高中三角函數(shù)復(fù)習(xí)專題

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載函性數(shù)ysin x質(zhì)圖象定義域R值域1,1當(dāng) x2kk2時， ymax1；最值當(dāng) x2k2k時， ymin1周期性2奇偶性奇函數(shù)在 2k, 2k22k 上是增函數(shù)；在ycosxR1,1當(dāng) x2kk時，ymax1；當(dāng) x 2kk時， ymin12偶函數(shù)在2k,2 kk上是增函數(shù)；在ytan xx xk,k2R既無最大值也無最小值奇函數(shù)在k, k單調(diào)性2k, 2k32k ,2 k22k上是增函數(shù)22k 上是減函數(shù)對稱中心k ,0kk 上是減函數(shù)對稱中心對稱中心對稱軸對稱性xkk2abc正弦定理：sin Asin Bsin Ck,0kk2,0 k2對稱軸 xkk無對稱軸2R （ R

2、為ABC 外接圓半徑）學(xué)習(xí)必備歡迎下載面積公式： S ABC1112abssin Cac sin Bbcsin A22c o sAb2c2a22222bc cos A2b cabca2c2b2余弦定理：b2a2c22ac cos Bc o sBc2a2b22ab cosC2a cc o sCa2b2c22a b兩角和公式sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinBsin(A-B) = sinAcosB-cosAsinBcos(A+B) = cosAcosB-sinAsinBcos(A-B) = cosAcosB+sinAsinBtanAtanBtanA tanBtan(A+B) =

3、tan(A-B) =1- tanAtanB1 tanAtanB倍角公式2tanASin2A=2SinA?CosACos2A =tan2A =1 tan2 ACos2 A-Sin2A=2Cos2A-1=1-2sin2A公式一：sin（2k）= sin cos（ 2k）= cos tan（2k）= tan 公式二：sin（）= -sincos（）= -cos tan（）= tan 公式三：sin（-） = -sin cos（-）= cos tan（-） = -tan 公式六：sin（ -）= cos cos（ -）= sin 22三、例題集錦：考點一： 三角函數(shù)的概念學(xué)習(xí)必備歡迎下載1.（2011

4、年東城區(qū)示范校考試文）如圖，設(shè)A是單位圓和x 軸正半軸的交點，P、 Q是15單位圓上的兩點，O 是坐標(biāo)原點，AOP， AOQ,0,6（1）若 Q(3, 4) ，求 cos的值；（2）設(shè)函數(shù) fOP OQ ，求 f的值域5562（ 2011 年西城期末文15）已知函數(shù) f ( x)3 sin 2x2sin 2 x . （）若點 P(1, 3)在角的終邊上，求 f () 的值； （）若 x, ，求 f (x) 的值域 .63考點二： 三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)3. （ 2011 年東城區(qū)期末文 15）函數(shù) f ( x)Asin( x ) ( A0,0,| | ) 部分圖象2如圖所示（）求 f ( x)

5、的最小正周期及解析式； （）設(shè) g (x)f (x)cos2x ，求函數(shù) g (x)在區(qū)間 x 0, 上的最大值和最小值y213ox61考點三、四、五： 同角三角函數(shù)的關(guān)系、誘導(dǎo)公式、三角恒等變換4（ 2010 年海淀期中文 16）已知函數(shù)f ( x) sin(2 x) cos2 x . （ 1）若 f ( )1，求6學(xué)習(xí)必備歡迎下載sincos 的值；（ 2）求函數(shù) f (x) 的單調(diào)增區(qū)間 . （3）求函數(shù)的對稱軸方程和對稱中心5. （ 2011 年豐臺區(qū)期末文 15）已知函數(shù) f ( x) 2sinx cos x 2cos 2x（ xR，0 ），相鄰兩條對稱軸之間的距離等于（）求 f (

6、 ) 的值；（）當(dāng)24x，時，求函數(shù) f (x) 的最大值和最小值及相應(yīng)的x 值026、（ 2011 朝陽二模文15）已知函數(shù)f ( x)2sin x sin(x)2sin 2 x1(xR ) .2（）求函數(shù)f ( x) 的最小正周期及函數(shù)f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若x02， x0， 求 cos 2x0 的值 .f ()(,)23447、（ 2011 東城二模問15）（本小題共 13 分）已知 sin( A7 2)10，A(,) 442（）求 cosA 的值；（）求函數(shù) f ( x) cos2x5sin Asin x 的值域2學(xué)習(xí)必備歡迎下載考點六： 解三角形8（ 2011 年朝陽期末文

7、15）已知 ABC 中， 2sin AcosBsin C cosB cosC sin B .（）求角B的大小；（）設(shè)向量 m(cos A, cos2A) ，n(12, 1)5，求當(dāng) m n 取最小值時， tan( A)值 .49（ 2011 年石景山期末文15）已知函數(shù)f ( x)3 sin 2 xsin x cos x3xR 2（） 求 f () 的值；（）若 x(0,) ，求 f (x) 的最大值；（）在ABC 中，若 AB ，42f ( A)f ( B)1 ，求 BC 的值2AB10、（ 2011東城一模文15）在 ABC中，角 A ， B ，C 的對邊分別為 a ， b ， c 分，且

8、滿足 2c bcos B （）求角 A 的大小；（）若 a2 5 ，求 ABC 面積的最大值acos A11、(2011 豐臺一模文15). 在 ABC 中，a，b，c 分別為內(nèi)角A，B，C 的對邊，且 b2+c2- a2=bc（）求角 A 的大?。唬ǎ┰O(shè)函數(shù) f ( x)3 sin x cos xcos2 x ，當(dāng) f ( B) 取最大222值 3 時，判斷 ABC 的形狀2學(xué)習(xí)必備歡迎下載12、 (2011海淀一模文 15).在ABC中，內(nèi)角A BC所對的邊分別為a,b, c，已知、 、1， tan C11 .tan B，且 c23( )求 tan A ；()求ABC 的面積 .13、（

9、2011 石景山一模文15）在ABC中，角A，BC所對應(yīng)的邊分別為a ，b，c ，且4sincos2C，2 AB722（）求角 C 的大??；（）求 sin Asin B 的最大值例題集錦答案：1. （ 2011 年東城區(qū)示范?？荚?yán)?5）如圖，設(shè)A 是單位圓和x 軸正半軸的交點，P、 Q 是單位圓上的兩點，O 是坐標(biāo)原點，AOP，AOQ,0,6學(xué)習(xí)必備歡迎下載（1）若 Q(3, 4) ，求 cos的值；（2）設(shè)函數(shù) fOP OQ ，求 f的值域556單位圓中的三角函數(shù)定義解：（）由已知可得cos3 , sin4 2 分55YQPcos6cos cossinsin 3 分6633415252 4

10、 分33410XOA（） fOP OQcos ,sincos ,sin 6 分663 cos1 sin 7 分22sin8 分30, ),4) 9 分3333sin13 12 分2f的值域是3 ,1 13分22（ 2011 年西城期末理15）已知函數(shù) f ( x)3 sin 2x2sin2 x . （）若點 P(1, 3)在角的終邊上，求f () 的值； （）若 x, ，求f (x) 的值域 .63三角函數(shù)一般定義解：（）因為點P(1,3) 在角的終邊上，所以 sin3， cos1， 2 分22所以 f ( )3 sin 22sin 223 sincos2sin 2 4 分23(3)12(3

11、)23 . 5 分222學(xué)習(xí)必備歡迎下載（） f (x)3 sin 2x2sin 2 x3sin2 xcos 2x1 6 分2sin(2 x)1， 8 分65因為 x, ，所以2x 10 分6，6366所以1)1 ， 11 分sin(2 x26所以 f (x) 的值域是 2,1 . 13 分3. （ 2011 年東城區(qū)期末理15）函數(shù) f ( x)Asin( x ) ( A0,0,| | ) 部分圖象2如圖所示（）求 f ( x) 的最小正周期及解析式； （）設(shè) g (x)f (x)cos2x ，求函數(shù) g (x)在區(qū)間 x0, 上的最大值和最小值2解：（）由圖可得A 1，T26，232所以

12、T2 分y13ox61所以2 當(dāng) x時， f (x)1 ，可得 sin(26) 1 ，6因為 |，所以5分26所以 f (x) 的解析式為f (x)sin(2 x) 6分6（） g (x)f ( x)cos2xsin(2 x)cos 2xsin 2x coscos2xsincos2x6663 sin 2x1 cos 2xsin(2 x) 10分226因為0x，所以2x52666當(dāng) 2x6，即 x時， g( x) 有最大值，最大值為1；23當(dāng) 2x，即 x0 時， g( x) 有最小值，最小值為16 13 分62T相鄰平衡點 （最值點） 橫坐標(biāo)的差等； | 2；1 ymaxymin ; - 代點

13、法2T24（ 2010 年海淀期中文16）已知函數(shù) f ( x)sin(2 x)cos2 x . （ 1）若 f ( )1，求6sincos的值；（ 2）求函數(shù) f (x) 的單調(diào)增區(qū)間 . （3）求函數(shù)的對稱軸方程和對稱中心學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：（ 1） f ( x)sin 2x cos6cos2x sin1 cos2x .3分（只寫對一個公式給2 分）623 sin 2x1.5分22由 f ( )1，可得 sin 23分.73所以 sincos1 sin 2.8分3.9 分26（ 2）當(dāng)kx2k, kZ，換元法.112222即 x4k ,4k, kZ 時， f (x) 單調(diào)遞增 .所以，函數(shù)

14、f ( x) 的單調(diào)增區(qū)間是 4k,k, kZ. 13分45. （ 2011 年豐臺區(qū)期末理15）已知函數(shù) f ( x)2sinx cosx2cos 2x（ xR，0 ），相鄰兩條對稱軸之間的距離等于2（）求 f ( ) 的值；（）當(dāng)4x，時，求函數(shù)f (x)的最大值和最小值及相應(yīng)的x 值02解：（） f (x)sin 2x cos2x 12 sin(2x)1 意義4分T4因為2，所以T，1 6分2所以f ( x)2 sin(2 x)1所以f () 0 7分44（）()2 sin(2)1fxx4當(dāng) x0,時，2x3無范圍討論扣分244，4所以 當(dāng) 2x4，即 x時， f (x)max2 1，

15、10分28當(dāng) 2x44，即 x0 時， f ( x)min2 13 分6、（ 2011 朝陽二模理15）已知函數(shù) f ( x)2sin x sin(x)2sin 2 x 1 (x R ) .2（）求函數(shù)f ( x) 的最小正周期及函數(shù)f (x) 的單調(diào)遞增區(qū)間；（）若 f ( x0 )2x0( 求 cos 2x0的值 .，,)，234 4學(xué)習(xí)必備歡迎下載解 : f (x)2sin x cos x2sin 2 x11 分sin 2xcos2 x2 分2 sin(2 x和差角公式逆用 3 分) .4（）函數(shù) f ( x) 的最小正周期T2 5 分2.2x2kZ ) ，6 分令 2k4(k22所以

16、2k32x 2k即 k344.8 x k .8所以，函數(shù)f ( x) 的單調(diào)遞增區(qū)間為k3kZ) . 8 分,(k88（）解法一：由已知得f ( x0 )sin x0cos x02， 9 分23兩邊平方，得 1sin 2x02所以sin2x079同角關(guān)系式 11 分9 2x0(,因為 x0 (,) ，所以) .4422所以 cos2x01 (7)242.13 分99x0 (0, 9 分解法二：因為(,) ，所以 x0) .4442又因為 f ( x0 )2 sin(2x02 sin( x02)3，2244得 sin( x0110 分).43所以 cos(x011)22211 分)(3.43所以

17、， cos2xsin(2 x)sin2( x2sin( x00)0)cos(x0)204442 12242.誘導(dǎo)公式的運用3397、（ 2011 東城二模理15）（本小題共13 分）已知 sin( A72 )， A( ,) 41042（）求 cosA 的值；（）求函數(shù)f ( x)cos2x5 sin Asin x 的值域2學(xué)習(xí)必備歡迎下載解：（）因為sin( A724A2，且)，410所以 322A44， cos(A)410角的變換 因為 cos Acos( Asin( A)cos(A)cos)sin444444227223 所以 cos A3 6分10210255（）由（）可得sin A45

18、所以 f ( x)cos2x5 sin Asin x 此結(jié)構(gòu)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題212sin 2 x 2sin x2(sin x1 )23， xR 22因為 sin x 1,1，所以，當(dāng) sin x1時， f ( x)2當(dāng) sin x1時， f ( x)取最大值3 ；2取最小值3 3所以函數(shù)f ( x) 的值域為 3, 28（ 2011 年朝陽期末理 15）已知 ABC 中， 2sin AcosBsin C cosBcosC sin B .（）求角 B 的大??；（）設(shè)向量 m (cos A,cos2A) ， n(12 , 1)，求當(dāng) m n 取最5小值時， tan( A) 值 .4解：（）因

19、為 2sin AcosBsin C cosBcosC sin B ，和差角公式逆用所以 2sin A cos B sin( BC )sin(A)sin A .3分因為0 < A < p ，所以 sin A 1 01 5分. 所以 cos B.2因為0 < B < p ，所以 B. 7 分12 cos A3（）因為 m ncos2 A ，8分5所以 m n12 cos A 2cos 2 A 12(cos A3) 243.10 分5525所以當(dāng) cos A3時， m n 取得最小值 .5此時 sin A44同角關(guān)系或三角函數(shù)定義 12 分（ 0 < A < p

20、），于是 tan A.53學(xué)習(xí)必備歡迎下載所以 tan(A)tan A11 . 13分4tan A179（ 2011 年石景山期末理15）已知函數(shù) f ( x)3 sin 2xsin x cos x3xR2（） 求 f () 的值；（）若 x(0,) ，求 f (x) 的最大值；（）在ABC 中，若 AB ，42f ( A) f ( B)1，求 BC 的值2AB解：（） f ()3 sin 24sincos314分44422（） f (x)3(1 cos2x)1 sin 2 x32221sin 2x3 cos 2xsin(2 x3) 6 分220x，2x23323當(dāng) 2x5時， f ( x)

21、的最大值為18 分32時，即 x12（）f ( x)sin( 2x) ，3若 x 是三角形的內(nèi)角，則0x，32x353令 f ( x)1，得2sin(2 x)12 x3或 2x35，此處兩解3266解得 x或 x710 分4121由已知， A , B 是 ABC的內(nèi)角， AB 且 f ( A)f ( B)，2 A， B7，412 CAB11分6BCsin Asin2422 13分又由正弦定理，得ABsin Csin16210、（ 2011 東城一模理 15）（本小題共13 分）在 ABC 中，角 A ， B ， C 的對邊分別為 a ， b ， c 分，且滿足 2cbcosB acos A學(xué)習(xí)

22、必備歡迎下載（）求角 A 的大?。唬ǎ┤?a25 ，求 ABC 面積的最大值解：（）因為 2cbcosB ，acos A所以 (2 cb) cos A a cos B由正弦定理 ，得 (2sin Csin B) cos Asin A cos B 邊化角整理得 2sin C cos Asin B cos Asin A cosB 所以 2sin Ccos A sin( AB)sin C 在 ABC 中， sin C0 所以 cos A1A，23（）由余弦定理b2c2a21， a25 cos A2bc2所以 b2c220 bc2bc20均值定理在三角中的應(yīng)用所以 bc20 ，當(dāng)且僅當(dāng) bc 時取“ =” 取等條件別忘所以三角形的面積 S1bc sin A53 2所以三角形面積的最大值為5 3 13 分11、(2011 豐臺一模理15). 在 ABC 中，a，b，c 分別為內(nèi)角 A，B，C 的對邊，且 b2+c2- a2=bc（）求角 A 的大小；（）設(shè)函數(shù)f ( x)3 sin x cos xcos2 x ，當(dāng) f ( B) 取最大222值 3 時，判斷 ABC 的形狀2解：（）在 ABC 中，因為b2+c2 - a2=bc，由余弦定理a2= b2+c2- 2bccosA可得 cosA=1 (余弦定理或公式必須有一個，否則扣1分) 3分2 0<A< ， （或?qū)懗?