高考復(fù)習(xí)方案大二輪全國(guó)新課標(biāo)數(shù)學(xué)文科高考備考方法策略：專題篇平面解析幾何 6 用公式 簡(jiǎn)解幾道高考題 Word版含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5用公式簡(jiǎn)解幾道高考題由不同兩點(diǎn)確定的直線方程的兩點(diǎn)式為即 當(dāng)時(shí)(一定有)，直線的方程是；當(dāng)時(shí)(一定有)，直線的方程是.而這兩種情形均可由得到,所以由兩點(diǎn)確定的直線方程就是，也即 由此還可證得定理1 設(shè)是不同的兩點(diǎn)，則(1)坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離是；(2)的面積是.這里再給出定理1(2)的一種證法(由定理1(2)及立得定理1(1).另證 下面用定理1(2)簡(jiǎn)解幾道高考題.高考題1 (2009·陜西·文理·21)已知雙曲線的方程為，離心率，頂點(diǎn)到漸近線的距離為.(i)求雙曲線的方程；(ii)如圖1，是雙曲線上一點(diǎn)， 兩點(diǎn)在雙曲線的兩條漸

2、近線上，且分別位于第一、二象限.若，求面積的取值范圍.圖1解 (i)(過程略).(ii)可設(shè)，由定理1(2)及題設(shè)得. 由定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式，得，把它代入雙曲線的方程，化簡(jiǎn)得，所以 可得面積的取值范圍是.高考題2 (2007·陜西·理·21(即文·22)已知橢圓的離心率是，短軸的一個(gè)端點(diǎn)與右焦點(diǎn)的距離是.(i)求橢圓的方程；(ii)設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為，求面積的最大值.解 (i)(過程略).(ii)設(shè)，由定理1(2)及題設(shè)得由橢圓的參數(shù)方程知，可設(shè)，得從而可得，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)且時(shí)的面積取到最大值，且最大值是.注 參考答案

3、對(duì)第(ii)問的解答是常規(guī)的但運(yùn)算量很大：當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可得|ab|=；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，可設(shè)，.所以，得面積的最大值是.還可得到上面這道高考題的一般情形：定理2 設(shè)直線與長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)分別是的橢圓交于不同的兩點(diǎn)，橢圓的中心與直線的距離為常數(shù)，則面積的最大值是. 證明 可設(shè)橢圓，其中心是坐標(biāo)原點(diǎn)，又設(shè)，由定理1(2)及題設(shè)得由橢圓的參數(shù)方程知，可設(shè)，得從而可得，的面積的最大值是.注 若將定理2中的“常數(shù)”兩字去掉，所得結(jié)論也成立.高考題3 (2008·海南、寧夏·理·21)設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為(i)求的解析式.(ii)證明：函數(shù)的圖象是一個(gè)

4、中心對(duì)稱圖形，并求其對(duì)稱中心；(iii)證明：曲線上任一點(diǎn)的切線與直線和直線所圍三角形的面積為定值，并求出此定值(答案：(i)；(iii)2.)高考題4 (2008·海南、寧夏·文·21)設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為(i)求的解析式；(ii)證明：曲線上任一點(diǎn)處的切線與直線和直線所圍成的三角形面積為定值，并求此定值(答案：(i)；(ii)6.)下面給出這兩道高考題結(jié)論的推廣.先介紹筆者主持的中學(xué)數(shù)學(xué)(高中)“新題征展”欄目刊登的一道題(供題人：陳祥)：新題 (1)求到兩條相交定直線的距離之積等于正常數(shù)的點(diǎn)的軌跡；(2)證明：曲線是以直線為漸近線的雙曲線；(3)函

5、數(shù)的圖象是以直線為漸近線的雙曲線.解 (1)以相交定直線的夾角平分線為坐標(biāo)軸，如圖2建立直角坐標(biāo)系，可設(shè)的方程分別是，動(dòng)點(diǎn)到的距離之積為 圖2 所以所求的軌跡是以兩條相交定直線為漸近線的兩條雙曲線.注 由線性規(guī)劃知識(shí)還可得：當(dāng)?shù)闹凳沟闹低?hào)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；當(dāng)?shù)闹凳沟闹诞愄?hào)時(shí)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線.(2) 得，所以由結(jié)論(1)知，它表示以兩條相交定直線為漸近線的兩條雙曲線.又由題設(shè)中的等式知：當(dāng)時(shí)，的值使的值同號(hào)；當(dāng)時(shí)，的值使的值異號(hào).所以，欲證成立.(3)函數(shù)的圖象即曲線，所以由結(jié)論(2)得結(jié)論(3)成立.定理3 (1)雙曲線上任一點(diǎn)的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積是；

6、(2)雙曲線上任一點(diǎn)的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積是；(3)雙曲線上任一點(diǎn)的切線與兩條漸近線圍成三角形的面積是.證明 (1)如圖3，可求得過雙曲線上任一點(diǎn)的切線方程是，還可求得它與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，再由定理1(2)可立得欲證成立. 圖3(2)由，得.所以過雙曲線上任一點(diǎn)的切線方程是從而可求得它與兩條漸近線的交點(diǎn)分別為，再由定理1(2)可立得欲證成立.(3) 因?yàn)?，所以雙曲線是由雙曲線沿向量平移后得到的，所以由結(jié)論(2)立得結(jié)論(3)成立.高考題5 (20xx·重慶·理·20)已知以原點(diǎn)為中心，為右焦點(diǎn)的雙曲線的離心率.(i)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其漸近線方

7、程；(ii)如圖4，已知過點(diǎn)的直線與過點(diǎn)(其中)的直線的交點(diǎn)在雙曲線上，直線與兩條漸近線分別交于兩點(diǎn)，求的面積.圖4解 (i)(過程略)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，其漸近線方程為.(ii)由“兩點(diǎn)確定一直線”可得直線的方程為：.分別解方程組，得.因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以.由定理1(2)，得注 下面將指出圖4的錯(cuò)誤：因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)也在雙曲線上，而雙曲線在點(diǎn)處的切線方程為即也即直線，所以直線與雙曲線應(yīng)當(dāng)相切，而不是相離.高考題6 (20xx·四川·理·12)在集合1,2,3,4,5中任取一個(gè)偶數(shù)和一個(gè)奇數(shù)構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量.從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量

8、為鄰邊作平行四邊形.記所有作成的平行四邊形的個(gè)數(shù)為，其中面積不超過4的平行四邊形的個(gè)數(shù)為，則( )a. b. c. d.解 基本事件是由向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，得.由定理1(2)可得：組成面積為2的平行四邊形的向量有3對(duì)：.組成面積為4的平行四邊形的向量有2對(duì)：.組成面積為6的平行四邊形的向量有2對(duì)：.組成面積為8的平行四邊形的向量有3對(duì)：.組成面積為10的平行四邊形的向量有2對(duì)：.組成面積為14的平行四邊形的向量有1對(duì)：.組成面積為16的平行四邊形的向量有1對(duì)：.組成面積為18的平行四邊形的向量有1對(duì)：.滿足條件的事件有個(gè)，所以.高考題7 (20xx·四川·

9、文·12)在集合中任取一個(gè)偶數(shù)和一個(gè)奇數(shù)構(gòu)成以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量.從所有得到的以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量中任取兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形，記所有作為平行四邊形的個(gè)數(shù)為，其中面積等于2的平行四邊形的個(gè)數(shù)，則( )a. b. c. d.(答案：b)高考題8 (20xx·山東·理·22)已知?jiǎng)又本€與橢圓交于兩不同點(diǎn)，且的面積，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).(i)證明：和均為定值；(ii)設(shè)線段的中點(diǎn)為，求的最大值； (iii)橢圓上是否存在三點(diǎn)，使得？若存在，判斷的形狀；若不存在，請(qǐng)說明理由.解 (i)可設(shè)，由定理1(2)，得z)所以.(ii)在(i)的解答中：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，得，所以.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，得，所以.所以的最大值是.(iii)可設(shè)，由(i)的解答知z) 把這三式相加，得z)，這不可能！所以橢圓上不存在三點(diǎn)，使得.高考題9 (20xx·山東·文·22)在平面直角坐標(biāo)系中，已知橢圓c的中心在原點(diǎn)o，焦點(diǎn)在軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為.(i)求橢圓c的方程；(ii)為橢圓c上滿足的面積為的任意兩點(diǎn)，e為線段的中點(diǎn)，射線oe交橢圓c與點(diǎn)p，設(shè)，求實(shí)數(shù)的值.解 (i)(過程略).(ii)當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，可求得