高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)教案：(教師用)第十二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用

1、第十二章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用【知識圖解】基本初等函數(shù)導(dǎo)數(shù)平均速度瞬時速度公式、導(dǎo)數(shù)運算法則平均變化率瞬時變化率導(dǎo) 數(shù)微積分基本定理定積分（理科）割線斜率導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系切線斜率導(dǎo)數(shù)與極（最）值的關(guān)系曲邊梯形的面積定積分在幾何、物理中的簡單應(yīng)用變速直線運動的路程【方法點撥 】導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用極其廣泛，是研究函數(shù)性質(zhì)、證明不等式、研究曲線的切線和解決一些實際問題的有力工具，也是提出問題、分析問題和進行理性思維訓(xùn)練的良好素材。同時，導(dǎo)數(shù)是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)緊密銜接的重要內(nèi)容，體現(xiàn)了高等數(shù)學(xué)思想及方法。1重視導(dǎo)數(shù)的實際背景。導(dǎo)數(shù)概念本身有著豐富的實際意義，對導(dǎo)數(shù)概念的深刻理解應(yīng)該從這些實際背景出發(fā)， 如平均變

2、化率、 瞬時變化率和瞬時速度、 加速度等。 這為我們解決實際問題提供了新的工具，應(yīng)深刻理解并靈活運用。2深刻理解導(dǎo)數(shù)概念。概念是根本，是所有性質(zhì)的基礎(chǔ)，有些問題可以直接用定義解決。在理解定義時，要注意“函數(shù)f ( x) 在點 x0 處的導(dǎo)數(shù)f (x0 ) ”與“函數(shù)f (x) 在開區(qū)間 ( a, b) 內(nèi)的導(dǎo)數(shù)f ( x) ”之間的區(qū)別與聯(lián)系。3強化導(dǎo)數(shù)在函數(shù)問題中的應(yīng)用意識。導(dǎo)數(shù)為我們研究函數(shù)的性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值等，提供了一般性的方法。4重視“數(shù)形結(jié)合”的滲透，強調(diào)“幾何直觀”。在對導(dǎo)數(shù)和定積分的認識和理解中，在研究函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性、極值、最值的關(guān)系等問題時，應(yīng)從數(shù)值、圖象等

3、多個方面，尤其是幾何直觀加以理解，增強數(shù)形結(jié)合的思維意識。5加強“導(dǎo)數(shù)”的實踐應(yīng)用。導(dǎo)數(shù)作為一個有力的工具，在解決科技、經(jīng)濟、生產(chǎn)和生活中的問題，尤其是最優(yōu)化問題中得到廣泛的應(yīng)用。6（理科用）理解和體會“定積分”的實踐應(yīng)用。定積分也是解決實際問題（主要是幾何和物理問題）的有力工具，如可以用定積分求一些平面圖形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、變速直線運動的路程和變力作的功等，逐步體驗微積分基本定理。第 1 課導(dǎo)數(shù)的概念及運算【考點導(dǎo)讀】1.了解導(dǎo)數(shù)概念的某些實際背景( 如瞬時速度、加速度、光滑曲線切線的斜率等) ；2.掌握函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)的定義和導(dǎo)數(shù)的幾何意義；理解導(dǎo)函數(shù)的概念;3. 熟記基本導(dǎo)數(shù)公式；

4、4. 掌握兩個函數(shù)和、差、積、商的求導(dǎo)法則;5. 了解復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則 . 會求某些簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù) . （理科）【基礎(chǔ)練習(xí)】1設(shè)函數(shù) f（ x）在 x=x0 處可導(dǎo) , 則 limf ( x0h)f (x0 ) 與 x0, h 的關(guān)系是僅與 x0 有關(guān)而與 h 無關(guān)。h0h2一點沿直線運動，如果由始點起經(jīng)過t秒后的距離為 s1 t 47 t 37t 28t ，那么速度為零的時刻是 1 ，2，4 秒末。433已知 f (x)x 3x 2f ' (1) ,則 f' (2)0。4已知 y1sin x, x(,) , 則當(dāng) y '2 時 ,x2。cos x35（ 1）已知 f

5、 ( x)a x x a , 則 f ' (1)a ln aa 2 。（ 2）（理科）設(shè)函數(shù) f ( x)ln(23x)5，則 f (1) 15 。36已知兩曲線 yx3ax 和 yx 2bxc 都經(jīng)過點 P（ 1,2 ），且在點 P 處有公切線，試求 a,b,c值。解：因為點 P（ 1,2 ）在曲線 yx 3ax 上，a1函數(shù) yx3ax 和 yx 2bxc 的導(dǎo)數(shù)分別為 y3x2a 和 y2xb ，且在點 P 處有公切數(shù)3 12a21b ，得 b=2又由 21221c ，得 c1【范例導(dǎo)析】例 1 電流強度是單位時間內(nèi)通過導(dǎo)體的電量的大小。從時刻 t 0 開始的 t 秒內(nèi)，通過導(dǎo)體

6、的電量 （單位：庫侖）可由公式q2t23t 表示。（ 1）求第 5 秒內(nèi)時的電流強度；（ 2）什么時刻電流強度達到63 安培（即庫侖 / 秒）？分析： 為了求得各時刻的電流強度，類似求瞬時速度一樣，先求平均電流強度，然后再用平均電流強度逼近瞬時電流強度。解：（ 1）從時刻 t0 到時刻 t0Vt 通過導(dǎo)體的這一橫截面的電量為：Vq 2(t0Vt )23(t0Vt )(2t023t0 )(34t0 )Vt2(Vt )2V34t02Vt ,當(dāng) Vt0,V3 4t0則這段時間內(nèi)平均電流強度為qqVtVt當(dāng) t0 5 時，則 34t023 （安培）。（2）令 34t063 ，得 t015 （秒）。答：

7、（ 1）第 5 秒時電流強度為23 安培；（2）第 15 秒時電流強度為63 安培。點評： 導(dǎo)數(shù)的實際背景豐富多彩，本題從另一個側(cè)面深化對導(dǎo)數(shù)概念的理解。例 2下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： y(x1)(2x23x1) y2x33xxx1f ( x)ex (cos x sin x)x分析： 利用導(dǎo)數(shù)的四則運算求導(dǎo)數(shù)。解：法一： y2x 33x 2x2x 23x12 x35x 22 x1 y6x210x2法二：y(x1) (2x231)(x1)(2x23x1)= 2x23x 1+ (x 1) ( 4x 3)x6x210x231x 13 y 2x23x 2x 2135 y 3x 23 x 2x 23 x 222

8、 f ( x)ex （ cos x+sin x） +e x（ sin x+cosx）2e xcos x,點評： 利用基本函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、導(dǎo)數(shù)的運算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則進行導(dǎo)數(shù)運算，是高考對導(dǎo)數(shù)考查的基本要求。例 3 如果曲線 yx3x10的某一切線與直線y4x3 平行，求切點坐標(biāo)與切線方程分析：本題重在理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義：曲線yf (x) 在給定點 P( x0 , f ( x0 ) 處的切線的斜率 kf ( x0 ) ，用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的斜率就很簡單了。解：切線與直線 y4x 3平行， 斜率為 4又切線在點 x0的斜率為 yx x0 ( x3x10) x x03x021 3x021 4

9、x01x01或x01y08y012切點為（ 1， -8 ）或（ -1 ， -12 ）切線方程為 y84(x 1) 或 y 12 4(x1) 即 y 4x12或 y 4x 8點評： 函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義揭示了導(dǎo)數(shù)知識與平面解析幾何知識的密切聯(lián)系，利用導(dǎo)數(shù)能解決許多曲線的切線問題，其中尋找切點是很關(guān)鍵的地方。變題：求曲線y2xx3 的過點 A(1,1)的切線方程。答案： xy20,5 x4y10點評： 本題中“過點A(1,1)的切線”與“在點A(1,1)的切線”的含義是不同的，后者是以A 為切點，只有一條切線，而前者不一定以A 為切點，切線也不一定只有一條，所以要先設(shè)切點，然后求出切點坐標(biāo)，再解決問

10、題。備用題：證明：過拋物線= （x1）·（2）（ 0，1<2）上兩點（1， 0）、 （2，0）的切線，與y a xxxaxxA xB xx 軸所成的銳角相等 .證明：y =2a（1+ 2），axxxy |x x1=a（ x1 x2 ），即 kA=a（x1 x2），y |x x2=（2 1），即kB=（2x1） .a xxa x設(shè)兩條切線與x 軸所成的銳角為、 ，則 tan=| k |=|a（ x1x）| ， tan =| k |=|a（ x x ） | ，故 tan=tan .A2B21又、是銳角，所以。=【反饋演練】1一物體做直線運動的方程為s1tt 2 ， s 的單位是 m

11、, t 的單位是 s ，該物體在 3 秒末的瞬時速度是5m / s 。2設(shè)生產(chǎn) x 個單位產(chǎn)品的總成本函數(shù)是C (x)x28 個單位產(chǎn)品時，邊際成本是2。8，則生產(chǎn)83已知函數(shù) f （ x）在 x=1 處的導(dǎo)數(shù)為 3, 則 f （ x）的解析式可能為（ 1）。2（ 1） f （ x） =（x 1） +3（ x 1） （ 2） f （ x） =2（ x1）（ 3） f （ x） =2（ x 1） 2（ 4） f （ x） =x 14若曲線 yx4的一條切線 l 與直線 x4 y8 0 垂直，則 l 的方程為 4xy3 0 。5在函數(shù) yx 38x 的圖象上，其切線的傾斜角小于4的點中，坐標(biāo)為整數(shù)

12、的點的個數(shù)是3。6 設(shè) f ( x) 是可導(dǎo)函數(shù)，且limf ( x02 x)f (x0 )( x0 ) 1。x2,則 fx 07函數(shù) f (x)x( x1)( x2)(x100) 在 x 0處的導(dǎo)數(shù)值為 100!。8過點（ 0， 4）與曲線 yx3 x 2 相切的直線方程是y 4x 49設(shè) f （ x）在 x=1 處連續(xù)，且 f （ 1） =0, limf (x) =2, 則 f(1)_2_ 。x 1x 1解： f （ 1） =0,limf ( x)=2,x1x1 f （ 1） = limf (1x)f (1) =limf ( x)f (1)= limf (x) =2x 0xx 1x 1x

13、1 x 110 求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y=(2x2-1)(3x+1)(2)yx 2 sin x(3)yln( x1 x 2 )(4)ex1(5)yxcos x(6)ycos 2xy1xsin xsin xcos xex解：（） y18 x24x3, (2)y2x sin xx2 cos x ;1y2ex(3)y,(4)(ex1)2;1x2(5)x cos xx sin xsin xcos x 1, (6)ysin x cos x .y( xsin x)211已知曲線 C： y3x42x39 x24（ 1）求曲線 C 上橫坐標(biāo)為 1 的點的切線的方程；（ 2）第（ 1）小題中切線與曲線 C 是否還有其它公共點。解：（ 1）切線方程為 y412x 1 ，即 y12 8（ 2）除切點外，還有兩個交點(2,32),2。,0312已知直線 l 1 為曲線 yx 2x 2 在點 (0,2) 處的切線， l 2 為該曲線的另一條切線，且l1 l 2（）求直線 l 2的方程；（）求由直線l1 ， l2和 x 軸所圍成的三角形的面積解： 設(shè)直線 l1 的斜率為 k1 ，直線 l2 的斜率為 k2 ，y '2x1，由題意得 k1y ' |x 01 , 得直線 l1