高三數(shù)學(xué)奧賽系列輔導(dǎo)資料：函數(shù)奧賽競(jìng)賽練習(xí)

1、函數(shù)奧賽競(jìng)賽練習(xí)一、選擇題1（ 2000 年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽）已知函數(shù)y=f(x)有反函數(shù)，現(xiàn)將y=f(2x-1)的圖象向左平移2 個(gè)單位，所得圖形表示的函數(shù)的反函數(shù)是（）3f1 ( x)A y23f1 ( x)B y2C yD y3f1 ( x)23f1 ( x)2二、填空題2（ 2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）函數(shù)yxx23x 2 的值域?yàn)?_。3（ 2001年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）不等式|12 |3 的解集為 _ 。log 1x224 （ 2001 年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽）函數(shù)f(x)對(duì)于任意非負(fù)實(shí)數(shù)x 、 y 都滿足f (x y 2 )f ( x) 2 f ( y)2 ，且 f(x) 0，

2、f(1) 0，則 f (23) =_。三、解答題5（ 2000 年北京市中學(xué)生數(shù)學(xué)競(jìng)賽）f(x)是定義在 R上的函數(shù)，對(duì)任意的 x R，都有 f(x+3) f(x)+3和 f(x+2) f(x)+2，設(shè) g(x)=f(x)-x，（ 1）求證 g(x) 是周期函數(shù)；（ 2）如果 f(998)=1002 ，求 f(2000) 的值。6（ 2000 年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽）若函數(shù)f ( x)1 x2 13 在區(qū)間 a ，b 上的最小值為222a，最大值為2b，求區(qū)間 a ， b 。7（第一屆“希望杯”全國邀請(qǐng)賽試題）求函數(shù)x 44x317x 226x 106f ( x)x22 x在區(qū)間 -1 ， 1 上

3、的值域。7用心愛心專心8（第九屆“希望杯”全國邀請(qǐng)賽試題）若實(shí)數(shù)x 滿足不等式x42x37x 28x120 。試求函數(shù)f ( x)| x4 |的最大值。x9（ 2000 年莫斯科師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽）作函數(shù)y| 2 x2 |2 x 的圖象。10（ 2000 年莫斯科師范大學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽）函數(shù)f (x) lg( xx 21) 是偶函數(shù)還是奇函數(shù)？11（第五屆北京高中數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用競(jìng)賽）中國青年報(bào)2001 年 3 月 19 日?qǐng)?bào)道：中國移動(dòng)通信將于 3月 21 日開始在所屬18 個(gè)省、市移動(dòng)通信公司陸續(xù)推出“全球通”移動(dòng)電話資費(fèi)“套餐”，這個(gè)：“套餐”的最大特點(diǎn)是針對(duì)不同用戶采取了不同的收費(fèi)

4、方法。具體方案如下：方案代號(hào)基本月租（元）免費(fèi)時(shí)間（分鐘）超過免費(fèi)時(shí)間的話費(fèi)（元/ 分鐘）130480 602981700 6031683300 5042686000 45538810000 40656817000 35778825880 30原計(jì)費(fèi)方案的基本月租為50 元，每通話一分鐘付0.4 元，請(qǐng)問：（ 1）“套餐”中第4 種收費(fèi)方式的月話費(fèi)y 與月通話量t （月通話量是指一個(gè)月內(nèi)每次通話用時(shí)之和，每次通話用時(shí)以分為單位取整計(jì)算，如某次通話時(shí)間為3分 20秒，按 4分鐘計(jì)通話用時(shí)）的函數(shù)關(guān)系式；（ 2）取第 4 種收費(fèi)方式，通話量多少時(shí)比原計(jì)費(fèi)方式的月通話費(fèi)省錢；（ 3）據(jù)中國移動(dòng)200

5、0 年公布的中期業(yè)績，每戶通話平均為每月320 分鐘，若一個(gè)用戶的通話量恰好是這個(gè)平均值，那么選擇哪種收費(fèi)方式更合算，并說明理由。參考答案1 A由于“抽象”沒有具體的函數(shù)表達(dá)式，使題目顯得有些難，化難為易的方法因而也就是化抽象為具體，不妨設(shè)f(x)=x+1 （這樣符合原題“f(x) 有反函數(shù)”的規(guī)定） 。于是以下用心愛心專心種種全具體化了。反函數(shù)是f 1 (x)x 1 ， f (2x 1)2x，向左平移2 個(gè)單位所得圖形表示的函數(shù) f1 (x)2( x2)2 x4。這個(gè)函數(shù)的反函數(shù)f11 (x)x2，再與 4 個(gè)選擇來對(duì)2照。A 項(xiàng) y3f1 ( x)是 y3x1x2 符合，222B 項(xiàng) y3

6、f1 ( x)是 y3x1x221不合，2C 項(xiàng) y3f1 ( x)3x1x1不合，2是 y22D 項(xiàng) y3f1 ( x)3x1x2 不合。故選 A。2是 y222 1, 3)2,)2y xx 23x 2x 23x 2 y x 0兩邊平方得 (2 y3) xy 22，從而 y3且 xy 22。22 y3由 y x yy220y 23y20 1 y3或 y 2。2y 32 y32任取 y 2，由 xy22，易知 x 2，于是 x 23x20 。2y3任取 1 y3，同樣由 xy2222y，易知 x 1。3于是 x23x20 。因此，所求函數(shù)的值域?yàn)?31,)2,)。3 (0,1)(1,2 7 )

7、(4,)|1x2| 3 等價(jià)于1x23 或1x23 。即1x1 或log 12log 12log 12log 122222用心愛心專心17 。log 1 x22此時(shí)， log 1 x2 或 log 1x2log 1 x 0 。0 或22722解為 x>4 或 0<x<1 或 1x27。2即解集為 (0,1)(1,27 )(4,) 。4 132這題 f(x)不容易具體化，但是它的值則是可以具體化的。例如設(shè)x=0，y=0。則由 f ( xy 2 )f ( x) 2 f ( y) 2 ，得 f ( 0)f (0)2 f ( 0) 2 ， 2 f (0) 20 ， f(0)=0 。再

8、設(shè) x=0， y=1。得 f (1)f (0)2 f (1) 2 ，以 f （0） =0 代入 2 f (1) 2f(1) ，已知 f(1) 0， f (1)1。2設(shè) x=1， y=1，得 f ( 2)f (1) 2 f (1) 2 ，即 f ( 2)1211。24設(shè) x=2， y=1，得 f (3)f ( 2)2 f (1) 2 ，f (3)1213。42設(shè) x=0， y3，得 32 f (3)2，2 f (3)3。2設(shè) x=0， y43 ，得 f ( 3)f ( 0)2 f (4 3) 2 ，用心愛心專心即32 f (4 3) 2 ， f (4 3) 23 。24至此可求f (23) ，f

9、 ( 23)f (2)2 f (4 3) 21 2313 。425解：本例的難度顯然又有增加，主要是難以具體化。只能在抽象的層面來解決問題（ 1） g(x)=f(x)-x，可得 g(x+2)=f(x+2)-x-2，g(x+3)=f(x+3)-x-3，再以 f(x+3)f(x)+3和 f(x+2) f(x)+2 代換，可得g( x 2)f (x) 2 x 2f (x) x ，g( x 3)f ( x) 3 x 3f ( x) x ，由可得 g(x+4) f(x+2)-x-2 f(x)+2-x-2=f(x)-x，g(x+6) f(x+2)-x-2 f(x)-x。由可得 g(x+6) f(x+3)-

10、x-3f(x)-x ，由、知 g(x+6)=f(x)-x=g(x)。 g(x) 是周期函數(shù)獲證（ 6 是它的一個(gè)周期）（ 2） 2000-998=1002 是 6 的整數(shù)倍，所以g(2000)=g(998)，即 f(2000)-2000=f(998)-998f(2000)=f(998)+1002=1002+1002=2004。本題的不同之處在于沒有“具體化”，而是利用 f(x+3) 與 f(x+2)的反復(fù)操作以求g(x+6)與 f(x)的關(guān)系，進(jìn)而得到g(x+6)=g(x)，以達(dá)到證明的目的。6解 f(x) 的最大值只能是 f (0)13的最小值只能是f(a) 或，或 f(a) ，或 f(b)

11、 ， f(x)2f(b) 其中之一，令 ymin2a ，且 ymax2b ，即可得關(guān)于 a、b 的方程組，解出a、 b 的值。當(dāng) a 值由負(fù)值增大到正值時(shí)，區(qū)間a ， b 在 x 軸上自左向右移動(dòng)，因此在求f(x)的最值時(shí)，須按區(qū)間 a ， b 的位置分類求解。用心愛心專心f(x) 圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為 (0,13)1132113f ( a)a 2， f (b)b2。2222（ 1）當(dāng) a<b<0 時(shí)，由 f(x) 在 a ， b 上單調(diào)遞增得，f(a)=2a ，且 f(b)=2b1a 2132a,即22113b22b.22于是 a、 b是二次方程 1x22x130 的兩個(gè)負(fù)根，但此方程

12、兩根異號(hào)，故區(qū)間a ，22b 不存在（ 2）當(dāng) a<0<b 時(shí)，f(x)在a ， 0 上單調(diào)遞增，在0 ， b 上單調(diào)遞減，因而f(x)在 x=0 處取得最大值，在區(qū)間端點(diǎn) x=a 或 x=b 處取得最小值，13即13即f (0)22b b4f (a)或f (b)2a0.則fb ，( )(4)()2322 14fa1a2132a ，( )22解得 a217 ，于是得區(qū)間 217, 13 。4（ 3）當(dāng) b>a 0 時(shí)由 f(x) 在 a ， b 上單調(diào)遞減得，f(a)=2b ，且 f(b)=2a ，1 a 2132b,即221 b2132a.22a1

13、a3解得3或（舍去）bb1即得區(qū)間 1 ， 3 。用心愛心專心綜上所述，所求區(qū)間為1 ，3或 217,1364427解： f ( x)x22x7x271。值域?yàn)?15,15 。2 x38解： x42x37x 28x12( x3)( x 2) (x 1)( x2) 。 f max 5 。9解：研究2 種情況。 2x20，即 x 1。于是y 2 x2 2x2 2 x2 。 2x20，即 x<1。于是y( 2x2) 2x2 。圖象如圖所示。10解：很明顯對(duì)于任一x R， xx210，由此 f(x)的定義域?yàn)?R。研究和 f (x)f ( x)lg(x21x)lg(x21x)lg( x 21x)

14、( x21x)lg 10 。因此，對(duì)任何x R， f(-x)=-f(x)，這表明f(x)是奇函數(shù)。2680 t60011解：（ 1） y0.45(t600)t600268（ 2）當(dāng) 0 t 600 時(shí)，解不等式 50+0.4t 268，得 545 t 600（ t N），當(dāng) t>600 時(shí)，解不等式50+0.4t 268+0.45(t-600)，得 600<t 1040(t N)，綜上， 545 t 1040 時(shí)（ t N），第 4 種收費(fèi)方式比原收費(fèi)方式的月通話費(fèi)省錢。（ 3）因?yàn)榘凑赵瓉淼氖召M(fèi)方式，320 分鐘收費(fèi)178 元（即 50+0.4 × 320），所以，不會(huì)選用心愛心專心擇