高中數(shù)學課本典例改編之必修四、五：專題五 數(shù)列 Word版含解析

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5 專題五專題五 數(shù)列數(shù)列 一、題之源：課本基礎知識 1.數(shù)列的概念 (1)定義：按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列,數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的.數(shù)列中的每一項都和它的序號有關,排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第 1 項(通常也叫做),排在第二位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第 2 項排在第 n 位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第 n 項.所以,數(shù)列的一般形式可以寫成,其中 an是數(shù)列的第 n 項,叫做數(shù)列的通項.常把一般形式的數(shù)列簡記作an. (2)通項公式：如果數(shù)列an的與序號之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式. (3)從函數(shù)的觀點看,數(shù)列可以看作是

2、一個定義域為正整數(shù)集 n*(或它的有限子集1,2,3,n)的函數(shù),當自變量從小到大依次取值時所對應的一列函數(shù)值. (4)數(shù)列的遞推公式：如果已知數(shù)列的第 1 項(或前幾項),且從第二項(或某一項)開始的任一項與它的前一項(或前幾項)間的關系可以用一個公式來表示,那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式. (5)數(shù)列的表示方法有通項公式、列表法、圖象法、遞推公式. 2.數(shù)列的分類 (1)數(shù)列按項數(shù)是有限還是無限來分,分為有窮數(shù)列、無窮數(shù)列. (2)按項的增減規(guī)律分為遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、擺動數(shù)列、常數(shù)列.遞增數(shù)列：an1an；遞減數(shù)列：an1an；常數(shù)列 an1 =an.遞增數(shù)列與遞減數(shù)列統(tǒng)稱為單調數(shù)

3、列. 3.數(shù)列前 n 項和 sn與 an的關系 已知 sn,則 ans1（n1），snsn1（n2）， 4.一般地,如果一個數(shù)列從第 2 項起,每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差,通常用字母 d 表示,即1nnaa d(nn,且n2) 5.等差中項 由三個數(shù) a,a,b 組成的等差數(shù)列可以看成最簡單的等差數(shù)列.這時,a 叫做 a 與 b 的等差中項 6.等差數(shù)列的通項公式 若an是等差數(shù)列,則其通項公式 an11and. an成等差數(shù)列anpnq,點(n,an)是直線上一群孤立的點. 單調性：d0 時,an為遞增數(shù)列；d0 時,an為

4、遞減數(shù)列；d0 時,an為常數(shù)列. 7.等差數(shù)列的前 n 項和公式 等差數(shù)列前 n 項和公式 sn12nn aa 112n nnad.其推導方法是倒序相加. 8.等差數(shù)列的判定方法 (1)定義法：an1and(常數(shù))(nn*)an是等差數(shù)列； (2)等差中項法：2an1anan2(nn*)an是等差數(shù)列； (3)通項公式法：anknb(k,b 是常數(shù))(nn*)an是等差數(shù)列； (4)前 n 項和公式法：snan2bn(a,b 是常數(shù))(nn*)an是等差數(shù)列. 9.等比數(shù)列的定義 一般地,如果一個數(shù)列從第 2 項起,每一項與它的前一項的比等于同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列,這個常數(shù)叫做

5、等比數(shù)列的公比,通常用字母 q 表示(q0). 10.等比中項 如果在 a 與 b中間插入一個數(shù) g,使 a,g,b成等比數(shù)列,那么 g 叫做 a 與 b 的等比中項,且 g2ab或 gab. 11.等比數(shù)列的通項公式 (1)若an是等比數(shù)列,則通項 an11nn mma qa q (2)ana1qn1可變形為 anaqn,點(n,an)是曲線 xyaq上一群孤立的點. 12.等比數(shù)列的前 n 項和公式 等比數(shù)列an中,11,11,11nnna qsaqqq 求和公式的推導方法是：,為解題的方便,有時可將求和公式變形為 snbqnb(q1),q0,q1. 13.等比數(shù)列的判定方法 (1)定義法

6、：an1anq 且 a10(q 是不為 0 的常數(shù),nn*)an是等比數(shù)列. (2)通項公式法：ancqn(c,q 均是不為 0 的常數(shù),nn*)an是等比數(shù)列. (3)等比中項法：a2n1an an2(an an1 an20,nn*)an是等比數(shù)列. (4)前 n 項和公式法：sna1q1qna1q1bqnbba1q1是常數(shù)，且q0，q1 an是等比數(shù)列. 14.等比數(shù)列的性質 (1)在等比數(shù)列中,若 pqmn,則 ap aqam an； 若 2mpq,則 a2map aq(p,q,m,nn*). (2)若an,bn均為等比數(shù)列,且公比為q1,q2,則數(shù)列1an,p an(p0),an bn

7、,anbn仍為等比數(shù)列且公比為 (3)在等比數(shù)列中,按序等距離取出若干項,也構成一個等比數(shù)列,即 an,anm,an2m仍為等比數(shù)列,公比為 (4)等比數(shù)列前 n 項和為 sn(0),則 sn,s2nsn,s3ns2n,構成等比數(shù)列,且公比為 (5)對于一個確定的等比數(shù)列,在通項公式ana1qn1中,an是n的函數(shù),這個函數(shù)由正比例函數(shù)ana1q u 和指數(shù)函數(shù) uqn(nn*)復合而成. 15.數(shù)列求和方法 (1)公式法： (2)分組求和：把一個數(shù)列分成幾個可以直接求和的數(shù)列. (3)倒序相加：如等差數(shù)列前 n 項和公式的推導方法. (4)錯位相減：適用于一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應項相乘

8、構成的數(shù)列求和.等比數(shù)列an前 n 項和公式的推導方法就采用了錯位相減法. (5)裂項相消：有時把一個數(shù)列的通項公式分成二項差的形式,相加消去中間項,只剩有限項再求和. 16.數(shù)列應用題常見模型 (1)單利公式 利息按單利計算,本金為 a 元,每期利率為 r,存期為 x,則本利和 y (2)復利公式 利息按復利計算,本金為 a 元,每期利率為 r,存期為 x,則本利和 y (3)產(chǎn)值模型 原來產(chǎn)值的基礎數(shù)為 n,平均增長率為 p,對于時間 x,總產(chǎn)值 y (4)遞推型 遞推型有 an1f(an)與 sn1f(sn)兩類. 二、題之本：思想方法技巧 1.已知數(shù)列的前幾項,寫出數(shù)列的通項公式,主要

9、從以下幾個方面來考慮： (1)如果符號正負相間,則符號可用(1)n或 (1)n1來調節(jié). (2)分式形式的數(shù)列,分子找通項,分母找通項,要充分借助分子、分母的關系來解決. (3)對于比較復雜的通項公式,要借助于等差數(shù)列、等比數(shù)列和其他方法來解決. 此類問題雖無固定模式,但也有規(guī)律可循,主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知的數(shù)列)、歸納、轉化(轉化為等差、等比或其他特殊數(shù)列)等方法來解決. 2.ans1（n1），snsn1（n2），注意 ansnsn1的條件是 n2,還須驗證 a1是否符合 an(n2),是則合并,否則寫成分段形式. 3.已知遞推關系求通項 掌握先由 a1和遞推關系求出前幾項,

10、再歸納、猜想 an的方法,以及“累加法”“累乘法”等. (1)已知 a1且 anan1f(n),可以用“累加法”得： ana1f(2)f(3)f(n1)f(n). (2)已知 a1且anan1f(n),可以用“累乘法”得： ana1 f(2) f(3)f(n1) f(n). 4.數(shù)列的簡單性質 (1)單調性：若 an1an,則an為遞增數(shù)列；若 an1an,則an為遞減數(shù)列. (2)周期性：若 ankan(nn*,k 為非零正整數(shù)),則an為周期數(shù)列,k 為an的一個周期. (3)最大值與最小值：若anan1，anan1， 則 an最大；若anan1，anan1， 則 an最小. 5.等差數(shù)列

11、中,已知五個元素 a1,an,n,d,sn中的任意三個,便可求出其余兩個. 6.求等差數(shù)列an前 n 項的絕對值|an|之和,首先應分清這個數(shù)列哪些項是負的,哪些項是非負的,然后再分段求和. 7.等差數(shù)列前 n 項和的最值通常是在正負項分界的位置產(chǎn)生,利用這一性質可求其最值；另一種方法是利用二次函數(shù)的性質. 8.靈活運用等差數(shù)列的性質,如等差中項的性質,可簡化運算. 9.等差數(shù)列an的前 n 項和滿足：snn也是等差數(shù)列,且首項與an的首項相同,公差為an公差的一半. 10.數(shù)列an是等差數(shù)列的充要條件是 snan2bn(a,b 是常數(shù),nn*). 11.等差數(shù)列中的重要性質：()nmaanm

12、 d；若qpnm,則qpnmaaaa； nnnnnsssss232,成等差. 12.若qpnmaaaa,是否一定有qpnm？（不一定） 13.注意等比數(shù)列每一項均不為 0,q 也不為 0. 14.等比數(shù)列中,已知五個元素 a1,an,n,q,sn中的任意三個,便可求出其余兩個. 15.準確理解等比數(shù)列的定義及各公式的等價形式,靈活運用等比數(shù)列的性質. 16.等比數(shù)列前 n 項和公式成立的條件為 q1,而當 q1 時,應按常數(shù)列求和；在含字母參數(shù)的等比數(shù)列求和時,應分 q1 與 q1 兩種情況進行討論. 17.等比數(shù)列通項公式的求法有： (1)觀察法. (2)公式法：ans1（n1），snsn1

13、（n2）； 等比數(shù)列an的通項公式. (3)構造法： an1panq; an1panqn； an1panf(n); an2pan1qan. 18.等差三數(shù)為 a-d,a,a+d;四數(shù) a-3d,a-d,a+d,a+3d; 19.等比三數(shù)可設 a/q,a,aq；四個數(shù)成等比的錯誤設法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？) 20.等比數(shù)列中任意一項及公比均不為零. 21.在等差數(shù)列an),(nmmananm ，則；0nma )(),(nmsnmmsnsnmnm， . 0),(nmnmsnmss 22.數(shù)列的通項公式及前n項和公式都可以看作項數(shù)n的函數(shù),是函數(shù)思想在數(shù)列中的應用.數(shù)列以通項為

14、綱,數(shù)列的問題,最終歸結為對數(shù)列通項的研究,而數(shù)列的前 n 項和 sn可視為數(shù)列sn的通項.通項及求和是數(shù)列中最基本也是最重要的問題之一. 23.等差或等比數(shù)列的求和直接用公式計算,要注意求和的項數(shù),防止疏漏. 24.最好能記憶一些常見數(shù)列的求和公式,如正整數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列、正整數(shù)的平方構成的數(shù)列等. 25.數(shù)列的實際應用題要注意分析題意,將實際問題轉化為常用的數(shù)列模型. 26.數(shù)列的綜合問題涉及到的數(shù)學思想：函數(shù)與方程思想(如：求最值或基本量)、轉化與化歸思想(如：求和或應用)、特殊到一般思想(如：求通項公式)、分類討論思想(如：等比數(shù)列求和,q1 或 q1)等. 27.裂項求和基本

15、問題 1.111) 1(1nnnn； 2.) 12)(12(1nn)121121(21nn 3.) 13)(23(1nn)131231(31nn 4.)2(1nn)211(21nn 5.)2)(1(1) 1(121)2)(1(1nnnnnnn, 6.221111nnan,2111122nan nnn , 7.233nnna=nnnnnnn3313)33(1 28.構造等差（比）數(shù)列求通項是是一種常用方法： 數(shù)列na中1a=1,1na=22nnaa,求na.提示：11na=nnaa22=21+na1, 數(shù)列na中1a=1,ns是na的前 n 項和,na=-2ns1ns（n2）,求na.提示：ns

16、1-11ns=2 數(shù)列na中1a=1,1na=（1+n1）na+2n+2,求na.提示：11nan=nan+2 數(shù)列na中1a=1,1na=2na+12n-1,求na.提示：1121nna=nna21+1, 數(shù)列na中1a=1,na1,1na-na=121nnaa,求na. 提示： （1na-21）2-（na-21）2=2, 數(shù)列na中1a=2,1na=na+1+na41,求na 提示：141na=na41+2 三、題之變：課本典例改編 1.原題（人教版第原題（人教版第 33 頁習題頁習題 2.1 a 組第組第 4 題）題）寫出下列數(shù)列 na的前 5 項： （1）111,41(1).2nnaa

17、an 改編改編 （福建卷）（福建卷）已知數(shù)列 na滿足*111,21().nnaaann 求數(shù)列 na的通項公式； 2.原題（必修原題（必修 5 第第 36 頁例題頁例題）改編改編 1 小王每月除去所有日常開支,大約結余 a 元小王決定采用零存整取的方式把余錢積蓄起來,每月初存入銀行 a 元存期 1 年（存 12 次）,到期取出本和息假設一年期零存整取的月利率為 r,每期存款按單利計息那么,小王存款到期利息為 【解析】78ar 改編改編 2 某人 2003 年 1 月 1 日到銀行存入一年期存款 a 元,若按年利率為 x,并按復利計算,到 1月 1 日可取回款 【解析】5(1)ax元 3.原題（必修原題（必修 5 第第 45 頁練習第二題頁練習第二題）改編改編 已知數(shù)列 na的前項的和為223nsnn,則數(shù)列的通項公式為 【解析】 2,123,1nnann 4.原題 （必修原題 （必修 5第第 46頁習題頁習題 2.3a組第六題） 改編組第六題） 改編 設ns為數(shù)列 na的前項和,且3(1)2nnsa ()nn,數(shù)列 nb的通項公式為43nbn()nn,求數(shù)列 na的通項公式 【解析】 na=3n； 5.原題（必修原題（必修 5 第第 47 頁習題頁習題 2.3b 組第組第 4 題）改編題）改編 求數(shù)列求數(shù)列1(2 )n