高三數(shù)學(xué)二項(xiàng)式定理(知識(shí)點(diǎn)和例題)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二項(xiàng)式定理1 知識(shí)精講：（ 1）二項(xiàng)式定理：ab nCn0a nCn1 a n 1bCnr a n r brCnnb n （ n N）其通項(xiàng)是 Tr 1Cnr anr br（ r=0,1,2, ,n），知 4求 1，如： T6T5 1Cn5 a n 5b5亦可寫成： Tr 1C nr an ( b ) ranCn1 an 1brnN ）a bCn0a n1 Cnr an r br1 Cnnbn （ n特別地： 1x nCn0 xnCn1 xCnr xn rCnn x n （ nN ）其中， Cnr 二項(xiàng)式系數(shù)。而系數(shù)是字母前的常數(shù)。例 1 Cn13Cn29Cn 33n 1 Cn

2、n 等于（）A 4nB。3 4n4n4n1C。1D.33解： 設(shè) SnCn13Cn29Cn33n 1Cnn ，于是：3Sn 3Cn132 Cn233 Cn 33n Cnn = Cn 03Cn132 Cn233 Cn33n Cnn1故選 D例 2（ 1）求 (12x) 7 的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)；1 93（ 2）求 ( x) 的展開式中x 的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)解：（ 1） (12x)7 的展開式的第四項(xiàng)是TC3 (2x)3280x3 ，3 17 (1 2x)7 的展開式的第四項(xiàng)的系數(shù)是280（ 2） ( x1 )9的展開式的通項(xiàng)是 Tr 1C9r x9r ( 1 )r( 1)r C9r x9 2r

3、，xx 92r3 ， r 3 ， x3 的系數(shù) ( 1)3 C9384， x3 的二項(xiàng)式系數(shù) C9384 （ 2）二項(xiàng)展開式系數(shù)的性質(zhì)： 對(duì)稱性 , 在二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即 Cn0 Cnn , Cn1 Cnn 1 ,Cn2 Cnn 2 , Cnk Cnn k ,增減性與最大值：在二項(xiàng)式展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，且在中間取得最大值。如果學(xué)習(xí)必備歡迎下載n 偶數(shù)： Cn rn二項(xiàng)式的冪指數(shù)是偶數(shù)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，即maxCn 2Tn；21如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)是奇數(shù)，中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等并且最大，即Cn rn 1n1maxCn 2Cn 2Tn

4、1Tn 1。2112所有二項(xiàng)式系數(shù)的和用賦值法可以證明等于2n 即 Cn0Cn1Cnn2n ；奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，即Cn0Cn2Cn1Cn32n 1例 3已知 (12 x) 7a0a1xa2 x 2a7 x7 ，求：（ 1） a1a2a7 ；（ 2） a1a3 a5a7 ； （ 3） | a0 | | a1 | a7 | .解：（ 1）當(dāng) x1時(shí)， (12x)7(1 2)71，展開式右邊為a0a1a2a7 a0a1a2a71 ，當(dāng) x0 時(shí)， a01 ， a1a2a711 2，（ 2）令 x1 ， a0a1a2a71令 x1 ， a0a1a2a3a4a5a6a737

5、 得： 2(aaaa )137 ， a1a3a5 a71 37.13572（ 3）由展開式知： a , a ,a , a均為負(fù)， a , a ,a , a 均為正，13570248由（ 2）中 +得： 2(a0a2a4a6 )137 ， a0a2 a4 a6137，2 | a0 | | a1 | a7 | a a aa a a a6a0123457(a0a2a4a6 ) (a1a3a5a7 ) 37學(xué)習(xí)必備歡迎下載1n例 4（1）如果在x的展開式中，前三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，求展開式中的有24x理項(xiàng)。13（ 2）求x2的展開式的常數(shù)項(xiàng)。x解：（ 1）展開式中前三項(xiàng)的系數(shù)分別為1， n， n(n1

6、)，28由題意得： 2× n =1+ n(n1) 得 n =8。28163 r設(shè)第 r+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，Tr 1r14，則 r 是 4 的倍數(shù)，所以r=0 ， 4， 8。c82r x有理項(xiàng)為 T1x4 ,T535 x,T912。8256 x【思維點(diǎn)撥】求展開式中某一特定的項(xiàng)的問題時(shí)，常用通項(xiàng)公式，用待定系數(shù)法確定r。3611x2xxx（ 2），其展開式的通項(xiàng)為rrr6r12Tr 126 r r1 C6xrrr rx60 得 r 31 C6 x 2 2 ，令22所以，常數(shù)項(xiàng)為 T420【思維點(diǎn)撥】密切注意通項(xiàng)公式的使用。（ 3）二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：近似計(jì)算和估計(jì)、證不等式，如證明：nn n

7、nN 取223,2n11 n 的展開式中的四項(xiàng)即可。例 5、 若 n 為奇數(shù)，則 7nCn1 7n 1Cn2 7 n 2Cnn 1 7 被 9 除得的余數(shù)是（）A 0B 。 2C。7D.8解： 7nCn1 7n 1Cn2 7 n 2Cnn 1 78n1 9 1 n1= 9nCn1 9n 11 n 1Cnn 1 91 n1因?yàn)?n為奇數(shù)，所以原式 = 9nCn1 9n 11 n 1Cnn1 92所以，其余數(shù)為 92=7，選 C例 6：當(dāng) nN 且 n >1，求證 2(11 ) n3n學(xué)習(xí)必備歡迎下載證明 :1n1 1Cn2 1n11 Cn1 1(1 ) 1 Cnn2Cnn2nnnn1nn n 1 n n 1 n 21 n n 1 n 2 3 2 112n2! n23!n!nn1111111121222 n 12!3!222 22 n 11n!12313.從而 2(11) n32n1n【思維點(diǎn)撥】這類是二項(xiàng)式定理的應(yīng)用問題，它的取舍根據(jù)題目而定。2重點(diǎn)難點(diǎn) : 二項(xiàng)式定理，和二項(xiàng)展開式的性質(zhì)。3思維方式 :一般與特殊的轉(zhuǎn)化，賦值法的應(yīng)用。4特別注意 :二項(xiàng)式的展開式共有n+1 項(xiàng)， Cnr a n r b r 是第 r+1 項(xiàng)。通項(xiàng)是 Tr 1Cnr a