初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)30：概念的分類

1、初中數(shù)學(xué)競賽精品標(biāo)準(zhǔn)教程及練習(xí)(30)概念的分類一、內(nèi)容提要1. 概念的分類是揭示概念的外延的重要方法。當(dāng)一個概念的外延有許多事物時，按照某一個標(biāo)準(zhǔn)把它分成幾個小類，能更明確這一概念所反映的一切對象的范圍，且能明確各類概念之間的區(qū)別與聯(lián)系。2. 概念分類必須用同一個本質(zhì)屬性為標(biāo)準(zhǔn)，把一種概念分為最鄰近的類概念。例如三角形可按邊的大小分類，也可用角的大小分類；又如整數(shù)可按符號性質(zhì)分為正、負(fù)、零，也可以按除以模m的余數(shù)分類。分別表示如下：整數(shù)整數(shù)整數(shù)整數(shù)3. 一種概念所分成的各類概念應(yīng)既不違漏，又不重復(fù)。即每一個被分的對象必須落到一個類，并且只能落到一個類。所分的各類概念的外延總和應(yīng)當(dāng)與被分的概念

2、的外延總和相等。例如正整數(shù)按下列分類是正確的正整數(shù)正整數(shù)如果只分為質(zhì)數(shù)和合數(shù)，則外延總和比正整數(shù)的外延??；如果分為奇數(shù)和偶數(shù)則外延總和比正整數(shù)外延大，因此都不對。又如等腰三角形的定義是：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。所以三角形按邊的大小分類應(yīng)是分成兩類：不等邊三角形和等腰三角形，而不能是三類：（不等邊，等腰，等邊）如果這樣，三邊相等的三角形將落入兩類（等腰，等邊），所以概念的分類與概念的定義有直接聯(lián)系。4. 二分法是常用的分類法。即把一種概念分為具有和不具有某種屬性。例如三角形平面內(nèi)兩條直線位置實數(shù)可分為：非負(fù)實數(shù)和負(fù)實數(shù)；四邊形可分為：平行四邊形和非平行四邊形等等。5. 從屬關(guān)系的概念

3、（上下位概念）是指一個概念的外延包含著另一個概念的外延。種概念與它所分的各類概念之間的關(guān)系就是從屬關(guān)系。例如：等邊三角形從屬于等腰三角形，而等腰三角形又從屬于三角形又如：代數(shù)式包含有理式和無理式，有理式包含整式和分式，整式包含單項式和多項式。其關(guān)系可圖示如下：1 / 6代數(shù)式三角形等腰三角形有理式等邊三角形整式單項式 6.并列關(guān)系的概念是兩個概念的外延互相排斥，互不相容。由同一種概念分成的各類概念之間的關(guān)系是并列關(guān)系的概念（同位概念）。例如：偶數(shù)和奇數(shù)；有理式和無理式；直角三角形、鈍角三角形和銳角三角形，它們之間的關(guān)系都是并列關(guān)系的概念?？蓤D示如下:7.交叉關(guān)系的概念是指兩個概念的外延有一部分

4、重疊。一種概念用不同的標(biāo)準(zhǔn)分類，所得的各類概念之間的關(guān)系可能就有交叉關(guān)系的概念。例如：正數(shù)和整數(shù)是交叉關(guān)系的概念，既是正數(shù)又是整數(shù)的數(shù)叫做正整數(shù)；等腰三角形和直角三角形也是交叉關(guān)系的概念，外延重疊的部分，叫做等腰直角三角形。圖示如下:二、例題30例1.把一元一次不等式ax>b(a,b是實數(shù)，x是未知數(shù))的解的集合分類。解：把實數(shù)a,b按正，負(fù)，零分類，得不等式解的集合如下：ax>b的解集例2.一個等腰三角形的周長是15cm,底邊與腰長的差為3cm，求這個三角形的各邊長。解：設(shè)底邊長為xcm,則腰長是cm 當(dāng)腰比底大時是x=3 x=36當(dāng)腰比底小時是x=3 x=7 =4答（略）例3.

5、化簡（2解：要使有意義，必須且只需x+10，即x1（2x+12x1當(dāng)1x<1時，原式（x1）+x10當(dāng)x1時，原式x 1x12x2化去分母根式時，要乘以，當(dāng)x=y 時，不能進(jìn)行。故當(dāng)x=y 時當(dāng)xy時例4.設(shè)a,b,c是三個互不相等的正整數(shù)求證：a3bab3,b3cbc3,ca3ca3三個數(shù)中，至少有一個能被10整除分析：102×5，只要證明三個數(shù)中，至少有一個含2和5質(zhì)因數(shù)即可，含2，可把a,b,c分為奇數(shù)和偶數(shù)兩類；含5，則要按除以5的余數(shù)分類。解：a3bab3=ab(a+b)(a-b) , b3cbc3=bc(b+c)(b-c), ca3ca3=ca(c+a)(c-a)

6、不論a,b,c三個數(shù)中有1個是偶數(shù)，或3個都是奇數(shù)（奇±奇偶），三個代數(shù)式所表示的數(shù)都是偶數(shù)，即含有質(zhì)因數(shù)2； a,b,c除以5的余數(shù)只有0，1，2，3，4五種。若有1個余數(shù)是0，則三個代數(shù)式所表示的數(shù)中必有1個含質(zhì)數(shù)5；若有2個余數(shù)相同，則它們的差的個位數(shù)字是0，也含有質(zhì)因數(shù)5；若既沒有同余數(shù)又沒有余數(shù)0，那么在4個余數(shù)1，2，3，4中任取3個，必有2個的和是5，即a+b,b+c,c+a中有1個含質(zhì)因數(shù)5。綜上所述a3bab3,b3cbc3,ca3ca3三個數(shù)中，至少有一個能被10整除。三、練習(xí)301. 把下列概念分類（一種或幾種） 實數(shù)有理式小于平角的角平面內(nèi)點與直線位置2. 把

7、一元一次方程ax=b(a,b是實數(shù))的解分類。3. 用二分法把下列概念分類（任舉一例） 整數(shù)方程角直角三角形四邊形4. 指出下列概念分類的錯誤平面內(nèi)兩直線的位置關(guān)系 有理數(shù)一元方程5. 解方程和不等式412x6.化簡：7.已知等腰三角形的一個外角等于150，求各內(nèi)角的度數(shù)。8. 已知方程無解，求a的值。9.第一組5人，第二組m人，從第一組調(diào)幾人到第二組，使第二組人數(shù)等于第一組人數(shù)的2倍？ 10.x取什么值時，x2 3x的值是正數(shù)？11. 有n個整數(shù)其積為n,其和是0。即求證：n是4的倍數(shù)12. 對任意兩個整數(shù)a和b.，試證明：a+b,a-b,ab三個數(shù)中至少有1個能被3整除13. 關(guān)于x的方程

8、ax+2有根且只有負(fù)根，則a的取值范圍是_14試證每個大于6的自然數(shù)n都可以表示為兩個大于1且互質(zhì)的自然數(shù)的和提示：按奇數(shù)和偶數(shù)分類練習(xí)30參考答案：2.ax=b解的分類3. 方程四邊形4.有理數(shù)垂直是相交的一種5. 1，3當(dāng)x2時，x-2>1-2x當(dāng)x<2時（x-2）>1-2x6. 7. 30，30，120；75，75，30。8.1，09.當(dāng)m=1時，調(diào)3人；m=2, 調(diào)2人；m=3,調(diào)1人10.x<0或x>3, 11. 把n 按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論，證明a1a2a3an中至少有2個偶數(shù)12.a,b中若有一個是3的倍數(shù)，則ab 能被3整除；若除3有同余數(shù)則a-b能被3整除；若除3余數(shù)分別為1和2，則a+b能被3整除.13. a1（見練習(xí)29第7題）14. 按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論 當(dāng)n為奇數(shù)時，設(shè)n=2k+1,k>2的整數(shù)，n=k+(k+1), k 和k+1互質(zhì)； 當(dāng)n為偶數(shù)時，設(shè)n=4k或4k+2, k>1的整數(shù)若n=4k=(2k+1)+(2k-1), 而2k+1和2