大學(xué)物理第一章質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)

1、12 3 4 5 6 § § § § § 80力學(xué)(mechanics)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)(kinematics)質(zhì)點(diǎn)動力學(xué)(dynamics)功和能(work and energy)動量守恒定律 (momentum conservation) 剛體的定軸轉(zhuǎn)曲(rotation)流體力學(xué)(fluid mechanics)§ 1質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動的描述經(jīng)典力學(xué)研究的是宏觀物體在力場 中的低速運(yùn)動行為。運(yùn)動學(xué)主要是研究物體位移、速度、 加速度之間的相互關(guān)系。而不涉及 產(chǎn)生運(yùn)動的原因。、質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)是一個沒有大小和內(nèi)部結(jié)構(gòu)的 理想實(shí)體；是一個有質(zhì)量的點(diǎn)。成立條件

2、：1) l«r ；2)運(yùn)動狀態(tài)與形狀無關(guān)二、參照系和坐標(biāo)系1.參照系物體定位，必須有參照物，我們稱之為參照系。2、 坐標(biāo)系利用坐標(biāo)系，能在 點(diǎn)與數(shù)組之間建立 一個對應(yīng)，從而在 幾何圖形與方程之 間建立一個對應(yīng)的 關(guān)系.二、位置矢量1位置矢量質(zhì)點(diǎn)在任一時刻的 空間位置，用位置 矢量來表示。r = xi + yj + zk位置矢量表示方法r = xi + yj + zkr = y/x2 + y2 + z2cos 0 =XCOS & = f+ y2 + Z22、位移和路程位置矢量的增量稱為位移四、運(yùn)動方程運(yùn)動方程是反映位置隨時間變化的方程 式，其直角坐標(biāo)表達(dá)式為:r(0 = X0i

3、 + y(0j + z(0k描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動軌跡的函數(shù)稱為軌道方程, 運(yùn)動方程消去時間方就得到軌道方程。占關(guān)于位移應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)位移是矢量；Ai二也-兀丿+僥一yJj + -zJk與位置矢量不同，位移與參照系的選擇無關(guān)； -位移與路徑是完全不同的兩個概念;五、速度速率1.平均速度：7竺At2瞬時速度：-十 Ar drv = lim= 5 Ar d t3.速率：速度的大小 就是速率，它是一個 死負(fù)的標(biāo)量。關(guān)于速度應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)速度是矢量 速度矢量的表達(dá)式V = vj + vj + vzkdxdydtVzd zdt速度與位移的關(guān)系由dr = (t)dt積分得r(O-r(ro)=J v(z)Zrfo

4、x(zj -x(q)=t=J vxdtt，（了）-y(q)=vydt1,1A|r| 工 |Ar|所以d rd 2 2 2心x + y +zdtd廠六、加速度平均加速度：- v9 - v1 Ava =t At瞬時加速度： Av d v a = lim = god td2r關(guān)于加速度應(yīng)當(dāng)注意以下幾點(diǎn)加速度是矢量a = a A + a + ak人y乙加速度矢量的直角坐標(biāo)分量表達(dá)式d vd vd vax = ay = a7 =d tdt' dt加速度與速度的關(guān)系由d = a dt積分得tv(r) 一 v(r0) = j a dt 0t= J ax(t)dtzot 乙(1)一氣,仏)=Jdy力&

5、#167;2質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動學(xué)的基本問題、當(dāng)r = r (t)已知時，求速度和加速度利用定義，對位置矢量求導(dǎo)數(shù)即可。二、當(dāng)卩或a矢量為已知時，求位置矢量例1已知位置矢量為r(0 = a cos 27rti + Z?sin 27itj求:(1)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動軌跡；(2)質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動速度及加速度;-sin217Ct +b2 cos2 Izt(1)運(yùn)動軌跡可由運(yùn)動方程消去時間參數(shù)f得到X 9 V 9x(t) = acos2f= () +() = 1a by(t) = bsm 2兀t(2)根據(jù)速度的定義=一2加 sin 2兀ti + 2兀b cos 2兀巧求加速度根據(jù)定義I = -7i2a cos 17rti -

6、47i2b sin 2勸d t=-47r2r說明加速度方向總是負(fù)位矢方向，指向橢圓111心-sin217Ct +b2 cos2 Izt例2 在距水面高為力的岸邊上，有人用繩子拉船靠岸。船距離岸邊兀，人以恒定速度收繩時，求船的速度及加速度。解:在如圖坐標(biāo)系中r = xi - /zjdx.v =1 dtV0dtdxdt22/7 9r = x + -hdxdtdr ylh2 + x2vox dtdv a = dt1、當(dāng)卩或a為已知時，求位置矢量當(dāng)y或a為時間函數(shù)時，直接根據(jù)定義積分，并代入 初始條件，可求出位矢；當(dāng)"或a為位置參量函數(shù)時，可做變量替換后，用分 離變量法積分，并代入初始條件，

7、再求岀位矢；例如I：已知v=v (x)dx , = dt v(x)dxd7吩)例3、質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，a=2-2t,初始條件為: .仁0 時，兀0=0,0=0,31求:1、質(zhì)點(diǎn)在第1S末的速度；解:由f =2 dr (2 2 訕積分得：v =1 + C代入初始條件=0 ,得c=o,v-2t-t2第1S末的速度：f »V2、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程;虬2一 2dt=廣1 + c3代入初始條件:x = (2t t2)dt3、質(zhì)點(diǎn)在前3s內(nèi)所經(jīng)歷的路程;由速度和位置函數(shù)關(guān)系可以看岀：開始質(zhì)點(diǎn)沿?zé)o 軸正向運(yùn)動，速度增加，后速度減小至0,沿兀軸 負(fù)向運(yùn)動，f=3s時返回原點(diǎn)。利用折返點(diǎn)卩=0條件，v =

8、2t t2 = 0=> t = 2A5 = 2(22-23) = -(m)33例4、質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動，a=3+4x.初始條件為:兀0=0，vo=O,求:質(zhì)點(diǎn)的速度。解：利用dv dv dxdva =vdt dx dtdxv-d v = (3 + 4x)dx v2 = 6x + 4x2 +c代入初始條件：兀。二0時，忙0,得c=0v = a/6x + 4x2例5、一石了從空中由靜止卜落，a=g-bv,求：石子的速度及運(yùn)動方程。解:由加二drln(g bv) = bt+ c王=ckgbv解:x10m例題6、質(zhì)點(diǎn)在流體中下落，a=-kv2, =0.4m_1, t二0時，“忖求：從原點(diǎn)以上10m處

9、開始下落, 速度減小到y(tǒng) o/10時到原點(diǎn)的距離。d v dv dx 7 o a =-kvdt dx dtIn v = -kx+ C u e-kx=> Cr = e 4v = 0.0183 v0 e_0-4¥當(dāng)v=v0/10時，e_0-4x= 5.457 n與原點(diǎn)之間的距離為：X = 4.24m§3加速度為恒矢量時的質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動若已知：a = axi + ayj其中為常數(shù)；、運(yùn)動方程初始條件為= 00,兀二兀0y Jo8 = %5 = vo代入初始條件積分得:J Q,心怙+0匕"=忖+QJ01 2-Xo = W + -1 2y-兒=忖+亍1、直角坐標(biāo)系中的拋體運(yùn)

10、動在地面附近不太大的范圍內(nèi)，g可以視為恒量 初始條件為xo = = o= V0 COS6>0 V0y = V0Sin<90勻速且冷遠(yuǎn)動X、X將加速度積分并代入初始條件得:乙=% COS0。叮卜 gdf =v0 sin - gtX = (vo COS00)f1 2y = (vQsm0Q)-t-gt通過運(yùn)動方程消去t得:y =兀 tang2Vq cos2 %2令5=0,可求得質(zhì)點(diǎn)上升到最高點(diǎn)的時間為:t = sin % gS上升的最大高度為:Vo -sin2令y=0,可求得質(zhì)點(diǎn)的落地時間為:sin %最大射程為:Vg sin 200=g不難看出：當(dāng)&=兀/4時，具有最大射程心&

11、quot;/g§4自然坐標(biāo)系中的速度和加速度、自然坐標(biāo)系有些情況下，質(zhì)點(diǎn)相對參照系的運(yùn)動軌跡為已知。這時可以直接取軌道曲線為坐標(biāo)軸來描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動。5 (r)位置坐標(biāo)可以表示為：5 = S (f)-、自然坐標(biāo)系中的速度v =-、自然坐標(biāo)系中的速度根據(jù)速度的定義Arv = lim 2=11 = limArso （）Ar注意：當(dāng)At-0時,Arlim=et （切線方向單位矢量）Asdsdtet = vetv =二、自然坐標(biāo)系中的加速度根據(jù)加速度的定義注意：det 1ds edtpdv2Va =e什+edttPndv dvde(=et + vdr drdrC法向加速度?VP切向加速度法向加速

12、度切向加速度dvQ t dt四、勻速率圓周運(yùn)動設(shè)：質(zhì)點(diǎn)沿半徑為7?的圓周做勻速圓周運(yùn)動?？梢宰C明：圓運(yùn)動的向心加速度為勻速圓周運(yùn)動A>圖中O'A'B，是相似三角形A/ Avvr=> Av = A/R vRAv v AZ vA wT a lim = lim = ro At R "TO R方向：沿半徑指向圓心。五、變速圓周運(yùn)動時刻f+卜位于B,速度為Vb。o在上圖中,Av = AC + CBa = lim-=lim+lim- 20 &A/Atv2dvedt在變速圓周運(yùn)動中，可將加速度分解為兩項(xiàng)法向加速度 一R dv a =切向加速度 一at%的方向指向

13、圓心,珀的方向沿切線方向一般曲線運(yùn)動可視為直線運(yùn)動與圓周運(yùn)動的組合.應(yīng)當(dāng)注意:1)任意時刻加速度的大小a = Jq； + a；2)般來說，加速度的方向既不是沿半徑方向也 不是沿切線方向._ | CI與速度矢量之間夾角為一二圓周運(yùn)動中的角量描述方法0為質(zhì)點(diǎn)在廣時刻的角位置，為質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過廣時 間的角位移，平均角速度和瞬時角速度平均角速度為t在廣時刻的瞬時角速度為：vdocd limso Ar dra dco d20瞬時角加速度為：0二=角量與線量的關(guān)系由于弧長 M = RNO線速度為：v = = Rg)2質(zhì)點(diǎn)的法向加速度為：二丄二腫Rdv _ dco 質(zhì)點(diǎn)的切向加速度為：2忑石0勻變速圓周運(yùn)動勻變速

14、圓周運(yùn)動的特點(diǎn)是直=恒量 加速度a = at +an = /?/?et+/?2en如初始條件仁o時e=eQ ，co勻變速運(yùn)動學(xué)公式CD - CD pt八八1 C 20 _ 00 = CDHf3tco2 - a)Q 2p (0 0)例7、炮彈出口速率為，仰角為&，求：1、任意時刻曲勺切向加速度和法向加速度;vv = v0 cos。2、軌道最咼點(diǎn)的曲率半徑；解：任意時刻炮彈的速度可表示為Vv = Vosin6>-g?dvdv2 v y dt _v0 sin 0-gtdz 2績 + 片 J(Uo cos&)2 + (*o sin &- gf)an例8、質(zhì)點(diǎn)沿半徑為R的圓

15、周軌道運(yùn)動，運(yùn)動方程為$=忖-bP/2,其中:吃和b為常量，求：1、質(zhì)點(diǎn)的加速度;2、質(zhì)點(diǎn)的角速度和角加速度;3、法向加速度和切向加速度數(shù)值相等前，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動時間；解：由（%_如）2Rdsv =vn bt dt加速度與速度之間的夾角tan = = - ”Rb2、質(zhì)點(diǎn)的角速度和角加速度;角速度V 1co = = 一 (vn -bt)R R角加速度dt R3、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動的時間; 由=Ptb=OR例9、質(zhì)點(diǎn)作半徑i?的圓周運(yùn)動，v=v0-bt, /二0時， s=0,求：1、質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動方程；2、當(dāng)加速度 Q二時，質(zhì)點(diǎn)沿圓周運(yùn)動了幾圈？解：1、v = = v0-Z,r5 = f (v0 - bt)dt

16、- votbt2 + C代入初始條件:s = vat bt2° 22、dvat =-bdt7Van =Ra = Jq； + a； = R2b2 + (v0 - bt)2R由a-b 得：t=vQ/bsN =27rRv0(v0/Z?)-Z?(v0/7)2/2247iRb§ 5 相對運(yùn)動-、經(jīng)典力學(xué)的時空觀1.時間與空間是彼此獨(dú)立的；2 在不同參照系中所觀測到同一事件所持續(xù)的時間是相等的；3 在不同參照系中所觀測到任意兩點(diǎn)間的距禺是相等的；】、伽利略坐標(biāo)變換設(shè)S (Oxyz)是一參照系，S5 (O5xyz5)相對 S系以速度V沿X軸做勻速直線運(yùn)動。并假設(shè)0與0,重合時做為計算時間的點(diǎn)。o Pi Vy顯然r = r - R =分量式 x = xV -Nt一 Vt二、伽利略速度變換矢量式5 = 5 7分量式例10、風(fēng)向正南、風(fēng)速65km/hr,飛機(jī)相對氣流方向正東、 航速 215km/hr,求？ 1、飛機(jī)相對地面速度;2、若飛行員想朝地面正東方向飛行，他應(yīng)該取什么航向？V東解：取地面為靜參