shù),且 :;x y z常用來表示直線的方向數(shù)cos ,cos,cos;lv (2)方向角與方向余弦 直線 的方向向量 的方向角 , , 與方向余弦分別稱為直線的方向角與方向余弦0000001, ttppvrrp ptvvvltpptrrp p(3) 的幾何意義 參數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn) 到定點(diǎn)的距離與方向矢 的長度的比值, 特別地當(dāng)時(shí) 正好等于直線 上

3、參數(shù) 對應(yīng)的點(diǎn) 到定點(diǎn) 的距離.0. 1, 2,12210.lpxyzl 例1 已知直線 通過點(diǎn),且垂直于平面 :,求直線 的參數(shù)方程與方向余弦00000000, , ,p xyzvx y zlp x y zlp pvxxyyzzxyz 對于由點(diǎn)與方向向量 =確定的直線 點(diǎn)在直線 上的充要條件是,即 稱為直線的標(biāo)準(zhǔn)方程 或稱為對稱式方程.2.直線的標(biāo)準(zhǔn)方程直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)0000000x,y,zxxyyzzyz注: :, ,當(dāng)當(dāng)方方向向向向量量的的某某個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)為為零零時(shí)時(shí)，比比如如時(shí)時(shí)，方方程程仍仍然然寫寫為為00000000x,y,zxxyyzzz當(dāng)當(dāng)方方向向向向量量的的

4、某某兩兩個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)為為零零時(shí)時(shí)，比比如如時(shí)時(shí)，方方程程也也仍仍然然寫寫為為, ,0000 xxyyzzyz此此時(shí)時(shí)理理解解為為二二平平面面的的交交線線( (考考慮慮其其幾幾何何意意義義) )理理解解為為交交線線 0000yyxx11112222. ,.p x y zp xyzl例2 求通過兩點(diǎn)和的直線 的方程111212121xxyyzzxxyyzz 稱為直線的兩點(diǎn)式方程.0. 2, 1,01:0:1,.lpll例3 已知直線 通過點(diǎn), 的方向數(shù)為求直線 的標(biāo)準(zhǔn)方程21101xyz 3.直線的一般式方程 空間直線可以看作兩平面的交線，因此空間直線的方程可以由通過它的兩個(gè)平面的方程所組成的方程

5、組來表示。xyzo12l111112222211112222111222 :0 :00 0:laxb yc zda xb yc zdlaxb yc zda xb yc zdabcabcl 設(shè)通過直線 的兩個(gè)相異平面為則直線 的方程可表示成其中此方程稱為空間直線 的一般式方程.121111222212121211111112222222, ,0, ,lna b cna b cnnln lnlnnlbccaabvnnbccaab 由于平面與相交成直線 因此它們的法向量不共線,即 ,又因?yàn)?,所以 即上述直線方程所表示的直線 的一個(gè)方向向量為00210. ,10.xyzlxzll 例4 已知直線 :

6、求通過原點(diǎn)且與直線 平行的直線 的標(biāo)準(zhǔn)方程1212. 1,1,12,3,4.ppppzxoyl例5 已知兩點(diǎn),求通過直線且平行于 軸的平面 與坐標(biāo)面的交線的方程4.直線的射影式方程111222333,0 00,lozoxoyxoy yoz zoxa xb yca yb zca xb zclxoy yozzox 設(shè)通過直線 分別平行或通過軸軸軸,也就是分別垂直于坐標(biāo)面的三個(gè)平面的方程為 則上述平面分別稱為直線 對坐標(biāo)面的射影平面.1112220 ()0llla xb yca yb zc 因?yàn)橹本€ 的一般式方程可由通過 的任意兩個(gè)平面的方程聯(lián)立組成,因此直線 的方程也可由它的三個(gè)射影平面的方程中任

7、取兩個(gè)不同的方程聯(lián)立組成,例如 不重合這種由直線的兩射影平面的方程聯(lián)立組成的直線方程稱為直線的射影式方程., ,x y z直線的射影式方程是一般式方程的特殊形式射影式方程的特點(diǎn)是方程中關(guān)于變數(shù)缺少其中一個(gè)或兩個(gè)變數(shù). 121102.lxyzl例6 已知直線 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 求直線 對三個(gè)坐標(biāo)面的射影平面的方程小結(jié)點(diǎn)向式1 1直線的方程直線的方程1.直線的參數(shù)方程(向量式、坐標(biāo)式)2.直線的標(biāo)準(zhǔn)方程(對稱式)(兩點(diǎn)式)3.直線的一般式方程4.直線的射影式方程(特殊的一般式)練習(xí)p88 1（1）（2），5（2）作業(yè)p88 1（3）（4）復(fù)習(xí)1 1直線的方程直線的方程1.直線的參數(shù)方程(向量式、坐標(biāo)式

8、)2.直線的標(biāo)準(zhǔn)方程(對稱式)(兩點(diǎn)式)3.直線的一般式方程4.直線的射影式方程(特殊的一般式)點(diǎn)向式1.參數(shù)方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化4.2各式直線方程的互化l直線 的參數(shù)方程:000 xxxtyyytzzzt000 tlxxyyzzxyz消去參數(shù) 即可得直線 的標(biāo)準(zhǔn)方程:t 反過來,令標(biāo)準(zhǔn)方程中的公比為 ,即可改寫成參數(shù)方程. 121210.lxyz例7 化直線 的標(biāo)準(zhǔn)方程: 為參數(shù)方程2.標(biāo)準(zhǔn)方程與一般式方程的互化0000, ,0,lx y zzlxxzzxzyyzzyz 對于直線 的標(biāo)準(zhǔn)方程,因其中分母即直線的方向數(shù)不全為零,不防設(shè)則標(biāo)準(zhǔn)方程即可改寫得直線 的射影式方程即特殊形式的一般方程為

9、: 1111222200000000001111122220 0,laxb yc zda xb yc zdlvxyzlpxyzlxxyyzzbccaabcca 反過來,要將直線 的一般式方程:化為標(biāo)準(zhǔn)方程,只要應(yīng)用直線方向向量公式求出直線 的方向向量 ,再任取一般式方程的一個(gè)特解,即取得直線 上一點(diǎn),從而便可得到直線 的標(biāo)準(zhǔn)方程為: 122bab. 234020.lxyzxyz例8 將直線 的一般式方程: 化為標(biāo)準(zhǔn)方程3.一般式方程與射影式方程的互化1221,0,lvvx yaba bxyl 反過來,因直線 的方向向量 的三個(gè)坐標(biāo)不全為零,不防設(shè) 的第三個(gè)坐標(biāo)即一般方程中的系數(shù)行列式則可由一般式方程分別消去 和 即可得到兩個(gè)射影平面的方程,將它們聯(lián)立即得直線 的射影式方程為: 射影式方程本身就是特殊形式的一般式方程。11122200a yb zca xb zc. 2210240.lxyzxyz 例9 將直線 的一般式方程: 化為射影式方程 關(guān)于直線方程的四種形式即參數(shù)式、標(biāo)準(zhǔn)式、一般式、射影式之間的互化，掌握上述三對形式的互化方法以后，其它三對形式的之間可以通過某中間形式過渡轉(zhuǎn)化，或是靈活運(yùn)用上述思想方法直接互化。. 350210.lxyxzl 例10 已知