高中數(shù)學(xué)復(fù)合函數(shù)練習(xí)題

1、第一篇、復(fù)合函數(shù)問(wèn)題一、復(fù)合函數(shù)定義：設(shè)y=f(u)的定義域?yàn)锳, u=g(x)的值域?yàn)锽,若A B,則y關(guān)于x函數(shù)的y=fg(x)叫做函數(shù)f與g的復(fù)合函數(shù)，u叫中間量.二、復(fù)合函數(shù)定義域問(wèn)題：(一)例題剖析：(1)、已知f(x)的定義域，求f g(x)的定義域思路：設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈,即x D ,所以f的作用范圍為D,又f對(duì)g(x)作用，作用范圍不變，所以g(x) D ,解得x E , E為f g(x)的定義域。例1.設(shè)函數(shù)f (u)的定義域?yàn)?0,1),則函數(shù)f (ln x)的定義域?yàn)椤＝馕觯汉瘮?shù)f (u)的定義域?yàn)?0, 1)即u (0, 1),所以f的作用范圍為(0, 1)又f

2、對(duì)lnx作用，作用范圍不變，所以0 1nxi解彳導(dǎo)x (1, e),故函數(shù)f (1n x)的定義域?yàn)?1, e)1一，例2.若函數(shù)f (x),則函數(shù)f f (x)的定義域?yàn)?x 11解析：由f(x)，知x 1即f的作用氾圍為 x R|xx 1f (x)R且f(x)1 ,即f f (x)中x應(yīng)滿足x 1 f(x)1 ，又f對(duì)f(x)作用所以R|x 1 且x 23E ,所以f的作用范圍為E,又f對(duì)(2)、已知f g(x)的定義域，求f (x)的定義域思路：設(shè)f g(x)的定義域?yàn)镈,即x D ,由此得g(x)作用，作用范圍不變，所以 x E, E為f (x)的定義域。例3.已知f (3 2x)的定

3、義域?yàn)閤 1,2,則函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?。解析：f (3 2x)的定義域?yàn)?, 2 ,即x 1, 2 ,由此得3 2x 1, 5即函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?, 52例4.已知f (x2 4) 1g x ,則函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?。x2 822xx解析：先求f的作用范圍，由f(x2 4) 1g，知三 0 f(x)的定義域?yàn)閤 8 x 8(4,(3)、已知f g(x)的定義域，求f h(x)的定義域思路：設(shè)f g(x)的定義域?yàn)镈,即x D,由此得g(x) E, f的作用范圍為E,又f對(duì)h(x) 作用，作用范圍不變，所以h(x) E ,解得x F , F為f h(x)的定義域。例5.若函數(shù)f

4、(2x)的定義域?yàn)?, 1，則f (log 2 x)的定義域?yàn)椤Ｒ?xx 1解析：f (2 )的定義域?yàn)?, 1 ,即x 1,1,由此得2 , 2f的作用范圍為 一，22又f對(duì)log2 x作用，所以log2 x<2, 4即f (log 2 x)的定義域?yàn)?<2 , 4(二)同步練習(xí)：21、已知函數(shù)f (x)的定義域?yàn)?,1,求函數(shù)f(x )的定義域。答案：1, 12、已知函數(shù)f (3 2x)的定義域?yàn)?3, 3,求f(x)的定義域。答案： 3, 9,1c、3、(,0)(1,)3、已知函數(shù)y f(x 2)的定義域?yàn)?1, °),求f(|2x 1|)的定義域。答案：22三、復(fù)

5、合函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題(1)引理證明已知函數(shù)y f (g(x).若u g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，其值域?yàn)?c , d),又函數(shù)y f (u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，那么，原復(fù)合函數(shù) y f (g(x)在區(qū)間(a,b )上是增函數(shù).證明：在區(qū)間(a,b)內(nèi)任取兩個(gè)數(shù)x1, x2,使ax1 x2 b因?yàn)閡 g(x)在區(qū)間(a,b)上是減函數(shù)，所以g(x1)g(x2)，記u1g(x1 ) , u2g (x2)即 u1u2,且 u1,u2(c, d)因?yàn)楹瘮?shù)y f (u)在區(qū)間(c,d)上是減函數(shù)，所以f(u1) f仇)，即f (g(x)f(g(x2),故函數(shù)yf (g (x)在區(qū)間(a,b)

6、上是增函數(shù).(2).復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性是由兩個(gè)函數(shù)共同決定。為了記憶方便，我們把它們總結(jié)成一個(gè)圖表：y f (u)增/減u g(x)增/減增/減y f (g(x)增/減減增/以上規(guī)律還可總結(jié)為：“同向得增，異向得減”或“同增異減”(3)、復(fù)合函數(shù)y f (g(x)的單調(diào)性判斷步驟:i確定函數(shù)的定義域；ii將復(fù)合函數(shù)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單函數(shù)：y f(u)與u g(x)iii分別確定分解成的兩個(gè)函數(shù)的單調(diào)性；iv 若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同(即都是增函數(shù)，或都是減函數(shù))，則復(fù)合后的函數(shù)y f(g(x)為增函數(shù)；若兩個(gè)函數(shù)在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上的單調(diào)性相異(即一個(gè)是增函數(shù)，而另一個(gè)是減

7、函數(shù))，則復(fù)合后的函數(shù) yf (g(x) 為減函數(shù)。(4)例題演練2例1、求函數(shù)y log1(x 2x 3)的單調(diào)區(qū)間，并用單調(diào)定義給予證明2解：定義域 x2 2x 3 0 x 3或x1。單調(diào)減區(qū)間是(3,)xi , x2(3,)且X1,2x2 則 y1 10gl (x12x1 3)2,2V2 log (x22x2 3)2(x12 2x1 3)(x22 2x2 3) = (x2 x1)(x2x12)X2x13x2 x101 又底數(shù)012_.22x2 x1 2 0 (x12x1 3) >(x2 2x2 3)y2y10即 y2y1 y在(3,)上是減函數(shù).同理可證：y在(，1)上是增函數(shù).例

8、2、討論函數(shù)f(x) 1oga(3x2 2x 1)的單調(diào)性.1.解由3x2 2x 1 0得函數(shù)的定義域?yàn)閤|x 1,或x-.3則當(dāng)a 1時(shí)，若x 1 , u 3x2 2x 1為增函數(shù)，：f (x) 1oga(3x2 2x 1)為增函數(shù).一 1右 xu 3x2 2x 1 為減函數(shù).：f(x) 1oga(3x2 2x 1)為減函數(shù)。1當(dāng)0 a 1時(shí)，右x 1 ,則f(x) log a(3x2 2x 1)為減函數(shù)，右x ，則3f(x) 1oga(3x2 2x 1)為增函數(shù).(5)同步練習(xí):1,函數(shù)y= log i (x2 3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間是()2A. (8, 1) B. (2,十)C. (8

9、,3)D.(3，+8)答案：B222找出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.22-Z 1(1) y a x 3x 2(a 1); (2) y2、x 2x 3.，一 ,3_3答案：(1)在(，q上是增函數(shù)，在萬(wàn)，)上是減函數(shù)。(2)單調(diào)增區(qū)間是1,1,減區(qū)間是1,3 o3、討論y loga(ax 1),(a 0,且a 0)的單調(diào)性。答案：a 1,時(shí)(0,)為增函數(shù)，1 a 0時(shí)，(，0)為增函數(shù)。變式練習(xí)一、選擇題1 .函數(shù)f (x) = Jog 1 (x 1)的定義域是()A. (1,十)B. (2,十)C. (8, 2)D. (1,2解析：要保證真數(shù)大于0,還要保證偶次根式下的式子大于等于0,x 1>

10、0所以 10g1(x 1)0 解彳<1<x<2-答案：D2)D. ( , + °°)2(x) = x2+ 3x+ 2,函數(shù) t (x)在(一8,1)2 .函數(shù)y= log 1 (x2 3x+2)的單調(diào)遞減區(qū)間是(2A. (-8, 1)B. (2,+8) C. (-8,)2解析：先求函數(shù)定義域?yàn)?o, 1) U (2,十8),令ty= log 1 (x2 3x+ 2)在2上單調(diào)遞減，在(2,十8)上單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的原則，函數(shù)(2,十8)上單調(diào)遞減.答案：B3 .若 2 1g (x 2y) = lg x+ lg y,則 X 的值為()A. 4B

11、. 1 或'C. 1 或 4 D. 4 4y1x錯(cuò)解：由 2 1g (x2y) = lg x+ lg y,得(x-2y) 2= xy,解得 x=4y 或 x=y,則有 上=一或一=x4y1.答案：選B正解：上述解法忽略了真數(shù)大于 0這個(gè)條件，即x-2y>0,所以x>2y.所以x=y舍掉.只有x=4y.答案：D4.若定義在區(qū)間(一1, 0)內(nèi)的函數(shù)f (x) = log 2a (x + 1)滿足f (x) >0,則a的取值范圍為()A. (0, 1) B. (0, 1) C.(-,十D. (0,十8)222解析：因?yàn)閤G ( 1, 0),所以x+1 G (0, 1).當(dāng)

12、f (x) >0時(shí)，根據(jù)圖象只有 0<2a<l,解得0<a< 1 (根據(jù)本節(jié)思維過(guò)程中第四條提到的性質(zhì)).答案：A2(-1)的圖象關(guān)于()1 xB. x軸對(duì)稱C.原點(diǎn)對(duì)稱 D.直線y=x對(duì)稱2. 1+ x. 1 + x . 1+ xT) = lg,所以為奇函數(shù).形如 y= lg或y= lg的函數(shù)都1x1 x1 x 1 x5.函數(shù)y= lgA. y軸對(duì)稱解析：y=lg (為奇函數(shù).答案：C二、填空題已知y= log a ( 2 ax)在0, 1 上是x的減函數(shù)，則a的取值范圍是 .解析：a>0且a，1(x) =2 ax是減函數(shù)，要使 y= log a (2 a

13、x)是減函數(shù)，則a>1 ,又22 ，-ax>0 a< (0<x< 1)a<2,所以 a (1, 2).答案：a (1, 2)37 .函數(shù)f (x)的圖象與g (x) = ( 1 ) x的圖象關(guān)于直線y = x對(duì)稱，則f (2x x2)的單調(diào)遞減區(qū)間3為.解析：因?yàn)閒 (x)與g (x)互為反函數(shù)，所以f (x) = 10gl x3則 f (2x x2) = 10gl (2xx2),令(x) =2xx2>0,解得 0Vx<2.3(x) =2xx2在(0, 1)上單調(diào)遞增，則f (x)在(0,1)上單調(diào)遞減；(x) =2xx2在(1, 2)上單調(diào)遞減

14、，則f (x)在1,2)上單調(diào)遞增.所以f (2x x2)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0, 1). 答案：(0, 1)8 .已知定義域?yàn)?R的偶函數(shù)f (x)在0,上是增函數(shù)，且 f (1)=0,2則不等式f (l0g4x)的解集是.解析：因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以f () =f ( 1)=0.又f (x)在0,上是增函數(shù)，所22以 f (x)在(8, 0)上是減函數(shù).所以 f (log4x) > 010g4x> 工或 10g4x<.-1 一 1解得x>2或0<x< . 答案：x>2或0<x< 22三、解答題23 2x10.設(shè)函數(shù)f (x)=+1g

15、,3x+53+ 2x(1)求函數(shù)f (x)的定義域；(2)判斷函數(shù)f (x)的單調(diào)性，并給出證明；(3)已知函數(shù)f (x)的反函數(shù)f1 (x),問(wèn)函數(shù)y=f 1 (x)的圖象與x軸有交點(diǎn)嗎？若有，求出交點(diǎn)坐 標(biāo)；若無(wú)交點(diǎn)，說(shuō)明理由.解:3 2x3+ 2x>0,解得x，一。且 < x< .取交集得一2<x< 322(2)令(x) =3x+5,隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù);3 2x6=-1+ 隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù).3+ 2x3+ 2x3- 2x 2又y = lgx在定義域內(nèi)是增函數(shù)， 根據(jù)復(fù)合單調(diào)性可知，y= lg是減函數(shù)，

16、所以f(x)=3+ 2x3x+ 53 2x十1g是減函數(shù).3+ 2x(3)因?yàn)橹苯忧骹 (x)的反函數(shù)非常復(fù)雜且不易求出，于是利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系求解.設(shè)函數(shù)f (x)的反函數(shù)1 (x)與工軸的交點(diǎn)為(xo, 0).根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系2 可知，f (x)與y軸的交點(diǎn)是(0, xo),將(0, xo)代入f (x),解得xo=.所以函數(shù)y=f 1 (x)的圖5象與x軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)為(2,0)。5一.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù).同底的指數(shù)函數(shù) y ax與對(duì)數(shù)函數(shù)y log ax互為反函數(shù);(二)主要方法:1 .解決與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，要特別重視定義域；2 .指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性決定于底數(shù)大于1還是小于1,要注意對(duì)底數(shù)的討論；3 .比較幾個(gè)數(shù)的大小的常用方法有：以0和1為橋梁；利用函數(shù)的單調(diào)性；作差.(三)例題分析：2b例1.(1)右a b a 1,則10gb ，10gba , logab從小到大依次為 ;a_ x _ y _ z(2)若235 ,且x, y , z都是正數(shù)，則2x, 3y , 5z從小到大依次為 8x x設(shè)x