大學物理第一章質(zhì)點運動學

1、12 3 4 5 6 § § § § § 80力學(mechanics)質(zhì)點運動學(kinematics)質(zhì)點動力學(dynamics)功和能(work and energy)動量守恒定律 (momentum conservation) 剛體的定軸轉(zhuǎn)曲(rotation)流體力學(fluid mechanics)§ 1質(zhì)點運動的描述經(jīng)典力學研究的是宏觀物體在力場 中的低速運動行為。運動學主要是研究物體位移、速度、 加速度之間的相互關(guān)系。而不涉及 產(chǎn)生運動的原因。、質(zhì)點質(zhì)點是一個沒有大小和內(nèi)部結(jié)構(gòu)的 理想實體；是一個有質(zhì)量的點。成立條件

2、：1) l«r ；2)運動狀態(tài)與形狀無關(guān)二、參照系和坐標系1.參照系物體定位，必須有參照物，我們稱之為參照系。2、 坐標系利用坐標系，能在 點與數(shù)組之間建立 一個對應(yīng)，從而在 幾何圖形與方程之 間建立一個對應(yīng)的 關(guān)系.二、位置矢量1位置矢量質(zhì)點在任一時刻的 空間位置，用位置 矢量來表示。r = xi + yj + zk位置矢量表示方法r = xi + yj + zkr = y/x2 + y2 + z2cos 0 =XCOS & = f+ y2 + Z22、位移和路程位置矢量的增量稱為位移四、運動方程運動方程是反映位置隨時間變化的方程 式，其直角坐標表達式為:r(0 = X0i

3、 + y(0j + z(0k描述質(zhì)點運動軌跡的函數(shù)稱為軌道方程, 運動方程消去時間方就得到軌道方程。占關(guān)于位移應(yīng)當注意以下幾點位移是矢量；Ai二也-兀丿+僥一yJj + -zJk與位置矢量不同，位移與參照系的選擇無關(guān)； -位移與路徑是完全不同的兩個概念;五、速度速率1.平均速度：7竺At2瞬時速度：-十 Ar drv = lim= 5 Ar d t3.速率：速度的大小 就是速率，它是一個 死負的標量。關(guān)于速度應(yīng)當注意以下幾點速度是矢量 速度矢量的表達式V = vj + vj + vzkdxdydtVzd zdt速度與位移的關(guān)系由dr = (t)dt積分得r(O-r(ro)=J v(z)Zrfo

4、x(zj -x(q)=t=J vxdtt，（了）-y(q)=vydt1,1A|r| 工 |Ar|所以d rd 2 2 2心x + y +zdtd廠六、加速度平均加速度：- v9 - v1 Ava =t At瞬時加速度： Av d v a = lim = god td2r關(guān)于加速度應(yīng)當注意以下幾點加速度是矢量a = a A + a + ak人y乙加速度矢量的直角坐標分量表達式d vd vd vax = ay = a7 =d tdt' dt加速度與速度的關(guān)系由d = a dt積分得tv(r) 一 v(r0) = j a dt 0t= J ax(t)dtzot 乙(1)一氣,仏)=Jdy力&

5、#167;2質(zhì)點運動學的基本問題、當r = r (t)已知時，求速度和加速度利用定義，對位置矢量求導數(shù)即可。二、當卩或a矢量為已知時，求位置矢量例1已知位置矢量為r(0 = a cos 27rti + Z?sin 27itj求:(1)質(zhì)點的運動軌跡；(2)質(zhì)點的運動速度及加速度;-sin217Ct +b2 cos2 Izt(1)運動軌跡可由運動方程消去時間參數(shù)f得到X 9 V 9x(t) = acos2f= () +() = 1a by(t) = bsm 2兀t(2)根據(jù)速度的定義=一2加 sin 2兀ti + 2兀b cos 2兀巧求加速度根據(jù)定義I = -7i2a cos 17rti -

6、47i2b sin 2勸d t=-47r2r說明加速度方向總是負位矢方向，指向橢圓111心-sin217Ct +b2 cos2 Izt例2 在距水面高為力的岸邊上，有人用繩子拉船靠岸。船距離岸邊兀，人以恒定速度收繩時，求船的速度及加速度。解:在如圖坐標系中r = xi - /zjdx.v =1 dtV0dtdxdt22/7 9r = x + -hdxdtdr ylh2 + x2vox dtdv a = dt1、當卩或a為已知時，求位置矢量當y或a為時間函數(shù)時，直接根據(jù)定義積分，并代入 初始條件，可求出位矢；當"或a為位置參量函數(shù)時，可做變量替換后，用分 離變量法積分，并代入初始條件，

7、再求岀位矢；例如I：已知v=v (x)dx , = dt v(x)dxd7吩)例3、質(zhì)點做直線運動，a=2-2t,初始條件為: .仁0 時，兀0=0,0=0,31求:1、質(zhì)點在第1S末的速度；解:由f =2 dr (2 2 訕積分得：v =1 + C代入初始條件=0 ,得c=o,v-2t-t2第1S末的速度：f »V2、質(zhì)點的運動方程;虬2一 2dt=廣1 + c3代入初始條件:x = (2t t2)dt3、質(zhì)點在前3s內(nèi)所經(jīng)歷的路程;由速度和位置函數(shù)關(guān)系可以看岀：開始質(zhì)點沿無 軸正向運動，速度增加，后速度減小至0,沿兀軸 負向運動，f=3s時返回原點。利用折返點卩=0條件，v =

8、2t t2 = 0=> t = 2A5 = 2(22-23) = -(m)33例4、質(zhì)點做直線運動，a=3+4x.初始條件為:兀0=0，vo=O,求:質(zhì)點的速度。解：利用dv dv dxdva =vdt dx dtdxv-d v = (3 + 4x)dx v2 = 6x + 4x2 +c代入初始條件：兀。二0時，忙0,得c=0v = a/6x + 4x2例5、一石了從空中由靜止卜落，a=g-bv,求：石子的速度及運動方程。解:由加二drln(g bv) = bt+ c王=ckgbv解:x10m例題6、質(zhì)點在流體中下落，a=-kv2, =0.4m_1, t二0時，“忖求：從原點以上10m處

9、開始下落, 速度減小到y(tǒng) o/10時到原點的距離。d v dv dx 7 o a =-kvdt dx dtIn v = -kx+ C u e-kx=> Cr = e 4v = 0.0183 v0 e_0-4¥當v=v0/10時，e_0-4x= 5.457 n與原點之間的距離為：X = 4.24m§3加速度為恒矢量時的質(zhì)點運動若已知：a = axi + ayj其中為常數(shù)；、運動方程初始條件為= 00,兀二兀0y Jo8 = %5 = vo代入初始條件積分得:J Q,心怙+0匕"=忖+QJ01 2-Xo = W + -1 2y-兒=忖+亍1、直角坐標系中的拋體運

10、動在地面附近不太大的范圍內(nèi)，g可以視為恒量 初始條件為xo = = o= V0 COS6>0 V0y = V0Sin<90勻速且冷遠動X、X將加速度積分并代入初始條件得:乙=% COS0。叮卜 gdf =v0 sin - gtX = (vo COS00)f1 2y = (vQsm0Q)-t-gt通過運動方程消去t得:y =兀 tang2Vq cos2 %2令5=0,可求得質(zhì)點上升到最高點的時間為:t = sin % gS上升的最大高度為:Vo -sin2令y=0,可求得質(zhì)點的落地時間為:sin %最大射程為:Vg sin 200=g不難看出：當&=兀/4時，具有最大射程心&

11、quot;/g§4自然坐標系中的速度和加速度、自然坐標系有些情況下，質(zhì)點相對參照系的運動軌跡為已知。這時可以直接取軌道曲線為坐標軸來描述質(zhì)點運動。5 (r)位置坐標可以表示為：5 = S (f)-、自然坐標系中的速度v =-、自然坐標系中的速度根據(jù)速度的定義Arv = lim 2=11 = limArso （）Ar注意：當At-0時,Arlim=et （切線方向單位矢量）Asdsdtet = vetv =二、自然坐標系中的加速度根據(jù)加速度的定義注意：det 1ds edtpdv2Va =e什+edttPndv dvde(=et + vdr drdrC法向加速度?VP切向加速度法向加速

12、度切向加速度dvQ t dt四、勻速率圓周運動設(shè)：質(zhì)點沿半徑為7?的圓周做勻速圓周運動?？梢宰C明：圓運動的向心加速度為勻速圓周運動A>圖中O'A'B，是相似三角形A/ Avvr=> Av = A/R vRAv v AZ vA wT a lim = lim = ro At R "TO R方向：沿半徑指向圓心。五、變速圓周運動時刻f+卜位于B,速度為Vb。o在上圖中,Av = AC + CBa = lim-=lim+lim- 20 &A/Atv2dvedt在變速圓周運動中，可將加速度分解為兩項法向加速度 一R dv a =切向加速度 一at%的方向指向

13、圓心,珀的方向沿切線方向一般曲線運動可視為直線運動與圓周運動的組合.應(yīng)當注意:1)任意時刻加速度的大小a = Jq； + a；2)般來說，加速度的方向既不是沿半徑方向也 不是沿切線方向._ | CI與速度矢量之間夾角為一二圓周運動中的角量描述方法0為質(zhì)點在廣時刻的角位置，為質(zhì)點經(jīng)過廣時 間的角位移，平均角速度和瞬時角速度平均角速度為t在廣時刻的瞬時角速度為：vdocd limso Ar dra dco d20瞬時角加速度為：0二=角量與線量的關(guān)系由于弧長 M = RNO線速度為：v = = Rg)2質(zhì)點的法向加速度為：二丄二腫Rdv _ dco 質(zhì)點的切向加速度為：2忑石0勻變速圓周運動勻變速

14、圓周運動的特點是直=恒量 加速度a = at +an = /?/?et+/?2en如初始條件仁o時e=eQ ，co勻變速運動學公式CD - CD pt八八1 C 20 _ 00 = CDHf3tco2 - a)Q 2p (0 0)例7、炮彈出口速率為，仰角為&，求：1、任意時刻曲勺切向加速度和法向加速度;vv = v0 cos。2、軌道最咼點的曲率半徑；解：任意時刻炮彈的速度可表示為Vv = Vosin6>-g?dvdv2 v y dt _v0 sin 0-gtdz 2績 + 片 J(Uo cos&)2 + (*o sin &- gf)an例8、質(zhì)點沿半徑為R的圓

15、周軌道運動，運動方程為$=忖-bP/2,其中:吃和b為常量，求：1、質(zhì)點的加速度;2、質(zhì)點的角速度和角加速度;3、法向加速度和切向加速度數(shù)值相等前，質(zhì)點的運動時間；解：由（%_如）2Rdsv =vn bt dt加速度與速度之間的夾角tan = = - ”Rb2、質(zhì)點的角速度和角加速度;角速度V 1co = = 一 (vn -bt)R R角加速度dt R3、質(zhì)點的運動的時間; 由=Ptb=OR例9、質(zhì)點作半徑i?的圓周運動，v=v0-bt, /二0時， s=0,求：1、質(zhì)點的運動方程；2、當加速度 Q二時，質(zhì)點沿圓周運動了幾圈？解：1、v = = v0-Z,r5 = f (v0 - bt)dt

16、- votbt2 + C代入初始條件:s = vat bt2° 22、dvat =-bdt7Van =Ra = Jq； + a； = R2b2 + (v0 - bt)2R由a-b 得：t=vQ/bsN =27rRv0(v0/Z?)-Z?(v0/7)2/2247iRb§ 5 相對運動-、經(jīng)典力學的時空觀1.時間與空間是彼此獨立的；2 在不同參照系中所觀測到同一事件所持續(xù)的時間是相等的；3 在不同參照系中所觀測到任意兩點間的距禺是相等的；】、伽利略坐標變換設(shè)S (Oxyz)是一參照系，S5 (O5xyz5)相對 S系以速度V沿X軸做勻速直線運動。并假設(shè)0與0,重合時做為計算時間的點。o Pi Vy顯然r = r - R =分量式 x = xV -Nt一 Vt二、伽利略速度變換矢量式5 = 5 7分量式例10、風向正南、風速65km/hr,飛機相對氣流方向正東、 航速 215km/hr,求？ 1、飛機相對地面速度;2、若飛行員想朝地面正東方向飛行，他應(yīng)該取什么航向？V東解：取地面為靜參