一元二次方程知識(shí)點(diǎn)總結(jié)全——難易兩個(gè)部分

1、名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)第二章一元二次方程1、花邊有多寬（ 1）整式方程及一元二次方程的概念整式方程：方程兩邊都是關(guān)于未知數(shù)的整式；一元二次方程： 只含有一個(gè)未知數(shù) x 的整式方程， 并且都可以化作 ax2+bx+c=0(a,b,c 為常數(shù)， a 0)的形式。1一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為 1，未知數(shù)的最高次數(shù)為 2，整式方程，可化為一般形式；2只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)a0 時(shí)，整式方程ax2bxc0 才是一元二次方程。（ 2）一元二次方程的一般式及各系數(shù)含義一般式： ax2+bx+c=0(a,b,c 為常數(shù)， a 0)，其中， a 是二次項(xiàng)系數(shù)， b 是一次項(xiàng)系數(shù)， c 是常數(shù)項(xiàng)。2、配方法（ 1）直接

2、開平方法的定義利用平方根的定義直接開平方求一元二次方程的解的方法叫直接開平方法。（ 2）配方法的步驟和方法一、移項(xiàng)，把方程的常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)右邊；二、配，方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，把原方程2化為（ x+m ） =n(n 0) 的形式；三、直接用開平方法求出它的解。（ 1）求根公式2bb 24acb -4ac 0 時(shí)， x=2a(2) 求一元二次方程的一般式及各系數(shù)的含義一、將方程化為一元二次方程的一般ax2+bx+c=0(a,b,c 為常數(shù)， a 0)；二、計(jì)算2-4ac2b的值，當(dāng) b -4ac 0 時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根，否則方程無實(shí)數(shù)根；三、代入求根公式，求出方程的根；四、寫出方程的

3、兩個(gè)根。4、分解因式法（ 1）分解因式的概念當(dāng)一元二次方程的一邊為 0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)， 根據(jù) a·b=0，那么 a=0 或 b=0，這種解一元二次方程的方法稱為分解因式。（ 2）分解因式法解一元二次方程的一般步驟一、將方程右邊化為零；二、將方程左邊分解為兩個(gè)一次因式的乘積；三、設(shè)每一個(gè)因式分別為0，得到兩個(gè)一元二次方程；四、解這兩個(gè)一元二次方程，它們的解就是原方程的解。5、為什么是0.618（ 1）什么叫黃金比線段 AB 上一點(diǎn) C 分線段 AB 成兩條線段AC ， BC ，若 AC = BC ，則 C 點(diǎn)叫線段 AB 的黃金分割點(diǎn)，ABAC其中 AC 叫黃

4、金比，其值為0.618。AB（ 2）列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟一、審題；二、設(shè)求知數(shù)；三、列代數(shù)式；四、列方程；五、解方程；六、檢驗(yàn)；七、答名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)一、本章知識(shí)結(jié)構(gòu)框圖設(shè)未知數(shù)，列方程數(shù)學(xué)問題實(shí)際問題ax 2bxc0(a0)開平方法解方降程次配方法公式法分解因式法數(shù)學(xué)問題的解實(shí)際問題的答案b b 24ac檢 驗(yàn)x2a二、具體內(nèi)容1、一元二次方程的一般式： ax 2bx c0 ( a 0)， a 為二次項(xiàng)系數(shù)，b 為一次項(xiàng)系數(shù)，c 為常數(shù)項(xiàng)。2、一元二次方程的解法（ 1）直接開平方法（也可以使用因式分解法） x2a(a0)解為： xa (xa)2b(b0)解為： xab (axb

5、) 2c(c0)解為： axbc (axb) 2(cxd ) 2 ( a c )解為： axb(cxd)（ 2）因式分解法 ：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法如： ax 2bx0( a,b 0)x(axb) 0此類方程適合用提供因此，而且其中一個(gè)根為0x29 0( x 3)( x 3) 0x23x 0x(x 3) 03x(2 x1)5(2 x 1)0(3x5)(2 x1)0注意：提取整個(gè)因式的方法非常常見，解題的過程中一定要認(rèn)真觀察。x26x 9 4(x 3)244 x212 x 9 0(2 x 3)20x24x12 0(x6)( x2)02x25x1 20(x23x) (4 )0十字

6、相乘法非常實(shí)用，注意在解題的過程中多考慮。名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)（ 3）配方法二次項(xiàng)的系數(shù)為“1”的時(shí)候：直接將一次項(xiàng)的系數(shù)除于2 進(jìn)行配方，如下所示：x2Px q 0(xP)2(P)2q 022示例： x23x10( x3)2(3)21022二次項(xiàng)的系數(shù)不為“1”的時(shí)候：先提取二次項(xiàng)的系數(shù)，之后的方法同上：ax2bx c 0 ( a 0)a( x2 b x) c 0a( xb )2a ( b ) 2c 0a2a2aa( xb )2b2c( xb ) 2 b24ac2a4a2a4a2示例：1x22x101( x24x)101( x2) 2122102222備注： 實(shí)際在解方程的過程中，一般也只是針

7、對(duì)a 1 且 b 為偶數(shù)時(shí)，才使用配方法，否則可以考慮使用公式法來更加簡單。（4）公式法：一元二次方程 ax2bxc 0 ( a0) ，用配方法將其變形為： ( xb )2b24ac2a4a2當(dāng)b24ac0 時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根：xbb24ac1,22a 當(dāng)b24ac0 時(shí)，右端是零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)根：x1,2b2a 當(dāng)b24ac0 時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒有實(shí)根。注意： 雖然所有的一元二次都可以用公式法來求解，但它往往并非最簡單的，一定要注意方法的選用。備注：公式法解方程的步驟： 把方程化成一般形式：一元二次方程的一般式： ax2bx c 0 ( a0) ，并

8、確定出 a 、 b 、 c求出b24ac ，并判斷方程解的情況。代公式：xbb24ac（要注意符號(hào)）1,22a備注：一元二次方程的解題步驟：首先看方程中a,b, c 是否可以同時(shí)除以或者乘以一個(gè)非零的數(shù)，使得方程更加方便計(jì)算：如： 10x2100x50 0 （同除于 10）x2 10x 5 0 這樣更加方便計(jì)算。1 x21 x30 （同乘于 4，這樣二次項(xiàng)的系數(shù)為正整數(shù)，更方便計(jì)算）2x2x 3 0244四種求方程方法的一定要合理選用，依次按直接開平方、因式分解，配方法和公式法的順序考慮選用。可以考慮選用根與系數(shù)的關(guān)系對(duì)方程的根進(jìn)行適當(dāng)?shù)臋z驗(yàn)，同時(shí)對(duì)于應(yīng)用題中，一定要考慮根的實(shí)際意義，是否所有

9、的根都是方程的解。名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)3、根的判別式1了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（ 1）= b24ac（ 2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程ax2bx c 0 （ a0 ）a0當(dāng)0時(shí)方程有實(shí)數(shù)根；（當(dāng)a0a0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；）0時(shí)0時(shí)a0當(dāng)0時(shí)方程無實(shí)數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2常見的問題類型（ 1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（ 2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（ 3）應(yīng)用

10、判別式，證明一元二次方程根的情況例：求證：方程(a21) x22ax( a24)0 無實(shí)數(shù)根。4、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系法 1：一元二次方程ax 2bxc0 ( a0) 的兩個(gè)根為：xbb24ac , xbb24ac12a22a所以： x1x2bb24acbb24acb2a2a，ax1x2bb24acbb24ac( b) 2( b24ac) 24acc2a2a(2 a) 24a2a定理： 如果一元二次方程ax2bxc0 ( a 0) 定的兩個(gè)根為x1 , x2 ，那么：x1x2b , x1 x2caa法 2：如果一元二次方程ax 2bxc0 ( a0) 定的兩個(gè)根為x1, x2 ；那么a

11、x2bxc0a( xx1 )( xx2 )0兩邊同時(shí)除于 a ，展開后可得：x2b xc0x2( x1x2 ) x x1 x20x1 x2b ； x1 x2caaaa名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)法 3：如果一元二次方程ax 2bxc0 ( a0) 定的兩個(gè)根為x1, x2 ；那么ax12 bx1 c 0 ax22 bx2 c 0常用變形：x2b 得： x1（余下略）a2x22( x122x1 x2 ，1 1x1x2，( x12(x1 x2 )2x1x2 )x1x2x1 x2x2 )4x1 x2 ，| x1x2 |( x1x2 ) 24x1 x2 ，x1 x2 2x12 x2x1 x2 (x1x2 ) ，

12、x2x1x12x2 2(x1x2 )24x1 x2等x1x2x1x2x1x2練習(xí)：【練習(xí)1】若 x1 , x2 是方程 x22x20070 的兩個(gè)根，試求下列各式的值：(1)x12x22；(2)11；(3)( x15)( x25) ；(4) | x1 x2 | x1x2【練習(xí)2】已知關(guān)于 x 的方程 x2(k 1) x1 k 210 ，根據(jù)下列條件，分別求出k 的值4(1)方程兩實(shí)根的積為5；(2) 方程的兩實(shí)根x1 , x2 滿足 | x1 | x2 【練習(xí)3】已知 x1 , x2 是一元二次方程 4kx24kxk10 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根(1)k ，使 (2 x1x2 )( x12x2 )3k 的

13、值；若不存在，是否存在實(shí)數(shù)成立？若存在，求出2請(qǐng)您說明理由(2)求使x1x22 的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)k 的整數(shù)值x2x15、韋達(dá)定理相關(guān)知識(shí)（ 1 ）若一元二次方程ax 2bxc0(a0) 有兩個(gè)實(shí)數(shù)根 x1和 x2，那么 x1x2，x1x2。我們把這兩個(gè)結(jié)論稱為一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，簡稱韋達(dá)定理。（ 2 ） 如 果 一 元 二 次 方 程 x 2px q0 的 兩 個(gè) 根 是 x1和 x2 ， 則 x1x2，x1x2。（ 3）以 x1 和x2 為根的一元二次方程（二次項(xiàng)系數(shù)為1）是 x 2(x1x2 )x x1x20（ 4 ）在一元二次方程ax 2bxc0(a0) 中，有一根為0 ，則 c

14、；有一根為1 ，則名師總結(jié)精品知識(shí)點(diǎn)abc相反數(shù)，則 b；有一根為1，則a b c；若兩根互為倒數(shù),；若兩根互為則 c。（ 5）二次三項(xiàng)式的因式分解(公式法 )在分解二次三項(xiàng)式ax 2bxc 的因式時(shí)，如果可用公式求出方程ax 2bxc0(a0) 的兩個(gè)根x1 和x2 ，那么 ax 2bxca( xx1 )( xx2 ) 如果方程ax 2bxc0(a0) 無根 ,則此二次三項(xiàng)式ax 2 bx c 不能分解。6、一類特殊的二元一次方程的求解方法再探討ax2bxc0(a0)的兩個(gè)根為 x1, x2 ，那么：（ 1） p2 x2pbxc0( p0) 的兩個(gè)根為：x1 ， x2（原因留給大家自行思考）pp例 1： 49x235x1204 92, 3 57 5先求出方程： x25x12 0 的兩根為：7x1,25273，故原方程的根為：x1,21 (573 )5737214（ 2） x2qbxq2c0( q0) 的兩個(gè)根為： qx1 ， qx2例 2：x2700 x30000007 0 01 0 07 ,21 0 0(3 0 )300000先解得方程：x 27x300 的兩根為： x110, x23 ，所以原方程的兩個(gè)解為