高三文科數(shù)學(xué)通用版二輪復(fù)習(xí)：第1部分 專題4 突破點(diǎn)9　空間幾何體表面積或體積的求解 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5專題四立體幾何建知識(shí)網(wǎng)絡(luò)明內(nèi)在聯(lián)系 掃一掃，各專題近五年全國(guó)考點(diǎn)分布高考點(diǎn)撥立體幾何專題是高考中當(dāng)仁不讓的熱點(diǎn)之一，常以“兩小一大”呈現(xiàn)，小題主要考查三視圖與空間幾何體的體積(特別是與球有關(guān)的體積)內(nèi)容，一大題?？伎臻g幾何體位置關(guān)系的證明與空間角、距離的探求本專題主要從“空間幾何體表面積或體積的求解”、“空間中的平行與垂直關(guān)系”兩大角度進(jìn)行典例剖析，引領(lǐng)考生明確考情并提升解題技能突破點(diǎn)9空間幾何體表面積或體積的求解提煉1求解幾何體的表面積或體積(1)對(duì)于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計(jì)算(2)對(duì)于不規(guī)則幾何體，可采用割補(bǔ)法求解；對(duì)于某些三棱錐，有時(shí)可采用等體積轉(zhuǎn)換

2、法求解(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時(shí)，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺(tái)的軸截面是等腰梯形的應(yīng)用提煉2球與幾何體的外接與內(nèi)切(1)正四面體與球：設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a ，由正四面體本身的對(duì)稱性，可知其內(nèi)切球和外接球的球心相同，則內(nèi)切球的半徑ra，外接球的半徑ra.圖10­1(2)正方體與球：設(shè)正方體abcd­a1b1c1d1的棱長(zhǎng)為a，o為其對(duì)稱中心，e，f，h，g分別為ad，bc，b1c1，a1d1的中點(diǎn)，j為hf的中點(diǎn)，如圖10­1所示正方體的內(nèi)切球：截面圖為正方形efhg的內(nèi)切圓，故其內(nèi)切球的半徑為oj；正方體的棱切球：截面圖為正方形ef

3、hg的外接圓，故其棱切球的半徑為og；正方體的外接球：截面圖為矩形acc1a1的外接圓，故其外接球的半徑為oa1.回訪1幾何體的表面積或體積1. (20xx·全國(guó)甲卷)如圖10­2是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()圖10­2a20b.24c.28 d.32c由三視圖可知圓柱的底面直徑為4，母線長(zhǎng)(高)為4，所以圓柱的側(cè)面積為2×2×416，底面積為·224；圓錐的底面直徑為4，高為2，所以圓錐的母線長(zhǎng)為4，所以圓錐的側(cè)面積為×2×48.所以該幾何體的表面積為s164828.2(20xx

4、·全國(guó)卷)一個(gè)正方體被一個(gè)平面截去一部分后，剩余部分的三視圖如圖10­3，則截去部分體積與剩余部分體積的比值為()圖10­3a.b.c.d.d由已知三視圖知該幾何體是由一個(gè)正方體截去了一個(gè)“大角”后剩余的部分，如圖所示，截去部分是一個(gè)三棱錐設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，則三棱錐的體積為v1××1×1×1，剩余部分的體積v213.所以，故選d.3(20xx·全國(guó)卷)如圖10­4，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長(zhǎng)為1(表示1 cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個(gè)底面半徑為3 cm，高為6 cm的圓柱體毛坯切削得

5、到，則切削掉部分的體積與原來毛坯體積的比值為()圖10­4a.b.c.d.c由三視圖可知幾何體是如圖所示的兩個(gè)圓柱的組合體其中左面圓柱的高為4 cm，底面半徑為2 cm，右面圓柱的高為2 cm，底面半徑為3 cm，則組合體的體積v1×22×4×32×2161834(cm3)，原毛坯體積v2×32×654(cm3)，則所求比值為.回訪2球與幾何體的外接與內(nèi)切4(20xx·全國(guó)卷)已知a，b是球o的球面上兩點(diǎn)，aob90°，c為該球面上的動(dòng)點(diǎn)若三棱錐o­abc體積的最大值為36，則球o的表面積為()

6、a36 b.64c.144 d.256c如圖，設(shè)球的半徑為r，aob90°，saobr2.vo­abcvc­aob，而aob面積為定值，當(dāng)點(diǎn)c到平面aob的距離最大時(shí)，vo­abc最大，當(dāng)c為與球的大圓面aob垂直的直徑的端點(diǎn)時(shí)，體積vo­abc最大為×r2×r36，r6，球o的表面積為4r24×62144.故選c.5(20xx·全國(guó)卷)如圖10­5，有一個(gè)水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如果不計(jì)容器厚度

7、，則球的體積為()圖10­5a. cm3 b. cm3c. cm3 d. cm3a如圖，作出球的一個(gè)截面，則mc862(cm)，bmab×84(cm)設(shè)球的半徑為r cm，則r2om2mb2(r2)242，r5，v球×53(cm3)6(20xx·全國(guó)卷)已知三棱錐s­abc的所有頂點(diǎn)都在球o的球面上，abc是邊長(zhǎng)為1的正三角形，sc為球o的直徑，且sc2，則此棱錐的體積為()a. b.c. d.a由于三棱錐s­abc與三棱錐o­abc底面都是abc，o是sc的中點(diǎn)，因此三棱錐s­abc的高是三棱錐o­ab

8、c高的2倍，所以三棱錐s­abc的體積也是三棱錐o­abc體積的2倍在三棱錐o­abc中，其棱長(zhǎng)都是1，如圖所示，sabc×ab2，高od，vs­abc2vo­abc2×××.熱點(diǎn)題型1幾何體的表面積或體積題型分析：解決此類題目，準(zhǔn)確轉(zhuǎn)化是前提，套用公式是關(guān)鍵，求解時(shí)先根據(jù)條件確定幾何體的形狀，再套用公式求解(1)(20xx·全國(guó)乙卷)如圖10­6，某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條互相垂直的半徑若該幾何體的體積是，則它的表面積是()圖10­6a17b.18c.

9、20 d.28(2)(20xx·全國(guó)丙卷)如圖10­7，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為()圖10­7a1836 b.5418c.90 d.81(1)a(2)b(1)由幾何體的三視圖可知，該幾何體是一個(gè)球體去掉上半球的，得到的幾何體如圖設(shè)球的半徑為r，則r3×r3，解得r2.因此它的表面積為×4r2r217.故選a.(2)由三視圖可知該幾何體是底面為正方形的斜四棱柱，其中有兩個(gè)側(cè)面為矩形，另兩個(gè)側(cè)面為平行四邊形，則表面積為(3×33×63×3)×25418.

10、故選b.1求解幾何體的表面積及體積的技巧(1)求幾何體的表面積及體積問題，可以多角度、多方位地考慮，熟記公式是關(guān)鍵所在求三棱錐的體積，等體積轉(zhuǎn)化是常用的方法，轉(zhuǎn)化原則是其高易求，底面放在已知幾何體的某一面上(2)求不規(guī)則幾何體的體積，常用分割或補(bǔ)形的思想，將不規(guī)則幾何體轉(zhuǎn)化為規(guī)則幾何體以易于求解2根據(jù)幾何體的三視圖求其表面積與體積的三個(gè)步驟(1)根據(jù)給出的三視圖判斷該幾何體的形狀(2)由三視圖中的大小標(biāo)示確定該幾何體的各個(gè)度量(3)套用相應(yīng)的面積公式與體積公式計(jì)算求解變式訓(xùn)練1(1)(20xx·平頂山二模)某幾何體的三視圖如圖10­8所示，則該幾何體的體積為()a. b.5

11、c.5 d.圖10­8(2)某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖10­9所示，則此幾何體的表面積是()圖10­9a90 cm2 b.129 cm2c.132 cm2 d.138 cm2 (3)(名師押題)如圖10­10，從棱長(zhǎng)為6 cm的正方體鐵皮箱abcd ­a1b1c1d1中分離出來由三個(gè)正方形面板組成的幾何圖形如果用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水，那么最多能盛的水的體積為_cm3.圖10­10(1)d(2)d(3)36(1)由三視圖知該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)方體，一個(gè)三棱錐和一個(gè)圓柱組成，故該幾何體的體積為v2×1×2&#

12、215;×1×1×2××12×2.(2)該幾何體如圖所示，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為6 cm,4 cm,3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長(zhǎng)分別為3 cm,4 cm,5 cm，所以表面積s2×(4×64×3)3×63×39939138(cm2)(3)最多能盛多少水，實(shí)際上是求三棱錐c1­cd1b1的體積又v三棱錐c1­cd1b1v三棱錐c­b1c1d1××636(cm3)，所以用圖示中這樣一個(gè)裝置來盛水，最多能盛36 cm3體積的水

13、熱點(diǎn)題型2球與幾何體的切、接問題題型分析：與球有關(guān)的表面積或體積求解，其核心本質(zhì)是半徑的求解，這也是此類問題求解的主線，考生要時(shí)刻謹(jǐn)記先根據(jù)幾何體的三視圖確定其結(jié)構(gòu)特征與數(shù)量特征，然后確定其外接球的球心，進(jìn)而確定球的半徑，最后代入公式求值即可；也可利用球的性質(zhì)球面上任意一點(diǎn)對(duì)直徑所張的角為直角，然后根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造射影定理求解(1)(20xx·南昌二模)一個(gè)幾何體的三視圖如圖10­11所示，其中正視圖是正三角形，則該幾何體的外接球的表面積為()圖10­11a.b.c.d.(2)(20xx·全國(guó)丙卷)在封閉的直三棱柱abc­a1b1c1內(nèi)

14、有一個(gè)體積為v的球若abbc，ab6，bc8，aa13，則v的最大值是()a4 b.c.6 d.(1)d(2)b(1)法一由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐s ­ abc，其中hs是三棱錐的高，由三視圖可知hs2，hahbhc2，故h為abc外接圓的圓心，該圓的半徑為2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐s­abc外接球的球心o在直線hs上，連接ob.設(shè)球的半徑為r，則球心o到abc外接圓的距離為oh|shos|2r|，由球的截面性質(zhì)可得rob，解得r，所以所求外接球的表面積為4r24×.故選d.法二由三視圖可知，該幾何體是如圖所示的三棱錐s ­abc，其

15、中hs是三棱錐的高，由側(cè)視圖可知hs2，由正視圖和側(cè)視圖可得hahbhc2.由幾何體的對(duì)稱性可知三棱錐外接球的球心o在hs上，延長(zhǎng)sh交球面于點(diǎn)p，則sp就是球的直徑，由點(diǎn)a在球面上可得saap.又sh平面abc，所以shah.在rtash中，sa4.設(shè)球的半徑為r，則sp2r，在rtspa中，由射影定理可得sa2sh×sp，即422×2r，解得r，所以所求外接球的表面積為4r24×.故選d.(2)由題意得要使球的體積最大，則球與直三棱柱的若干面相切設(shè)球的半徑為r.因?yàn)閍bc的內(nèi)切圓半徑為2，所以r2.又2r3，所以r，所以vmax3.故選b.解決球與幾何體的切、

16、接問題的關(guān)鍵在于確定球的半徑與幾何體的度量之間的關(guān)系，這就需要靈活利用球的截面性質(zhì)以及組合體的截面特征來確定對(duì)于旋轉(zhuǎn)體與球的組合體，主要利用它們的軸截面性質(zhì)建立相關(guān)數(shù)據(jù)之間的關(guān)系；而對(duì)于多面體，應(yīng)抓住多面體的結(jié)構(gòu)特征靈活選擇過球心的截面，把多面體的相關(guān)數(shù)據(jù)和球的半徑在截面圖形中體現(xiàn)出來變式訓(xùn)練2(1)已知直三棱柱abc­a1b1c1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球o 的球面上，若ab3，ac1，bac60°，aa12，則該三棱柱的外接球的體積為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：85952037】a. b.c. d.20(2)(名師押題)一幾何體的三視圖如圖10­12(網(wǎng)格中每個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1)，若這個(gè)幾何體的頂點(diǎn)都在球o的表面上，則球o的表面積是_圖10­12(1)b(2)20(1)設(shè)a1b1c1的外心為o1，abc的外心為o2，連接o1o2，o2b，ob，如圖所示由題意可得外接球的球心o為o1o2的中點(diǎn)在abc中，由余弦定理可得bc2ab2ac22ab×accosbac32122×3×1×cos 60°7，所以bc.由正弦定理可得abc外接圓的直徑2r2o2b，所以r.而球心o到截面abc的距離doo2aa11，設(shè)直三棱柱abc