0105極限運(yùn)算法則07826

1、一、無窮小運(yùn)算法則一、無窮小運(yùn)算法則第五節(jié)第五節(jié) 極限運(yùn)算法則極限運(yùn)算法則定理定理 1 在同一變化過程中在同一變化過程中, 有限個(gè)無窮小的和仍是無窮小有限個(gè)無窮小的和仍是無窮小.證證,時(shí)時(shí)的的兩兩個(gè)個(gè)無無窮窮小小是是當(dāng)當(dāng)及及設(shè)設(shè) x使得使得對于對于, 0, 0, 02, 021 xx ;2,1 恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx;2,2 恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx,max 21xxx 取取恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),xx 22 , ).(0 x 注意：注意：是無窮小，是無窮小，時(shí)時(shí)例如例如nn1, : .11不是無窮小不是無窮小之和為之和為個(gè)個(gè)但但nn無無窮多個(gè)無窮小的和未必是無窮小窮多個(gè)無窮小的和未必是無窮小. .定理定

2、理 2 (局部局部)有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.證證內(nèi)有界，內(nèi)有界，在在設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),()(10 xuxfo, 0 m則則,)(0時(shí)的無窮小時(shí)的無窮小是當(dāng)是當(dāng)又設(shè)又設(shè)xxxg, 0, 02 ,min21 取取恒有恒有時(shí)時(shí)則當(dāng)則當(dāng),00 xx)()()()(xfxgxgxf mm , .)()(,0為無窮小為無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xgxfxx ;)(,010mxfxx 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng) ;)(,020mxgxx 恒有恒有時(shí)時(shí)使得當(dāng)使得當(dāng)推論推論1 有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論推論2 有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小有限

3、個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.xxxxx1arctan,1sin,0 :2時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)例如例如都是無窮小，都是無窮小，, 01sinlim 0 xxx即即. 01arctanlim 20 xxx定理定理 3,)(lim,)(limbxgaxf 若若證證.)(lim,)(limbxgaxf . 0, 0 ,)(,)( 其中其中bxgaxf二、極限的四則運(yùn)算法則二、極限的四則運(yùn)算法則;)()(lim)1(baxgxf ;)()(lim)3(abxgxf . 0,)()(lim)4( bbaxgxf其中其中則有則有;)()(lim)2(baxgxf )()(xgxf)()( ba,ba .)1( 成立成立)

4、()(xgxf)( ba)( baab,ab.)3(成立成立baxgxf )()()()()(xbgxagxbf , 0 ab, 0,)( bbxg又又, 0 ,00時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,2)(bxg 恒有恒有,2)(12bxbg , 0)()( baxgxf.)4(成立成立,)()(baxgxf,)(xbgab 推論推論1 1則則為常數(shù)為常數(shù)而而存在存在如果如果,)(limcxf則則是正整數(shù)是正整數(shù)而而存在存在如果如果,)(limnxf推論推論2 2).(lim)(limxfcxcf .)(lim)(limnnxfxf 說明：說明： 數(shù)列的極限也有類似的四則運(yùn)算法則數(shù)列的極限也有類似的四則運(yùn)算法則

5、. .( (見見p45:p45:定理定理4 4) )例例1 1).1(lim41 xxx求求解解1limlimlim)1(lim114141 xxxxxxxx111 . 1 有有一般地一般地,則則有有設(shè)設(shè),)(1110nnnnnaxaxaxaxp nxxnnxxnxxnxxaxaxaxaxp 0000lim)lim()lim()(lim1110nnnnaxaxaxa 0110100).(0 xpn 例例2 2.21lim 2231 xxxxx求求解解 原式原式)2(lim)1(lim21231 xxxxxx.43 :,有有一般地一般地則有則有且且設(shè)設(shè), 0)(,)()()(0 xqxqxpxf

6、nnm )(lim0 xfxx)()(00 xqxpnm ).(0 xf )(lim)(lim00 xqxpnxxmxx例例3 3.341lim 231 xxxx求求解解 原式原式)3)(1()1)(1(lim21 xxxxxx31lim21 xxxx 32.消零因子法消零因子法)00(型型例例4 4).(lim 23cbxaxxx 計(jì)算計(jì)算解解cbxaxxxfxx 231lim)(1lim32311limxcxbxaxx , 0 ,系知系知由無窮大與無窮小的關(guān)由無窮大與無窮小的關(guān) 原式原式. 例例5 5.12)13)(12)(1(lim ,1213lim 333 nnnnbxxxanx計(jì)算計(jì)

7、算解解 a332/12/1/21limxxxx ;21 b3333/12)/13)(/12)(/11(limnnnnn . 3 )(型型 無窮小因子分出法無窮小因子分出法例例6 6.1sinlim,sinlim30 xxxxxx 求求解解,1,為無窮小為無窮小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)xx ,sin 是有界函數(shù)是有界函數(shù)而而x)sin1(limsinlimxxxxxx ; 0 :同理可知同理可知)1sin(lim1sinlim3030 xxxxxx . 0 例例7 7).21(lim222nnnnn 求求分分析析,是無窮個(gè)無窮小之和是無窮個(gè)無窮小之和時(shí)時(shí) n221limnnn 原式原式2)1(21limnnnn

8、 )11(21limnn .21 先變形再求極限先變形再求極限.解解例例8 8).1(lim22nnnn 求求解解)(型型 11lim22nnnn 原式原式)(型型 nnnnn 2211lim)(分分子子有有理理化化nnnn/11/11/11lim2 .21111 nnnnnnn 22221)()1(lim例例9 9).1211(lim21xxx 求求解解)(型型 )1)(1(2)1(lim1xxxx 原式原式)0(因子因子消消)1)(1()1(lim1xxxx )(通通分分xx 11lim1.21 )00( 型型三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則三、復(fù)合函數(shù)的極限運(yùn)算法則,)( ,)(lim (1)

9、 axgaaxgax 的局部有的局部有且在且在若若定理定理6證證.,0為例證明為例證明為有限數(shù)為有限數(shù)以以axa 使得使得 , 0 , 0 1 ;|)(| , |01 bufau恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)(lim 0axgxx 又又,|)(|0 ,|0 , 010 axgxx恒有恒有時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng),)( 0axgx 局部有局部有且在的且在的 , 0, 0 .)(lim 0bxgfxx ,)(lim (2)bufau .)(lim)(lim :bufxgfauax 則有則有,|0 0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) xx,|)(| bxgf恒有恒有,)(limbufau 換元法換元法)(lim xfax求求)(lim xufax

10、)(xuu )(limufau axu)(,)( ,)(lim (1) axgaaxgax 的局部有的局部有且在且在若若定理定理6,)(lim (2)bufau .)(lim)(lim :bufxgfauax 則有則有例例1010.1sin)(lim,1)1(lim331 xxxxx求求解解 1lim1)1(lim3031uxux xxx1sin)(lim3; 1uuu1sinlim30. 0 例例1111).(lim,0,0,1arctan)(01xfxexxxfxx 討論討論設(shè)設(shè)解解兩個(gè)單側(cè)極限為兩個(gè)單側(cè)極限為是函數(shù)的分段點(diǎn)是函數(shù)的分段點(diǎn),0 x xxxexf100lim)(limuuel

11、im xxfxx1arctanlim)(lim00,2 所以左右極限存在所以左右極限存在, 但不相等但不相等,.)(lim0不存在不存在故故xfx, 0 uuarctanlim思考題思考題 在相同的變化過程中在相同的變化過程中, 若若 f (x) 有極限有極限, g(x) 無極無極限限, 那么那么 f (x) +g (x) 是否有極限？為什么？是否有極限？為什么？解答解答:沒有極限沒有極限假設(shè)假設(shè) f (x)+g(x) 有極限有極限, 則由極限運(yùn)算法則可知：則由極限運(yùn)算法則可知：)()()()(xfxgxfxg 必有極限，必有極限，與已知矛盾，與已知矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤故假設(shè)錯(cuò)誤會用理論會用理論: : (1) 極限的四則運(yùn)算法則及其推論極限的四則運(yùn)算法則及其推論.會用方法會用方法: :(1) 有理函數(shù)的代入法有理函數(shù)的代入法.四、小結(jié)與教學(xué)要求：四、小結(jié)與教學(xué)要求：(2) 消去零因子法消去零因子法.(3) 無窮小