空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系,高考歷年真題

1、溫馨提示：高考題庫為Word版，請按住Ctrl，滑動鼠標滾軸，調(diào)節(jié)合適的觀看比例，點擊右上角的關(guān)閉按鈕可返回目錄。【考點23】空間點、直線、平面之間的位置關(guān)系2009年考題1.（2009浙江高考）在三棱柱中，各棱長相等，側(cè)棱垂直于底面，點是側(cè)面的中心，則與平面所成角的大小是 ( )A B C D 【解析】選C.取BC的中點E，則面，因此與平面所成角即為，設(shè)，則，即有2.（2009重慶高考）已知二面角的大小為，為空間中任意一點，則過點且與平面和平面所成的角都是的直線的條數(shù)為（ ）wA2B3 C4D5 【解析】選B.過點P作與，都成的直線，其中在銳二面角中有一條這樣的直線，在鈍二面角中有兩條這樣的

2、直線，所以共有三條直線與，都成角。3.（2009全國）已知正四棱柱中，為中點，則異面直線與所成的角的余弦值為（ ）A. B. C. D. 【解析】選C.令則,連 異面直線與所成的角即與所成的角。在中由余弦定理易得.4.（2009江西高考）如圖，在四面體中，截面是正方形，則在下列命題中，錯誤的為（ ）. . 截面 . . 異面直線與所成的角為【解析】選.由，可得，故正確；由可得截面，故正確； 異面直線與所成的角等于與所成的角，故正確；綜上是錯誤的.5.（2009四川高考）如圖，已知六棱錐的底面是正六邊形，則下列結(jié)論正確的是（ ）. .平面 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m C. 直線平面

3、.【解析】選D.方法一：由三垂線定理，因AD與AB不相互垂直，排除A；作于，因面面ABCDEF，而AG在面ABCDEF上的射影在AB上，而AB與BC不相互垂直，故排除B；由，而EF是平面PAE的斜線，故排除C，故選擇D。方法二：設(shè)底面正六邊形邊長為，則，由平面可知，又=，所以在中有直線與平面所成的角為，故應(yīng)選D。6.（2009上海高考）如圖，若正四棱柱的底面邊長為2，高為4，則異面直線與AD所成角的大小是_（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.【解析】因為ADA1D1，異面直線BD1與AD所成角就是BD1與A1D1所成角，即A1D1B，由勾股定理，得A1B2，tanA1D1B，所以A1D1B。答案: 7.

4、（2009四川高考）如圖，已知正三棱柱的各條棱長都相等，是側(cè)棱的中點，則異面直線所成的角的大小是 。 邊【解析】方法一：不妨設(shè)棱長為2，選擇基向量，則，故填寫。方法二：取BC中點N，連結(jié)，則面，是在面上的射影，由幾何知識知，由三垂線定理得，故填寫。答案: .8.（2009上海高考）如圖，在直三棱柱中，,求二面角的大小。 【解析】如圖，建立空間直角坐標系則A（2，0，0）、C（0，2，0） A1（2，0，2），B1（0，0，2） 、C1（0，2，2） 2分設(shè)AC的中點為M，BMAC, BMC C1;BM平面A1C1C,即=(1,1,0)是平面A1C1C的一個法向量。5分設(shè)平面的一個法向量是 =（

5、-2，2，-2）， =（-2，0，0） 7分設(shè)法向量的夾角為，二面角的大小為，顯然為銳角.14分 9.（2009福建高考）如圖，平行四邊形中，將沿折起到的位置，使平面平面 （I）求證： w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （）求三棱錐的側(cè)面積?！窘馕觥浚↖）證明：在中， 又平面平面 平面平面平面 平面 平面（）由（I）知從而 在中， 又平面平面 平面平面平面 而平面 綜上，三棱錐的側(cè)面積10.（2009天津高考）如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A 平面ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=AD (I) 求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II)

6、證明平面AMD平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【解析】方法一：（）由題設(shè)知，BF/CE，所以CED（或其補角）為異面直線BF與DE所成的角。設(shè)P為AD的中點，連結(jié)EP，PC。因為FEAP，所以FAEP，同理ABPC。又FA平面ABCD，所以EP平面ABCD。而PC，AD都在平面ABCD內(nèi),故EPPC，EPAD。由ABAD，可得PCAD設(shè)FA=a，則EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=，故CED=60°。所以異面直線BF與DE所成的角的大小為60° （II）因為（III）（III）由（I）可得， w.w.w.k.

7、s.5.u.c.o.m 方法二：如圖所示，建立空間直角坐標系，點為坐標原點。設(shè)依題意得 （I） w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以異面直線與所成的角的大小為.（II） ， w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （III） w又由題設(shè)，平面的一個法向量為 11.（2009全國）如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，點M在側(cè)棱上，=60°（I）證明：M在側(cè)棱的中點（II）求二面角的大小?！窘馕觥浚↖）方法一：作交于N，作交于E，連ME、NB，則面，,設(shè)，則,在中，。在中由解得，從而 M為側(cè)棱的中點M. 12.（2009福建高考）如圖，四邊形ABCD是邊長為1的正方形，且MD=NB

8、=1，E為BC的中點（1） 求異面直線NE與AM所成角的余弦值（2） 在線段AN上是否存在點S，使得ES平面AMN？若存在，求線段AS的長；若不存在，請說明理由.【解析】（1）在如圖，以D為坐標原點，建立空間直角坐標系依題意，得。，所以異面直線與所成角的余弦值為.（2）假設(shè)在線段上存在點，使得平面.,可設(shè)又.由平面，得即故，此時.經(jīng)檢驗，當時，平面.故線段上存在點，使得平面，此時.2008年考題ABCDA1B1C1D11、（2008福建高考）如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2,AA1=1,則BC1與平面BB1D1D所成角的余弦值為（ ）A.B. C. D. ABCDA1

9、B1C1D1O【解析】選D.連與交于O點,再連BO,則為BC1與平面BB1D1D所成的角.，.ABCDA1B1C1D12、（2008福建高考）如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，則AC1與平面A1B1C1D1所成角的正弦值為（ ）ABCD【解析】選D.連,則為AC1與平面A1B1C1D1所成角ABCDA1B1C1D1，又ABCDP3、（2008海南、寧夏高考）如圖，已知點P在正方體的對角線上，（）求DP與所成角的大小；（）求DP與平面所成角的大小【解析】如圖，以為原點，為單位長建立空間直角坐標系A(chǔ)BCDPxyzH則，連結(jié)，在平面中，延長交于設(shè)，由已知，由可得解得，所

10、以（）因為，所以即與所成的角為（）平面的一個法向量是因為， 所以可得與平面所成的角為FCPGEABD4、（2008廣東高考）如圖所示，四棱錐的底面是半徑為的圓的內(nèi)接四邊形，其中是圓的直徑，垂直底面，分別是上的點，且，過點作的平行線交于（1）求與平面所成角的正弦值；（2）證明：是直角三角形；（3）當時，求的面積【解析】（1）在中，而PD垂直底面ABCD，,在中，,即為以為直角的直角三角形。設(shè)點到面的距離為,由有,即，;(2),而,即,，,是直角三角形；（3）時,即,的面積5、（2008浙江高考）如圖,矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，（）求證：平面；（）當?shù)拈L為何值時,二面角的大小為.

11、【解析】（）過點作交于，連結(jié)，可得四邊形為矩形，又為矩形，所以，從而四邊形為平行四邊形，故因為平面，平面，所以平面（）過點作交的延長線于，連結(jié)由平面平面，得平面，從而所以為二面角的平面角DABEFCHG在中，因為，所以，又因為，所以，從而于是因為，所以當為時，二面角的大小為6、（2008陜西高考）三棱錐被平行于底面的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為，平面，A1AC1B1BDC（）證明：平面平面；（）求二面角的大小【解析】（）平面平面，在中，又，即A1AC1B1BDCFE（）又，平面，平面，平面平面（）如圖，作交于點，連接，由已知得平面是在面內(nèi)的射影由三垂線定理知，為二面角的平面角過作交于點，

12、則，在中，在中，即二面角大小為ABCDEA1B1C1D17、（2008全國）如圖，正四棱柱中，點在上且（）證明：平面；（）求二面角的大小【解析】依題設(shè)，（）連結(jié)交于點，則由三垂線定理知ABCDEA1B1C1D1FHG在平面內(nèi)，連結(jié)交于點，由于，故，與互余于是與平面內(nèi)兩條相交直線都垂直，所以平面（）作，垂足為，連結(jié)由三垂線定理知，故是二面角的平面角，又，又，所以二面角的大小為2007年考題1（2007全國）如圖，正棱柱中，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）A B C D【解析】選D。如圖，連接BC1，A1C1，A1BC1是異面直線與所成的角，設(shè)AB=a，AA1=2a， A1B=C1B=a，A1C

13、1=a，A1BC1的余弦值為.2.（2007全國）已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，則AB1與側(cè)面ACC1A1與AB1所成角的正弦值等于（ ）(A) (B) (C) (D) 【解析】選A。已知正三棱柱ABCA1B1C1的側(cè)棱長與底面邊長相等，取A1C1的中點D1，連接B1D，AD1，則B1AD1是AB1與側(cè)面ACC1A1所成的角，. 3.（2007全國）已知三棱錐是側(cè)棱長的底面邊長的2倍，則側(cè)棱與底面所成角的余弦值等于（ ）ABCD【解析】選A。已知三棱錐的側(cè)棱長是底面邊長的2倍，設(shè)底面邊長為1，側(cè)棱長為2，連接頂點與底面中心，則側(cè)棱在底面上的射影長為，所以側(cè)棱與底面所成角

14、的余弦值等于.4.（2007福建高考）如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H分別為AA1、AB、BB1、B1C1的中點，則異面直線EF與GH所成的角等于（ ）A.45°B.60° C.90°D.120°【解析】選B.連A1B、BC1、A1C1，則A1B=BC1=A1C1，且EFA1B、GHBC1，所以異面直線EF與GH所成的角等于60°.5.（2007四川高考）如圖，為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）（A）平面（B）（C）平面（D）異面直線與所成的角為【解析】選D顯然異面直線與所成的角為。6.（2007浙江高考）已知點在二面角的

15、棱上，點在內(nèi)，且若對于內(nèi)異于的任意一點，都有，則二面角的大小是【解析】設(shè)直線OP與平面所成的角為,由最小角原理及恒成立知,只有作于H, 則面,故為.答案：7.(2007浙江高考)已知點O在二面角AB的棱上，點P在內(nèi)，且POB45°若對于內(nèi)異于O的任意一點Q，都有POQ45°，則二面角AB的取值范圍是_【解析】若二面角AB的大小為銳角，則過點P向平面作垂線,設(shè)垂足為H.過H作AB的垂線交于C,連PC、CH、OH，則就是所求二面角的平面角. 根據(jù)題意得，由于對于內(nèi)異于O的任意一點Q，都有POQ45°，設(shè)PO=，則又POB45°，OC=PC=，PCPH而在中應(yīng)

16、有PC>PH ,顯然矛盾，故二面角AB的大小不可能為銳角。即二面角的范圍是。若二面角AB的大小為直角或鈍角，則由于POB45°，結(jié)合圖形容易判斷對于內(nèi)異于O的任意一點Q，都有POQ45°。即二面角的范圍是。答案： 8.（2007海南、寧夏高考）如圖，在三棱錐中，側(cè)面與側(cè)面均為等邊三角形，為中點（）證明：平面；（）求二面角的余弦值【解析】（）證明：由題設(shè)，連結(jié)，為等腰直角三角形，所以，且，又為等腰三角形，故，且，從而所以為直角三角形，又所以平面（）解法一：取中點，連結(jié)，由（）知，得為二面角的平面角由得平面所以，又，故所以二面角的余弦值為解法二：以為坐標原點，射線分別為軸

17、、軸,軸的正半軸，建立如圖的空間直角坐標系設(shè)，則的中點，故等于二面角的平面角，所以二面角的余弦值為9（2007全國）四棱錐SABCD中，底面ABCD為平行四邊形，側(cè)面SBC底面ABCD。已知ABC45°，AB2，BC=2，SASB。()證明：SABC；()求直線SD與平面SAB所成角的大??；【解析】解法一：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得底面因為，所以，又，故為等腰直角三角形，DBCAS由三垂線定理，得（）由（）知，依題設(shè)，故，由，得，的面積連結(jié)，得的面積設(shè)到平面的距離為，由于，得，解得設(shè)與平面所成角為，則所以，直線與平面所成的我為解法二：（）作，垂足為，連結(jié)，由側(cè)面底面，得平面

18、因為，所以又，為等腰直角三角形，DBCAS如圖，以為坐標原點，為軸正向，OB為y軸正向，OS為z軸正向，建立直角坐標系，所以（）取中點，連結(jié)，取中點，連結(jié)，與平面內(nèi)兩條相交直線，垂直所以平面，與的夾角記為，與平面所成的角記為，則與互余，所以，直線與平面所成的角為10.（2007全國）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD為正方形，側(cè)棱SD底面ABCD，E、F分別是AB、SC的中點。ABCDSEF()求證：EF平面SAD；()設(shè)SD = 2CD，求二面角AEFD的大?。弧窘馕觥拷夥ㄒ唬海?）作交于點，則為的中點連結(jié)，又，故為平行四邊形，又平面平面所以平面（2）不妨設(shè)，則為等腰直角三角形取中點，連結(jié)，則又平面，所以，而，AAEBCFSDGMyzx所以面取中點，連結(jié)，則連結(jié)，則故為二面角的平面角所以二面角的大小為解法二：（1）如圖，建立空間直角坐標系設(shè)，則，取的中點，則平面平面，所以平面（2）不妨設(shè)，則中點又，所以向量和的夾角等于二面角的平面角所以二面角的大小為11.（2