高考數(shù)學(xué)理科必考題型：第31練空間角的突破方略含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第31練空間角的突破方略內(nèi)容精要空間角包括異面直線所成的角，線面角以及二面角，在高考中頻繁出現(xiàn)，也是高考立體幾何題目中的難點(diǎn)所在掌握好本節(jié)內(nèi)容：首先要理解這些角的概念，其次要弄清這些角的范圍，最后才是求解這些角題型一異面直線所成的角例1在棱長(zhǎng)為a的正方體abcda1b1c1d1中，求異面直線ba1與ac所成的角破題切入點(diǎn)利用·|·|×cos，求出向量與的夾角，再根據(jù)異面直線ba1，ac所成角的范圍確定異面直線所成角還可用幾何法或坐標(biāo)法解方法一因?yàn)?，所?#183;()·()····

2、.因?yàn)閍bbc，bb1ab，bb1bc，所以·0，·0，·0，·a2.所以·a2.又·|·|·cos，cos，.所以，120°.所以異面直線ba1與ac所成的角為60°.方法二連接a1c1，bc1，則由條件可知a1c1ac，從而ba1與ac所成的角亦為ba1與a1c1所成的角，由于該幾何體為邊長(zhǎng)為a的正方體，于是a1bc1為正三角形，ba1c160°，從而所求異面直線ba1與ac所成的角為60°.方法三由于該幾何體為正方體，所以da，dc，dd1兩兩垂直且長(zhǎng)度均為a，于是以d

3、為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，于是有a(a,0,0)，c(0，a,0)，a1(a,0，a)，b(a，a,0)，從而(a，a,0)，(0，a，a)，且|a，·a2，cos，120°，所以所求異面直線ba1與ac所成角為60°.題型二直線與平面所成的角例2如圖，已知四棱錐pabcd的底面為等腰梯形，abcd，acbd，垂足為h，ph是四棱錐的高，e為ad的中點(diǎn)(1)證明：pebc；(2)若apbadb60°，求直線pa與平面peh所成角的正弦值破題切入點(diǎn)平面的法向量是利用向量方法解決位置關(guān)系或夾角的關(guān)鍵，本題可通過(guò)建立坐標(biāo)系，利用待

4、定系數(shù)法求出平面peh的法向量(1)證明以h為原點(diǎn)，ha，hb，hp所在直線分別為x，y，z軸，線段ha的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)度，建立空間直角坐標(biāo)系(如圖)，則a(1,0,0)，b(0,1,0)設(shè)c(m,0,0)，p(0,0，n) (m<0，n>0)，則d(0，m,0)，e.可得，(m，1,0)因?yàn)?#183;00，所以pebc.(2)解由已知條件可得m，n1，故c，d，e，p(0,0,1)設(shè)n(x，y，z)為平面peh的法向量，則即因此可以取n(1，0)又(1,0，1)，所以|cos，n|.所以直線pa與平面peh所成角的正弦值為.題型三二面角例3如圖，在五面體abcdef中，fa平面ab

5、cd，adbcfe，abad，m為ec的中點(diǎn)，afabbcfead.(1)求異面直線bf與de所成的角的大小；(2)證明：平面amd平面cde；(3)求二面角acde的余弦值破題切入點(diǎn)以點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(1)解如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)a為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)ab1，依題意得b(1,0,0)，c(1,1,0)，d(0,2,0)，e(0,1,1)，f(0,0,1)，m.(1,0,1)，(0，1,1)，于是cos，.所以異面直線bf與de所成的角的大小為60°.(2)證明由，(1,0,1)，(0,2,0)，可得·0，·0.因此，ceam，cead.又am

6、ada，故ce平面amd.而ce平面cde，所以平面amd平面cde.(3)解設(shè)平面cde的法向量為u(x，y，z)，則于是令x1可得u(1,1,1)又由題設(shè)，平面acd的一個(gè)法向量為v(0,0,1)所以cos ?u，v?.因?yàn)槎娼莂cde為銳角，所以其余弦值為.總結(jié)提高空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角(1)異面直線所成的角的范圍是(0，求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過(guò)平行移動(dòng)直線，把異面問(wèn)題轉(zhuǎn)化為共面問(wèn)題來(lái)解決具體步驟如下：利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；證明作出的角即為所求的角；利用

7、三角形來(lái)求角(2)直線與平面所成的角的范圍是0，求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法具體步驟如下：找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；連接垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；把該角置于三角形中計(jì)算注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有.(3)確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；

8、兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上；利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；b如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；c如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；(4)二面角的范圍是(0，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求作二面角的平面角常有三種方法棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過(guò)這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角

9、的平面角；面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)(即斜足)，斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角1(20xx·課標(biāo)全國(guó))直三棱柱abca1b1c1中，bca90°，m，n分別是a1b1，a1c1的中點(diǎn)，bccacc1，則bm與an所成角的余弦值為()a. b. c. d.答案c解析方法一補(bǔ)成正方體，利用向量的方法求異面直線所成的角由于bca90°，三棱柱為直三棱柱，且bccacc1，可將三棱

10、柱補(bǔ)成正方體建立如圖(1)所示空間直角坐標(biāo)系設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則可得a(0,0,0)，b(2,2,0)，m(1,1,2)，n(0,1,2)，(1,1,2)(2,2,0)(1，1,2)，(0,1,2)cos，.方法二通過(guò)平行關(guān)系找出兩異面直線的夾角，再根據(jù)余弦定理求解如圖(2)，取bc的中點(diǎn)d，連接mn，nd，ad，由于mn綊b1c1綊bd，因此有nd綊bm，則nd與na所成的角即為異面直線bm與an所成的角設(shè)bc2，則bmnd，an，ad，因此cosand.2在正方體abcda1b1c1d1中，直線bc1與平面a1bd所成的角的正弦值是()a. b. c. d.答案c解析建立空間直角坐標(biāo)系如圖

11、所示設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，直線bc1與平面a1bd所成的角為，則d(0,0,0)，a1(1,0,1)，b(1,1,0)，c1(0,1,1)，(1,0,1)，(1,1,0)，(1,0,1)設(shè)n(x，y，z)是平面a1bd的一個(gè)法向量，則令z1，則x1，y1.n(1,1,1)，sin |cosn，|.3如圖，過(guò)正方形abcd的頂點(diǎn)a，引pa平面abcd.若paba，則平面abp和平面cdp所成的二面角的大小是()a30° b45°c60° d90°答案b解析將四棱椎pabcd還原成正方體，可知apd為平面abd與平面pcd的平面角，即apd45°.4

12、.如圖，在直三棱柱abca1b1c1中，acb90°，aa12，acbc1，則異面直線a1b與ac所成角的余弦值是()a. b.c. d.答案b解析以c為坐標(biāo)原點(diǎn)，ca、cb、cc1所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，a1(1,0,2)，b(0,1,0)，a(1，0,0)，c(0,0,0)，則(1,1，2)，(1,0,0)，cos，.5在四棱錐pabcd中，底面abcd是正方形，側(cè)棱pd平面abcd，abpda.點(diǎn)e為側(cè)棱pc的中點(diǎn)，又作dfpb交pb于點(diǎn)f，則pb與平面efd所成角為()a30° b45° c60° d90°答案d解

13、析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系dxyz，d為坐標(biāo)原點(diǎn)則p(0,0，a)，b(a，a,0)，e(0，)故(a，a，a)，所以·00，所以pbde，由已知dfpb，且dfded，所以pb平面efd，所以pb與平面efd所成角為90°.6將正方形abcd沿對(duì)角線bd折成直二面角abdc，則下面結(jié)論錯(cuò)誤的為()aacbdbacd是等邊三角形cab與平面bcd所成的角為60°dab與cd所成的角為60°答案c解析取bd中點(diǎn)o，連接ao、co，則aobd，cobd，bd平面aoc，acbd，又acaoadcd，acd是等邊三角形，而abd是ab與平面bcd所成的角，

14、應(yīng)為45°.又(設(shè)aba)，則a2a22a2a22·a·a·()2a·a·()2a2cos，cos，ab與cd所成的角為60°.7如圖所示，在三棱柱abca1b1c1中，aa1底面abc，abbcaa1，abc90°，點(diǎn)e、f分別是棱ab、bb1的中點(diǎn)，則直線ef和bc1所成的角是_答案60°解析以bc為x軸，ba為y軸，bb1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)abbcaa12，則c1(2,0,2)，e(0,1,0)，f(0,0,1)，則(0，1,1)，(2,0,2)，·2，cos，ef和bc1所成的

15、角為60°.8在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，ab2，bcaa11，則d1c1與平面a1bc1所成角的正弦值為_答案解析如圖，建立空間直角坐標(biāo)系dxyz，則d1(0,0,1)，c1(0,2,1)，a1(1,0,1)，b(1,2,0)，(0,2,0)，設(shè)平面a1bc1的一個(gè)法向量為n(x，y，z)，由得令y1，得n(2,1,2)，設(shè)d1c1與平面a1bc1所成角為，則sin |cos，n|.9.如圖，在正方體abcda1b1c1d1中，m、n分別是棱cd、cc1的中點(diǎn)，則異面直線a1m與dn所成角的大小是_答案90°解析方法一連接md1，易證dd1mcdn，則ndmdd1

16、m，ndmd1mddd1md1md90°，即dnd1m，又a1d1平面dc1，a1d1dn，dn平面a1d1m.a1m平面a1d1m，a1mdn.即a1m與dn所成的角為90°.方法二(空間向量法)以d為原點(diǎn)，分別以da，dc，dd1為x，y，z軸，設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，則d(0,0,0)，n(0,2,1)，m(0,1,0)，a1(2,0,2)，(0,2,1)，(2，1,2)，cos，0，a1m與dn的夾角為90°.10正四棱錐sabcd中，o為頂點(diǎn)在底面上的射影，p為側(cè)棱sd的中點(diǎn)，且sood，則直線bc與平面pac所成的角是_答案30°解析如圖所示，以o

17、為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系oxyz.設(shè)odsooaoboca，則a(a,0,0)，b(0，a,0)，c(a,0,0)，p(0，)，則(2a,0,0)，(a，)，(a，a,0)設(shè)平面pac的法向量為n，可求得n(0,1,1)，則cos，n.，n60°，直線bc與平面pac所成的角為90°60°30°.11如圖所示，在四棱錐pabcd中，底面abcd為直角梯形，adbc，adc90°，平面pad底面abcd，e為ad的中點(diǎn)，m是棱pc的中點(diǎn)，papd2，bcad1，cd.(1)求證：pe平面abcd；(2)求直線bm與平面abcd所成角的正切值；(3

18、)求直線bm與cd所成角的余弦值(1)證明因?yàn)閜apd，e為ad的中點(diǎn)，所以pead.又平面pad平面abcd，且平面pad平面abcdad，所以pe平面abcd.(2)解連接ec，設(shè)ec的中點(diǎn)為h，連接mh，hb，如圖因?yàn)閙是pc的中點(diǎn)，h是ec的中點(diǎn)，所以mhpe.由(1)，知pe平面abcd，所以mh平面abcd，所以hb是bm在平面abcd內(nèi)的射影所以mbh為直線bm與平面abcd所成的角因?yàn)閍dbc，bcad，e為ad的中點(diǎn)，adc90°，所以四邊形bcde為矩形，所以ec2，hbec1.又mhpe，所以在mhb中，tanmbh.所以直線bm與平面abcd所成角的正切值為.(3)解由(2)，知cdbe，所以直線bm與c