高考數(shù)學理二輪專題復習突破精練：專題對點練11　三角變換與解三角形 Word版含解析

1、高考數(shù)學精品復習資料 2019.5專題對點練11三角變換與解三角形專題對點練第13頁 1.(20xx全國,理17)abc的內角a,b,c的對邊分別為a,b,c.已知sin a+3cos a=0,a=27,b=2.(1)求c;(2)設d為bc邊上一點,且adac,求abd的面積.解 (1)由已知可得tan a=-3,所以a=23.在abc中,由余弦定理得28=4+c2-4ccos23,即c2+2c-24=0,解得c=-6(舍去),c=4.(2)由題設可得cad=2,所以bad=bac-cad=6.故abd面積與acd面積的比值為12ab·ad·sin612ac

2、83;ad=1.又abc的面積為12×4×2sinbac=23,所以abd的面積為3.2.已知a,b,c分別為銳角三角形abc的內角a,b,c所對的邊,且3a=2csin a.(1)求角c;(2)若c=7,且abc的面積為332,求a+b的值.解 (1)由3a=2csin a及正弦定理得3sin a=2sin csin a.sin a0,sin c=32.abc是銳角三角形,c=3.(2)c=3,abc的面積為332,12absin 3=332,即ab=6.c=7,由余弦定理得a2+b2-2abcos 3=7,即(a+b)2=3ab+7.將代入得(a+b)2=25,故a+b

3、=5.3.(20xx河南商丘二模,理17)在abc中,角a,b,c的對邊分別為a,b,c,已知b(1+cos c)=c(2-cos b).(1)求證:a,c,b成等差數(shù)列;(2)若c=3,abc的面積為43,求c.(1)證明 b(1+cos c)=c(2-cos b),由正弦定理可得sin b+sin bcos c=2sin c-sin ccos b,可得sin bcos c+sin ccos b+sin b=2sin c,sin a+sin b=2sin c,a+b=2c,即a,c,b成等差數(shù)列.(2)解 c=3,abc的面積為43=12absin c=34ab,ab=16,由余弦定理可得c

4、2=a2+b2-2abcos c=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab,a+b=2c,可得c2=4c2-3×16,解得c=4.4.(20xx河南六市聯(lián)考二模,理17)已知在abc中,角a,b,c的對邊分別為a,b,c,且asin b+bcos a=0.(1)求角a的大小;(2)若a=25,b=2,求abc的面積.解 (1)在abc中,由正弦定理得sin a·sin b+sin b·cos a=0,即sin b(sin a+cos a)=0,又角b為三角形內角,sin b0,所以sin a+cos a=0,即2sina+4=0,又因為a(0,),所以a=34.(2

5、)在abc中,由余弦定理得a2=b2+c2-2bc·cos a,則20=4+c2-4c·-22,即c2+22c-16=0,解得c=-42(舍)或c=22,又s=12bcsin a,所以s=12×2×22×22=2.5.(20xx四川成都二診,理17)如圖,在梯形abcd中,已知a=2,b=23,ab=6,在ab邊上取點e,使得be=1,連接ec,ed.若ced=23,ec=7.(1)求sinbce的值;(2)求cd的長.解 (1)在cbe中,由正弦定理得cesinb=besinbce,sinbce=besinbce=1×327=211

6、4.(2)在cbe中,由余弦定理得ce2=be2+cb2-2be·cbcos23,即7=1+cb2+cb,解得cb=2.由余弦定理得cb2=be2+ce2-2be·cecosbec,cosbec=277,sinbec=217,sinaed=sin23+bec=32×277-12×217=2114,cosaed=5714,在rtade中,ae=5,aede=cosaed=5714,de=27,在ced中,由余弦定理得cd2=ce2+de2-2ce·decos23=49,cd=7.導學號168041836.(20xx江西宜春二模,理17)如圖,某生

7、態(tài)園將一塊三角形地abc的一角apq開辟為水果園,已知角a為23,ab,ac的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界ap,aq處建圍墻,在pq處圍竹籬笆.(1)若圍墻ap,aq總長度為200米,如何可使得三角形地塊apq面積最大?(2)已知竹籬笆長為503米,ap段圍墻高1米,aq段圍墻高2米,造價均為每平方米100元,若apaq,求圍墻總造價的取值范圍.解 設ap=x,則aq=200-x,sapq=12x(200-x)sin2334×20022=2 5003,當且僅當x=200-x時,取等號,即ap=aq=100時,sapq有最大值為2 5003平方米.(2)由正弦定理apsinaqp=aq

8、sinapq=pqsina,得ap=100sinaqp,aq=100sinapq.故圍墻總造價y=100(ap+2aq)=10 000(sinaqp+2sinapq)=10 0003cosaqp.因為apaq,所以6aqp<3,所以32<3cosaqp32.所以圍墻總造價(單位:元)的取值范圍為(5 0003,15 000.導學號168041847.已知向量a=cos2+x,sin2+x,b=(-sin x,3sin x),f(x)=a·b.(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期及f(x)的最大值;(2)在銳角三角形abc中,角a,b,c的對邊分別為a,b,c,若fa2=1,a

9、=23,求abc面積的最大值.解 (1)易得a=(-sin x,cos x),則f(x)=a·b=sin 2x+3sin xcos x=12-12cos 2x+32sin 2x=sin2x-6+12,f(x)的最小正周期t=22=,當2x-6=2+2k(kz)時,即x=3+k(kz),f(x)取最大值是32.(2)fa2=sina-6+12=1,sina-6=12,a=3.a2=b2+c2-2bccos a,12=b2+c2-bc,b2+c2=12+bc2bc,bc12.(當且僅當b=c時等號成立)s=12bcsin a=34bc33.當abc為等邊三角形時面積最大,最大值是33.導

10、學號168041858.(20xx陜西咸陽二模,理17)設函數(shù)f(x)=sin xcos x-sin2x-4(xr).(1)求函數(shù)f(x)的單調區(qū)間;(2)在銳角三角形abc中,角a,b,c所對的邊分別為a,b,c,若fc2=0,c=2,求abc面積的最大值.解 (1)函數(shù)f(x)=sin xcos x-sin2x-4(xr),化簡可得f(x)=12sin 2x-121-cos2x-2=sin 2x-12.令2k-22x2k+2(kz),則k-4xk+4(kz),即f(x)的遞增區(qū)間為k-4,k+4(kz),令2k+22x2k+32(kz),則k+4xk+34(kz).可得f(x)的遞減區(qū)間為k+4,k+34(kz).(2)由fc2=0,