【歸納】空間向量知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)(典藏版)

1、.空間向量與立體幾何學(xué)問點(diǎn)歸納總結(jié)一學(xué)問要點(diǎn)；1. 空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量；注：（1）向量一般用有向線段表示 同向等長(zhǎng)的有向線段表示同一或相等的向量；（2）向量具有平移不變性2. 空間向量的運(yùn)算；定義：與平面對(duì)量運(yùn)算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算如下（如圖）；.uuuruuuruuurrvuuuruuuruuurrruuurrOBOAABab; BAOAOBab ; OPaR運(yùn)算律： 加法交換律： abba加法結(jié)合律：數(shù)乘安排律：ab cabcabab運(yùn)算法就：三角形法就、平行四邊形法就、平行六面體法就3. 共線向量；（1） 假如表示空間向量的有向線段所

2、在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量或平行向量， a 平行于 b ，記作a / b ；（2） 共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a 、 b （ b 0 ）， a / b 存在實(shí)數(shù) ，使 a b ；（3） 三點(diǎn)共線： A、B、C 三點(diǎn)共線 <=> ABAC<=>OC xOAayOB其中xy1（4） 與 a 共線的單位向量為a4. 共面對(duì)量（1）定義：一般地，能平移到同一平面的向量叫做共面對(duì)量；說明：空間任意的兩向量都是共面的；r r（ 2）共面對(duì)量定理：假如兩個(gè)向量a, brrrrr不共線， p 與向量 a, b共面的條件是存在實(shí)數(shù)x, y 使rpxayb ；（3）

3、四點(diǎn)共面：如 A、B、C、P 四點(diǎn)共面 <=> APx ABy AC<=>OPxOAyOBzOC 其中 xyz1rr rr5. 空間向量基本定理：假如三個(gè)向量a, b, c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯獨(dú)rrrr的有序?qū)崝?shù)組x, y,z，使 pxaybzc ；r r rrr rr r r如三向量a,b,c不共面，我們把 a, b, c叫做空間的一個(gè)基底，a,b, c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底；推論：設(shè) O, A, B, C 是不共面的四點(diǎn)，就對(duì)空間任一點(diǎn)P ，都存在唯獨(dú)的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x, y, z，uuuruuuruuuruu

4、ur使OPxOAyOBzOC ；6. 空間向量的直角坐標(biāo)系：（1） 空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空 間直 角坐 標(biāo)系 Oxyz 中， 對(duì)空 間任 一點(diǎn) A ， 存在唯獨(dú)的有序?qū)崝?shù)組 x,y, z ， 使OAxiyizk，有 序?qū)?數(shù)組 x, y, z叫作向量 A 在空間直角坐標(biāo)系Oxyz 中的 坐標(biāo) ， 記作Ax, y, z， x 叫橫坐標(biāo)， y 叫縱坐標(biāo)， z 叫豎坐標(biāo)；注： 點(diǎn) A（x,y,z ）關(guān)于 x 軸的的對(duì)稱點(diǎn)為 x,-y,-z,關(guān)于 xoy 平面的對(duì)稱點(diǎn)為 x,y,-z.即點(diǎn)關(guān)于什么軸 / 平面對(duì)稱，什么坐標(biāo)不變，其余的分坐標(biāo)均相反；在 y 軸上的點(diǎn)設(shè)為 0,y,0,在平面 yOz

5、中的點(diǎn)設(shè)為 0,y,zr r r（2） 如空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量相互垂直， 且長(zhǎng)為1，這個(gè)基底叫單位正交基底， 用 i ,j , k 表示；空間中任一向量 axiy jzk=（x,y,z ）rrr（3） 空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：r如 arra1, a2 , a3 ， bb1,b2 ,b3 ，就 abra1b1 , a2b2 , a3b3 ，aba1r rb1, a2b2 , a3b3 ， aa1,a2,a3 R ，a ba1b1rra2b2a3b3 ，a / ba1b1,a2b2, a3b3R ，rraba1b1a2b2a3b30 ；uuur如 A x1, y1, z1 ，Bx2 ,y2

6、 , z2 ，就 AB x2x1, y2y1, z2z1 ；一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)； 定 比 分 點(diǎn) 公 式 ： 如Ax1,y1, z1 ，B x2 ,y2 , z2， APPB ， 就 點(diǎn)P坐 標(biāo) 為 x11x2 , y11y2 , z11z2 ；推導(dǎo)：設(shè)P（x,y,z）就xx1, yy1, zz1x2x, y2y, z2z , 明顯，當(dāng) P為 AB中點(diǎn)時(shí)，P x1x2 , y1y2 22, z1z2 2 ABC中， A（x1 , y1, z1）, B x2 ,y2 , z2 , C x3,y3 , z3 ，三角形重心P 坐標(biāo)為P x

7、1x23x3 , y1y2 2y3 , z1z2 2z3 ABC的五心：心 P：切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)；AP AB ABAC AC（單位向量）外心 P：外接圓的圓心，中垂線的交點(diǎn)；PAPBPC垂心 P：高的交點(diǎn)： PA PBPA PCPB PC（移項(xiàng)，積為 0，就垂直）重心 P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比） 中心：正三角形的全部心的合一；AP1 AB 3AC r（4） 模長(zhǎng)公式：如 arrrra1,a2 , a3 ， b222b1,b2, b3 ，rrr222就| a |a aa1a2；rra3， | b | rrb bb1b2b3ra ba1b1a2b2a3b3（5） 夾角公式：co

8、s a br222222| a | |b |a1a2a3b1b2b3ABC中AB . AC0 <=>A為銳角AB . AC0 <=>A為鈍角，鈍角（6） 兩點(diǎn)間的距離公式：如 Ax1, y1 , z1 ， B x2 , y2, z2 ， uuuruuur 2222就| AB |ABx2x1 y2y1 z2z1，A ,B212121或 d xx 2 yy 2 zz 27. 空間向量的數(shù)量積；uuurrrr uuurr（1）空間向量的夾角及其表示： 已知兩非零向量 a, b ，在空間任取一點(diǎn) O ，作 OAa, OBb ，rrrrr r就AOB 叫 做 向 量 a 與 b

9、的 夾 角 ， 記 作a, b； 且 規(guī) 定 0a, b， 顯 然 有rrrrrrrrrra,bb , a；如 a,buuurr，就稱 a 與b2uuur相互垂直，記作： ab ；rr（2） 向量的模：設(shè) OAa ，就有向線段 OA 的長(zhǎng)度叫做向量 a 的長(zhǎng)度或模，記作： | a |；rrrrrrrrrr（3） 向量的數(shù)量積：已知向量a,b，就 | a| | b| cosa, b叫做 a,b的數(shù)量積，記作 a b ，rrrrr r即a b|a | | b | cosa, b；rr（4） 空間向量數(shù)量積的性質(zhì)：rrrr rrrr 2rr a e| a | cosa, e； aba b0 ； |

10、a |a a ；rrr（5） 空間向量數(shù)量積運(yùn)算律：rrrrrrr a ba ba b； a bb a（交換律）；rrrrrrr a bca ba c（安排律）；不滿意乘法結(jié)合率： 二空間向量與立體幾何a bcab c1. 線線平行兩線的方向向量平行1-1 線面平行線的方向向量與面的法向量垂直1-2 面面平行兩面的法向量平行2 線線垂直（共面與異面）兩線的方向向量垂直2-1 線面垂直線與面的法向量平行2-2 面面垂直兩面的法向量垂直3 線 線 夾 角（ 共 面 與 異 面 ） 0 O ,90O 兩 線 的 方 向 向 量n1, n2的 夾 角 或 夾 角 的 補(bǔ) 角 ，coscosn1, n2

11、3-1 線面夾角0 O ,90O ：求線面夾角的步驟：先求線的方向向量AP 與面的法向量 n 的夾角，如為銳角角即可，如為鈍角，就取其補(bǔ)角；再求其余角，即是線面的夾角 .sincosAP, n3-2 面面夾角（二面角） 0O ,180O ：如兩面的法向量一進(jìn)一出，就二面角等于兩法向量n1 , n 2 的夾角；法向量同進(jìn)同出，就二面角等于法向量的夾角的補(bǔ)角.coscosn1, n2uuru4. 點(diǎn)面距離 h ：求點(diǎn)P x0, y0到平面的距離： 在平面上去一點(diǎn)Q x, y ，得向量 PQ ; ； 運(yùn)算平面 的法向量 n ;.hPQ. nn4-1 線面距離（線面平行） ：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離4-2 面面

12、距離（面面平行） ：轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離【典型例題】1. 基本運(yùn)算與基本學(xué)問（）例 1.已知平行六面體 ABCD A B C D ，化簡(jiǎn)以下向量表達(dá)式，標(biāo)出化簡(jiǎn)結(jié)果的向量；uuuruuur ABBC ；uuuruuuruuur ABADAA ； ABADuuuruuur1 uuuur2CC ； ABADAA ；1 uuuruuuruuur3MG例 2.對(duì)空間任一點(diǎn) O 和不共線的三點(diǎn)uuur OPuuur xOAA, B, C ，問滿意向量式：yOBzOC （其中 xuuuruuuryz1 ）的四點(diǎn) P, A, B,C 是否共面？；例 3 已知空間三點(diǎn) A（0，2，3）， B（ 2， 1， 6），C

13、（1， 1， 5）；求以向量 AB , AC 為一組鄰邊的平行四邊形的面積uuur uuur如向量 ra 分別與向量 AB, AC 垂直，且 | a | uuur uuurrS；3 ，求向量 a 的坐標(biāo)；r2. 基底法（如何找，轉(zhuǎn)化為基底運(yùn)算）3. 坐標(biāo)法（如何建立空間直角坐標(biāo)系，找坐標(biāo)）4. 幾何法編號(hào) 03 晚自習(xí)測(cè)試； 17， 18 題例 4.如圖，在空間四邊形 OABC中，OA求OA與 BC 的夾角的余弦值；8 ，AB6 ，AC4 ，BC5 ， OAC45o，OAB60o ，OACB說明：由圖形知向量的夾角易出錯(cuò)，如uuur uuur OA, AC135o易錯(cuò)寫成uuur uuur O

14、A, AC45o，切記！例 5.長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1 中，ABBC4 ， E 為A1C1 與 B1 D1 的交點(diǎn)， F 為 BC1 與B1C 的交點(diǎn)，又 AFBE ，求長(zhǎng)方體的高 BB1 ；【模擬試題】1. 已知空間四邊形 ABCD ，連結(jié) AC , BD ，設(shè)M ,G 分別是BC , CD 的中點(diǎn)，化簡(jiǎn)以下各表達(dá)式，并標(biāo)uuuruuuruuur出化簡(jiǎn)結(jié)果向量：（ 1） ABBCCD ；（2）uuur AB1 uuuruuurBDBC ； （3）2uuur AG1 uuuruuur ABAC ；22. 已知平行四邊形 ABCD，從平面 AC 外一點(diǎn) O引向量；uuuruuur uuuruu