【人教A版】最新高中數(shù)學(xué)必修二：全冊作業(yè)與測評 課時提升作業(yè)(三十) 4.3.2

1、最新人教版數(shù)學(xué)精品教學(xué)資料課時提升作業(yè)(三十)空間兩點(diǎn)間的距離公式(15分鐘30分)一、選擇題(每小題4分,共12分)1.點(diǎn)p22,33,66到原點(diǎn)的距離為()a.306b. 1c.336d.356【解析】選b.|op|=0-222+0-332+0-662=1.【補(bǔ)償訓(xùn)練】1.已知a(1,2,3),b(3,3,m),c(0,-1,0),d(2,-1,-1),則()a.|ab|>|cd|b.|ab|<|cd|c.|ab|cd|d.|ab|cd|【解析】選d. |ab|=22+12+(m-3)2=5+(m-3)2,|cd|=22+02+(-1)2=5,又(m-3)20,所以|ab|cd

2、|.2.在空間直角坐標(biāo)系中,一定點(diǎn)到三個坐標(biāo)軸的距離都是1,則該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是()a.62b.3c.32d.63【解析】選a.設(shè)該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z),則有x2+y2=1,z2+y2=1,x2+z2=1,三式相加得2(x2+y2+z2)=3.所以該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為32=62.故選a.【延伸探究】本題若改為“一定點(diǎn)到三個坐標(biāo)軸的距離都是a,且該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離是62,則a的值為()a.3b.2c.1d.63【解析】選c.設(shè)該定點(diǎn)的坐標(biāo)為(x,y,z),則有x2+y2=a2,z2+y2=a2,x2+z2=a2,三式相加得2(x2+y2+z2)=3a2.由于該點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為62,解得a=1.

3、2.(2015·鄂州高一檢測)點(diǎn)a在z軸上,它到點(diǎn)(3,2,1)的距離是13,則點(diǎn)a的坐標(biāo)是()a.(0,0,-1)b.(0,1,1)c.(0,0,1)d.(0,0,13)【解析】選c.設(shè)a(0,0,c),則(0-3)2+(0-2)2+(c-1)2=13,解得c=1.所以點(diǎn)a的坐標(biāo)為(0,0,1).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a(2,5,-6),點(diǎn)p在y軸上,|pa|=7,則點(diǎn)p的坐標(biāo)是()a.(0,8,0)b.(0,2,0)c.(0,8,0)或(0,2,0)d.(0,-8,0)【解析】選c.點(diǎn)p在y軸上,可設(shè)為(0,y,0),因?yàn)閨pa|=7,a(2,5,-6),所以22+(y-5)2+62=

4、7,解得y=2或8.3.點(diǎn)b是過點(diǎn)a(1,2,3)作坐標(biāo)平面yoz垂線的垂足,則|ob|等于()a.14b.13c. 23d.11【解析】選b.由于點(diǎn)b是過點(diǎn)a(1,2,3)作坐標(biāo)平面yoz垂線的垂足,可得點(diǎn)b的坐標(biāo)是(0,2,3),故|ob|=02+22+32=13.【補(bǔ)償訓(xùn)練】設(shè)點(diǎn)m是點(diǎn)n(2,-3,5)關(guān)于坐標(biāo)平面xoy的對稱點(diǎn),則線段mn的長度等于().a.8b.9c.10d.10【解析】選d.點(diǎn)n關(guān)于坐標(biāo)平面xoy的對稱點(diǎn)m的坐標(biāo)是(2,-3,-5),故|mn|=10.二、填空題(每小題4分,共8分)4.(2015·溫州高一檢測)在abc中,已知a(-1,2,3),b(2,

5、-2,3),c12,52,3,則ab邊上的中線cd的長是.【解析】由題可知ab的中點(diǎn)d的坐標(biāo)是d12,0,3,由距離公式可得|cd|=12-122+52-02+(3-3)2=52.答案:52【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知三角形的三個頂點(diǎn)a(2,-1,4),b(3,2,-6),c(5,0,2).則過a點(diǎn)的中線長為;過b點(diǎn)的中線長為.【解析】由題意,bc的中點(diǎn)d(4,1,-2),ac的中點(diǎn)e72,-12,3,所以|ad|=(2-4)2+(-1-1)2+(4+2)2=211,be=3-722+2+122+(-6-3)2=5214.答案:21152145.(2015·嘉興高一檢測)在空間直角坐標(biāo)系中,已知

6、點(diǎn)a(1,0,2),b(1,-3,1),點(diǎn)m在y軸上,且點(diǎn)m到點(diǎn)a與到點(diǎn)b的距離相等,則m的坐標(biāo)是.【解析】設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(0,y,0),則(1-0)2+(0-y)2+(2-0)2=(1-0)2+(-3-y)2+(1-0)2,解得y=-1,所以點(diǎn)m的坐標(biāo)為(0,-1,0).答案:(0,-1,0).【延伸探究】本題中若將“點(diǎn)m在y軸上”改為“點(diǎn)m在z軸上”,其他條件不變,又如何求解?【解析】設(shè)點(diǎn)m的坐標(biāo)為(0,0,z),則(1-0)2+(0-0)2+(2-z)2=(1-0)2+(-3-0)2+(1-z)2,解得z=-3,所以點(diǎn)m的坐標(biāo)為(0,0,-3).答案:(0,0,-3).三、解答題6.(1

7、0分)(2015·東營高一檢測)已知點(diǎn)a(1,-2,11),b(4,2,3),c(6,-1,4),試判斷abc的形狀.【解題指南】利用空間兩點(diǎn)間的距離公式求出三角形邊長,利用三邊的關(guān)系來判斷其形狀.【解析】由題意得:|ab|=(4-1)2+(2+2)2+(3-11)2=89,|bc|=(6-4)2+(-1-2)2+(4-3)2=14,|ac|=(6-1)2+(-1+2)2+(4-11)2=75.因?yàn)閨bc|2+|ac|2=|ab|2,所以abc為直角三角形.【補(bǔ)償訓(xùn)練】長方體abcd-a1b1c1d1中,ab=bc=2,d1d=3,點(diǎn)m是b1c1的中點(diǎn),點(diǎn)n是ab的中點(diǎn).建立如圖所示

8、的空間直角坐標(biāo)系.(1)寫出點(diǎn)d,n,m的坐標(biāo).(2)求線段md,mn的長度.【解題指南】(1)d是原點(diǎn),先寫出a,b,b1,c1的坐標(biāo),再由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得m,n的坐標(biāo).(2)代入空間中兩點(diǎn)間距離公式即可.【解析】(1)因?yàn)閐是原點(diǎn),則d(0,0,0).由ab=bc=2,d1d=3,得a(2,0,0),b(2,2,0),c(0,2,0),b1(2,2,3),c1(0,2,3).因?yàn)閚是ab的中點(diǎn),所以n(2,1,0).同理可得m(1,2,3).(2)由兩點(diǎn)間距離公式得:|md|=(1-0)2+(2-0)2+(3-0)2=14,|mn|=(1-2)2+(2-1)2+(3-0)2=11.(15分鐘

9、30分)一、選擇題(每小題5分,共10分)1.(2015·合肥高一檢測)已知三點(diǎn)a(-1,0,1),b(2,4,3),c(5,8,5),則()a.三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形b.三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形c.三點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形d.三點(diǎn)構(gòu)不成三角形【解析】選d.因?yàn)閨ab|=29,|ac|=229,|bc|=29,而|ab|+|bc|=|ac|,所以三點(diǎn)a,b,c共線,構(gòu)不成三角形.2.在xoy平面內(nèi)的直線x+y=1上的點(diǎn)m,當(dāng)點(diǎn)m到點(diǎn)n(6,5,1)的距離最小時,m的坐標(biāo)為()a.(1,0,0)b.(0,1,0)c.(0,0,1)d.(1,1,0)【解題指南】設(shè)出m(x,1-x,0),利用空間兩點(diǎn)

10、間的距離公式轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值問題求解.【解析】選a.由已知,可設(shè)m(x,1-x,0),則|mn|=(x-6)2+(1-x-5)2+(0-1)2=2(x-1)2+51.所以當(dāng)x=1時,mn距離最小,此時m(1,0,0).【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知a(x,5-x,2x-1),b(1,x+2,2-x),當(dāng)|ab|取最小值時,x的值為()a.19b.-87c.87d.1914【解析】選c.|ab|=(x-1)2+(3-2x)2+(3x-3)2=14x2-32x+19,當(dāng)x=87時|ab|取得最小值.二、填空題(每小題5分,共10分)3.(2015·沈陽高一檢測)已知a(1-t,1-t,t),b(2

11、,t,t),則|ab|的最小值為.【解析】由兩點(diǎn)間的距離公式可得|ab|=(1-t-2)2+(1-t-t)2+(t-t)2=5t-152+95355.答案:3554.(2015·蘇州高一檢測)已知x,y,z滿足方程c:(x-3)2+(y-4)2+(z+5)2=2,則x2+y2+z2的最小值是.【解題指南】利用x2+y2+z2的幾何意義求解,即將x2+y2+z2可看成球面上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方.【解析】x2+y2+z2可看成球面上的點(diǎn)到原點(diǎn)距離的平方,其最小值為(32+42+(-5)2-2)2=(42)2=32.答案:32【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知球面(x-1)2+(y+2)2+(z-3)2=9

12、與點(diǎn)a(-3,2,5),則球面上的點(diǎn)與點(diǎn)a的距離的最大值和最小值各是.【解析】由題意知球心b的坐標(biāo)是(1,-2,3),球的半徑是3,又|ba|=(1+3)2+(-2-2)2+(3-5)2=6,所以所求最大值為9,最小值為3.答案:9,3三、解答題5.(10分)(2015·撫順高一檢測)如圖所示,建立空間直角坐標(biāo)系d-xyz,已知正方體abcd-a1b1c1d1的棱長為1,點(diǎn)p是正方體體對角線d1b的中點(diǎn),點(diǎn)q在棱cc1上.(1)當(dāng)2|c1q|=|qc|時,求|pq|.(2)當(dāng)點(diǎn)q在棱cc1上移動時,求|pq|的最小值.【解析】(1)由題意知點(diǎn)c1(0,1,1),點(diǎn)d1(0,0,1),

13、點(diǎn)c(0,1,0),點(diǎn)b(1,1,0),點(diǎn)p是體對角線d1b的中點(diǎn),則點(diǎn)p12,12,12.因?yàn)辄c(diǎn)q在棱cc1上,且2|c1q|=|qc|,所以點(diǎn)q的坐標(biāo)為0,1,23.由空間兩點(diǎn)的距離公式,得|pq|=12-02+12-12+12-232=1936=196.(2)當(dāng)點(diǎn)q在棱cc1上移動時,設(shè)點(diǎn)q(0,1,a),a0,1.由空間兩點(diǎn)的距離公式得|pq|=12-02+12-12+12-a2=a-122+12,故當(dāng)a=12時,|pq|取得最小值22,此時點(diǎn)q0,1,12.【補(bǔ)償訓(xùn)練】(2014·洛陽高一檢測)在空間直角坐標(biāo)系中,已知a(3,0,1),b(1,0,-3).(1)在y軸上是否存在點(diǎn)m,使ma=mb成立?(2)在y軸上是否存在點(diǎn)m,使mab為等邊三角形?若存在,求出點(diǎn)m的坐標(biāo);若不存在,說明理由.【解題指南】(1)先假設(shè)點(diǎn)m存在,然后利用兩點(diǎn)間距離公式作出判斷.(2)先假設(shè)點(diǎn)m存在,然后利用兩點(diǎn)間的距離公式及等邊三角形的三邊相等列方程求解.【解析】(1)假設(shè)在y軸上存在點(diǎn)m,滿足ma=mb,可設(shè)點(diǎn)m(0,y,0),則(3-0)2+(0-y)2+(1-0)2=(1-0)2+(0-y)2+(-3-0)2,由于上式對任意實(shí)數(shù)都成立,故y軸上的所有