地理信息系統(tǒng)課程GIS空間插值

1、空間插值空間插值Spatial Interpolation 空間插值的概念 空間插值的類型 空間插值的方法空間插值概念空間插值概念n 空間插值空間插值常用于將離散點(diǎn)的測(cè)量數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為連續(xù)的數(shù)據(jù)曲面，以便與其它空間現(xiàn)象的分布模式進(jìn)行比較，它包括了空間內(nèi)插和外推兩種算法?？臻g內(nèi)插算法：通過已知點(diǎn)的數(shù)據(jù)推求同一區(qū)域未知點(diǎn)數(shù)據(jù)。空間外推算法：通過已知區(qū)域的數(shù)據(jù)，推求其它區(qū)域數(shù)據(jù)。 例如：在一個(gè)沒有數(shù)據(jù)記錄的地點(diǎn)，其降水量可通過對(duì)附近氣象站已知降水量記錄的插值來估算出來。 進(jìn)行空間插值要有兩個(gè)基本條件：已知點(diǎn)和插值方法 控制點(diǎn)是已知數(shù)值的點(diǎn)，也稱為已知點(diǎn)、樣本點(diǎn)或觀測(cè)點(diǎn)。 控制點(diǎn)提供了為空間插值建立插值方

2、法的必要數(shù)據(jù)。 空間插值的一個(gè)基本假設(shè)是估算點(diǎn)的數(shù)值受到鄰近控制點(diǎn)的影響比較遠(yuǎn)控制點(diǎn)的影響更大?？臻g插值方法的分類空間插值方法的分類 1. 整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法；2. 確定性插值和地統(tǒng)計(jì)插值；3. 精確插值和近似插值。1、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法整體插值整體插值 整體插值：用研究區(qū)所有采樣點(diǎn)數(shù)據(jù)進(jìn)行全區(qū)特征擬合。 整個(gè)區(qū)域的數(shù)據(jù)都會(huì)影響單個(gè)插值點(diǎn)，單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)變量值的增加、減少或者刪除，都對(duì)整個(gè)區(qū)域有影響。 典型例子是：全局趨勢(shì)面分析 某些區(qū)域化地質(zhì)變量，如地層面的深度、地層厚度、地層水礦化度等，均可認(rèn)為其分布在三維空間的某個(gè)曲面G 上。若已知G，

3、則可根據(jù)它來研究這些地質(zhì)變量在區(qū)域上的分布規(guī)律和局部特征. 實(shí)際的工作中無法得到準(zhǔn)確的G ，但卻可以根據(jù)已知的觀測(cè)數(shù)據(jù)：Mi (xi , yi , zi) (i=1,2,n)，構(gòu)造(擬合)一個(gè)近似于G 的數(shù)學(xué)曲面L。一般把這個(gè)擬合的曲面L稱為趨勢(shì)面。 趨勢(shì)面分析就是在空間中已知點(diǎn)Mi (xi , yi , zi) 的控制下，擬合一個(gè)連續(xù)的數(shù)學(xué)曲面，并以此研究地質(zhì)變量在區(qū)域上和局部范圍內(nèi)變化規(guī)律的一種統(tǒng)計(jì)方法。 擬合的數(shù)學(xué)曲面叫做趨勢(shì)面。多項(xiàng)式和付立葉級(jí)數(shù)是趨勢(shì)面分析常用的數(shù)學(xué)模型。一、多項(xiàng)式曲面的一般形式一、多項(xiàng)式曲面的一般形式1、當(dāng)數(shù)據(jù)為一維時(shí)1）線性回歸: 2）非線性：二次或高次多項(xiàng)式：

4、式中 z 變量； x , y 觀測(cè)點(diǎn)的地理坐標(biāo)。 若多項(xiàng)式中自變量的最高次數(shù)為k，則稱這種多項(xiàng)式為k次多項(xiàng)式。多項(xiàng)式曲面的形態(tài)將隨著k的增大而趨向復(fù)雜。2、數(shù)據(jù)是二維的二元二次或高次多項(xiàng)式xxxyyyzzzk=1k=2k=3圖 1-3次多項(xiàng)式趨勢(shì)面示意圖最小二乘法 對(duì)于變量間的相關(guān)關(guān)系，我們可以根據(jù)大量的統(tǒng)計(jì)資料，找出它們?cè)跀?shù)量變化方面的規(guī)律，這種統(tǒng)計(jì)規(guī)律所揭示的關(guān)系就是回歸關(guān)系,所表示的數(shù)學(xué)方程就是回歸方程。 圖中的直線可表示為 y= x根據(jù)上式，在確定、的情況下，給定一個(gè)x值，我們就能夠得到一個(gè)確定的y值，然而根據(jù)上式得到的y值與實(shí)際的y值存在一個(gè)誤差 如果我們以表示誤差，則方程變?yōu)椋?y

5、= ux 、為回歸系數(shù) 為隨機(jī)誤差項(xiàng) 使直線與各散點(diǎn)的距離的平方和最小T21()tttyy RSS= T21()tttyx= 根據(jù)最小化的一階條件，將式分別對(duì)x,y求偏導(dǎo)，并令其為零，即可求得, 一階線性平面可模擬具有單一坡度的斜坡地形表面； 二次曲面方程可表達(dá)山頭、洼地區(qū)域； 三次曲面則能描述較為復(fù)雜的地形曲面。2 調(diào)和趨勢(shì)面分析調(diào)和趨勢(shì)面分析 調(diào)和趨勢(shì)面分析的數(shù)學(xué)模型是正弦和余弦函數(shù)的組合，它具有波動(dòng)的特征。HykLxtWHykLxtPHykLxtCHykLxtEyxFztktkrtsktktk2sin2sin2sin2cos2cos2sin2cos2cos),(00 地層界面的波狀起伏、

6、沉積旋回、地球磁場(chǎng)的變化等都表現(xiàn)出不嚴(yán)格的周期性重復(fù)。因此,調(diào)和趨勢(shì)面有時(shí)更有利于把具有波狀特征的地質(zhì)變量的趨勢(shì)部分和異常分開,進(jìn)而研究地質(zhì)變量的波動(dòng)特征。多項(xiàng)式與調(diào)和趨勢(shì)面的比較多項(xiàng)式與調(diào)和趨勢(shì)面的比較3 3次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式6 6次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式8 8次多項(xiàng)式次多項(xiàng)式1 1階調(diào)和階調(diào)和2 2階調(diào)和階調(diào)和3 3階調(diào)和階調(diào)和 由于以下缺點(diǎn)，在空間內(nèi)插中整體內(nèi)插并不常用： 采樣點(diǎn)的增減或移動(dòng)都需要對(duì)多項(xiàng)式的系數(shù)作全面調(diào)整，從而采樣點(diǎn)之間會(huì)出現(xiàn)難以控制的振蕩現(xiàn)象，致使函數(shù)極不穩(wěn)定； 解算速度慢且對(duì)計(jì)算機(jī)容量要求較高。 不能提供內(nèi)插區(qū)域的局部地形特征；優(yōu)點(diǎn)：整個(gè)區(qū)域上函數(shù)的唯一性、能得到全局光滑連續(xù)的

7、空間曲面、分反映宏觀地形特征等。 在空間內(nèi)插中，一般是與局部?jī)?nèi)插方法配合使用，例如在使用局部?jī)?nèi)插方法前，利用整體內(nèi)插去掉不符合總體趨勢(shì)的宏觀地物特征。整體內(nèi)插函數(shù)常常用來揭示整個(gè)區(qū)域內(nèi)的地形宏觀起伏態(tài)勢(shì)。 全局多項(xiàng)式插值法適用于在數(shù)據(jù)集中創(chuàng)建平滑表面及標(biāo)識(shí)長(zhǎng)期趨勢(shì)。然而，在地球科學(xué)中，除了長(zhǎng)期趨勢(shì)之外，感興趣的變量通常還具有短程變化。當(dāng)數(shù)據(jù)集顯示出短程變化時(shí)，局部多項(xiàng)式插值法地圖可捕獲這種變化。 將區(qū)域按一定的方法進(jìn)行分塊，對(duì)每一塊根據(jù)地形曲面特征單獨(dú)進(jìn)行曲面擬合和高程內(nèi)插，每一塊都可用不同的曲面進(jìn)行表達(dá)，稱為空間分塊內(nèi)插。1、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法局部

8、內(nèi)插法局部?jī)?nèi)插法局部?jī)?nèi)插法局部?jī)?nèi)插法 局部?jī)?nèi)插法只使用鄰近的數(shù)據(jù)點(diǎn)來估計(jì)未知點(diǎn)的值，步驟如下：定義一個(gè)鄰域或搜索范圍；搜索落在此鄰域范圍的數(shù)據(jù)點(diǎn)；選擇能表達(dá)這有限個(gè)點(diǎn)空間變化的數(shù)學(xué)函數(shù)；為未知的數(shù)據(jù)點(diǎn)賦值。 局部?jī)?nèi)插方法：線性內(nèi)插,移動(dòng)擬合法，反距離權(quán)重內(nèi)插Kriging插值單個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的改變只影響其周圍有限的數(shù)據(jù)點(diǎn)。 1、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法、整體插值、局部插值和邊界內(nèi)插法1 1、線性內(nèi)插、線性內(nèi)插將內(nèi)插點(diǎn)周圍的將內(nèi)插點(diǎn)周圍的3 3個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)值帶入多項(xiàng)式，即可的數(shù)據(jù)值帶入多項(xiàng)式，即可解算解算出出系系數(shù)數(shù)a a0 0、a a1 1、a a2 2 。2 2、雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插、

9、雙線性多項(xiàng)式內(nèi)插 將內(nèi)插點(diǎn)周圍的將內(nèi)插點(diǎn)周圍的4 4個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)的數(shù)據(jù)值帶入多項(xiàng)式，即可的數(shù)據(jù)值帶入多項(xiàng)式，即可解解算出算出系數(shù)系數(shù)a a0 0、a a1 1、a a2 2、a a3 3 。3 3、移動(dòng)擬合法、移動(dòng)擬合法 逐點(diǎn)內(nèi)插：是以內(nèi)插點(diǎn)為中心，確定一個(gè)鄰域范圍，用落在鄰域范圍內(nèi)的采樣點(diǎn)計(jì)算內(nèi)插點(diǎn)的值。 逐點(diǎn)內(nèi)插本質(zhì)上是局部?jī)?nèi)插，但與局部分塊內(nèi)插有所不同： 局部?jī)?nèi)插中的分塊范圍一經(jīng)確定，在整個(gè)內(nèi)插過程中其大小、形狀和位置是不變的，凡是落在該塊中的內(nèi)插點(diǎn)，都用該塊中的內(nèi)插函數(shù)進(jìn)行計(jì)算。 逐點(diǎn)內(nèi)插法的鄰域范圍大小、形狀、位置乃至采樣點(diǎn)個(gè)數(shù)隨內(nèi)插點(diǎn)的位置而變動(dòng)，一套數(shù)據(jù)只用來進(jìn)行一個(gè)內(nèi)插點(diǎn)的

10、計(jì)算。4 4、反距離權(quán)重插值、反距離權(quán)重插值IDWIDW 權(quán)重：距離的n次冪倒數(shù)，每個(gè)樣本點(diǎn)對(duì)預(yù)測(cè)點(diǎn)的貢獻(xiàn)不一樣，權(quán)重大小隨距離大小而變化。2020)()(yyxxdiiinikikiiddw1110.0.),(1iiiniiidzdwzyxz權(quán)重系數(shù)wj的計(jì)算是關(guān)鍵問題，不同類型距離反比法的差別就是權(quán)重系數(shù)的計(jì)算公式因而最后的插值結(jié)果也有細(xì)微的差別。 2020)()(yyxxdiiinikikiiddw1110.0.),(1iiiniiidzdwzyxz2020)()(yyxxdiiinikikiiddw111邊界內(nèi)插法邊界內(nèi)插法使用邊界內(nèi)插法時(shí)，首先要假定任何重要的變化都發(fā)生在區(qū)域的邊界上

11、，邊界內(nèi)的變化則是均勻的、同質(zhì)的。 Thiessen多邊形法 荷蘭氣候?qū)W家Thiessen提出了一種根據(jù)離散分布的氣象站的降雨量來計(jì)算平均降雨量的方法，即將所有相鄰氣象站連成三角形，作這些三角形各邊的垂直平分線，于是每個(gè)氣象站周圍的若干垂直平分線便圍成一個(gè)多邊形。用這個(gè)多邊形內(nèi)所包含的一個(gè)唯一氣象站的降雨強(qiáng)度來表示這個(gè)多邊形區(qū)域內(nèi)的降雨強(qiáng)度，并稱這個(gè)多邊形為泰森多邊形。 公式公式其數(shù)學(xué)表達(dá)式為： ievv 其中ev表示待估點(diǎn)變量值，iv表示 i點(diǎn)的變量值。 i點(diǎn)必須滿足如下條件： ),min(21eneeeidddd 其中 22jijiijyyxxd 表示點(diǎn) i(xi, yi)與點(diǎn) j(xj,

12、 yj)間的歐幾里德距離。 2、確定性方法和地統(tǒng)計(jì)方法、確定性方法和地統(tǒng)計(jì)方法確定性方法確定性方法 確定性插值法是使用數(shù)學(xué)函數(shù)進(jìn)行插值，以研究區(qū)域內(nèi)部的相似性（如反距離加權(quán)插值法），或者以平滑度為基礎(chǔ)（如徑向基函數(shù)插值法）由已知樣點(diǎn)來創(chuàng)建預(yù)測(cè)表面的插值方法。 全局多項(xiàng)式插值、反距離權(quán)插值、局部多項(xiàng)式插值 地統(tǒng)計(jì)學(xué)插值地統(tǒng)計(jì)學(xué)插值 基于自相關(guān)性 (測(cè)量點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)關(guān)系)，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)特征產(chǎn)生曲面； 克里格方法克里格方法依賴于數(shù)學(xué)模型和統(tǒng)計(jì)模型，正是由于引入了包括概率模型在內(nèi)的統(tǒng)計(jì)模型，使克里格方法與確定性插值方法區(qū)分開與確定性插值方法區(qū)分開來。在克里格方法中預(yù)測(cè)的結(jié)果將與概率聯(lián)系在一起。 由于

13、建立在統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)上，因此不僅可以產(chǎn)生預(yù)測(cè)曲面，而且可以產(chǎn)生誤差和不確定性曲面，用來評(píng)估預(yù)測(cè)結(jié)果的好壞 多種 kriging 方法克里金插值由南非采礦工程師D.G.克里格（D. G. Krige）于1951年首次提出，故命名為“克里金”法，后經(jīng)法國(guó)著名地理數(shù)學(xué)學(xué)家G. Matheron發(fā)展深化。 空間自相關(guān)(spatial autocorrelation)是指一些變量在同一個(gè)分布區(qū)內(nèi)的觀測(cè)數(shù)據(jù)之間潛在的相互依賴性 。 地理數(shù)據(jù)由于受空間相互作用和空間擴(kuò)散的影響，彼此之間可能不再相互獨(dú)立，而是相關(guān)的。例如，視空間上互相分離的許多市場(chǎng)為一個(gè)集合，如市場(chǎng)間的距離近到可以進(jìn)行商品交換與流動(dòng)，則商品的價(jià)

14、格與供應(yīng)在空間上可能是相關(guān)的，而不再相互獨(dú)立。實(shí)際上，市場(chǎng)間距離越近，商品價(jià)格就越接近、越相關(guān)。 首先考慮的是空間屬性在空間位置上的變異分布確定對(duì)一個(gè)待插點(diǎn)值有影響的距離范圍，然后用此范圍內(nèi)的采樣點(diǎn)來估計(jì)待插點(diǎn)的屬性值。該方法在數(shù)學(xué)上可對(duì)所研究的對(duì)象提供一種最佳線性無偏估計(jì)。它是考慮了信息樣品的形狀、大小及與待估計(jì)塊段相互間的空間位置等幾何特征以及品位的空間結(jié)構(gòu)之后，為達(dá)到線性、無偏和最小估計(jì)方差的估計(jì)，而對(duì)每一個(gè)樣品賦與一定的系數(shù)，最后進(jìn)行加權(quán)平均來估計(jì)塊段品位的方法。Kriging插值的方法 式中：z0為待插入點(diǎn)的值； Zx為已知點(diǎn)的值 Wx為每個(gè)點(diǎn)的權(quán)重值 計(jì)算Wi，通過變異函數(shù)來確定上

15、式中的加權(quán)系數(shù)來計(jì)算。01xxszz Wi3、精確插值和近似插值、精確插值和近似插值 精確插值：產(chǎn)生通過所有觀測(cè)點(diǎn)的曲面。精確插值：產(chǎn)生通過所有觀測(cè)點(diǎn)的曲面。在精確插值中，插值點(diǎn)落在觀測(cè)點(diǎn)上，內(nèi)插值等于估計(jì)值。 近似插值：插值產(chǎn)生的曲面不通過所有觀測(cè)近似插值：插值產(chǎn)生的曲面不通過所有觀測(cè)點(diǎn)。點(diǎn)。當(dāng)數(shù)據(jù)存在不確定性時(shí)，應(yīng)該使用近似插值，由于估計(jì)值替代了已知變量值，近似插值可以平滑采樣誤差。插值驗(yàn)證插值驗(yàn)證（1） 交叉驗(yàn)證交叉驗(yàn)證 交叉驗(yàn)證法（crossvalidation），首先假定每一測(cè)點(diǎn)的要素值未知，而采用周圍樣點(diǎn)的值來估算，然后計(jì)算所有樣點(diǎn)實(shí)際觀測(cè)值與內(nèi)插值的誤差，以此來評(píng)判估值方法的優(yōu)劣。 各種插值方法得到的插值結(jié)果與樣本點(diǎn)數(shù)據(jù)比較。對(duì)每種插值方法重復(fù)下面的步驟，實(shí)現(xiàn)對(duì)不同插值方法的比較：從數(shù)據(jù)集中除去一個(gè)已知點(diǎn)的測(cè)量值；用剩余的點(diǎn)估計(jì)除去點(diǎn)的值；比較原始值和估計(jì)值，計(jì)算出估計(jì)值的預(yù)測(cè)誤差。針對(duì)每個(gè)已知點(diǎn)，進(jìn)行上述步驟，然后評(píng)價(jià)不同插值方法的精確度。常用的評(píng)價(jià)指標(biāo)是均方根（RMS）：2,