初三（數(shù)學(xué)）專題09特殊與一般專項講練-附歷年中考真題訓(xùn)練解析

1、數(shù)學(xué)專題 精心整理專題09 特殊與一般 二次函數(shù)與二次方程閱讀與思考二次函數(shù)的一般形式是，從這個式子中可以看出，二次函數(shù)的解析式實際上是關(guān)于的二次三項式，若令y=0，則得這是一個關(guān)于的一元二次方程，因此，二次函數(shù)與一元二次方程有著密切的聯(lián)系，表現(xiàn)為：1. 當(dāng)時，方程有兩個不相等實數(shù)根，拋物線與軸有兩個不同的交點，設(shè)為A(，0)，B(，0)，其中，是方程兩相異實根，; 2.當(dāng)時，方程有兩個相等實數(shù)根，拋物線與軸只有一個交點；3.當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根，拋物線與軸沒有交點由于二次函數(shù)與二次方程有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系，所以，善于促成二次函數(shù)問題與二次方程問題相互轉(zhuǎn)化，是解相關(guān)問題的常用技巧例題與求解【例1

2、】（1）拋物線與軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，若是直角三角形，則= .（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）（2）為使方程 有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為 .解題思路：對于（1），為直角三角形，則A，B兩點在原點的兩旁，運用根與系數(shù)關(guān)系及射影定理解題，對于（2），作出函數(shù)圖象，借助圖象解題【例2】設(shè)一元二次方程的根分別滿足下列條件：兩根均大于1；一根大于1，另一根小于1；兩根均大于1且小于4試求實數(shù)k的取值范圍解題思路：因為根的表達(dá)式復(fù)雜，故應(yīng)把原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來解決，作出函數(shù)圖象，借助圖象找制約條件【例3】如果拋物線與軸交于A，B兩點，且A點在x軸的正半軸上，B點在x軸的負(fù)半軸上，OA

3、的長是a，OB的長是b，（1）求的取值范圍；（2）若，求的值，并寫出此時拋物線的解析式；（3）設(shè)（2）的拋物線與y軸交于點C，拋物線的頂點是M，問：拋物線是否存在一點P，使得面積等于的面積的8倍？若存在，求出P點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由（南京市中考試題）解題思路：由題設(shè)條件得相應(yīng)二次方程兩實根的符號特征，兩實根的關(guān)系，這是解本例的突破口 【例4】 設(shè)p是實數(shù)，二次函數(shù)的圖像與軸有2個不同的交點A，B（1）求證：；（2）若A，B兩點之間距離不超過，求p的最大值（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：根據(jù)題意，方程有兩個不同的實數(shù)根，于是，綜合運用判別式、根與系數(shù)關(guān)系、根的方程、不等式來解【例5】是否

4、存在這樣的實數(shù)，使得二次方程有兩個實數(shù)根，且兩根都在2與4之間？如果有，試確定的取值范圍；如果沒有，試述理由（“祖沖之杯”邀請賽試題）解題思路：由于根的表示形式復(fù)雜，因此，應(yīng)把原問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題來討論，即討論相應(yīng)二次函數(shù)交點在2與4之間，應(yīng)滿足的條件，借助函數(shù)圖象解題【例6】設(shè)，為正整數(shù)，且.如果對一切實數(shù)，二次函數(shù)的圖象與軸的兩個交點間的距離不小于，求，的值（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）解題思路：由，得，由條件得，因此不等式對任意實數(shù)都成立，故將問題轉(zhuǎn)化為判別式結(jié)合正整數(shù)求解能力訓(xùn)練 A級1已知二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點A，B，頂點為C，若ABC的面積為，則= .2把拋物線向上平移個單位，

5、所得拋物線與軸相交于點A(，0)和B(，0)，已知，那么平移后的拋物線的解析式為 . （杭州市中考試題）3拋物線的圖象如圖所示（1）判斷及的符號： 0 ， 0； .（2） 當(dāng)時，滿足的關(guān)系式為_ . 4已知二次函數(shù)的圖象過（-1，0）和（0，-1）兩點，則的取值范圍為 . （黑龍江省中考試題）5若關(guān)于的方程的一個根大于-2，且小于-1，另一個根大于2且小于3，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. （天津市競賽試題）6設(shè)函數(shù)的圖象如圖所示，它與軸交于A，B兩點，且線段OA與OB的長的比為1:4，則的值為（ ）A. 8 B.-4 C. 11 D. -4 或117已知二次函數(shù)與軸相交于兩點A

6、(，0)，B(，0)，其頂點坐標(biāo)為P，AB=，若，則與的關(guān)系是（ ） A. B. C. D. （福州市中考試題）8設(shè)關(guān)于x的方程有兩個不等的實數(shù)根，且1，那么a的取值范圍是（ ）A. B. C. D. （全國初中數(shù)學(xué)競賽試題）9已知二次函數(shù)（1）求證：不論取任何實數(shù)，此函數(shù)的圖象都與x軸有兩個交點，且兩個交點都在x軸的正半軸上；（2）設(shè)這個函數(shù)的圖象與x軸交于B，C兩點，與y軸交于A點，若ABC的面積為48，求的值 （徐州市中考試題）10已知拋物線交軸于A(，0)，B(，0)，交軸于C點，且0，（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P，使APB為銳角？若存在，求出P點

7、的橫坐標(biāo)的范圍；若不存在，請說明理由（武漢市中考試題）11已知拋物線與x軸交于A(，0)，B(，0) ()兩點，與y軸交于點C(0，b)，O為原點（1）求的取值范圍（2）若，且，求拋物線的解析式及A，B，C的坐標(biāo)；（3）在（2）情形下，點P，Q分別從A，O兩點同時出發(fā)（如圖）以相同的速度沿AB，OC向B，C運動，連接PQ與BC交于M，設(shè)AP=，問：是否存在值，使以P，B，M為頂點的三角形與ABC相似？若存在，求所有值；若不存在，請說明理由（黃岡市中考試題）12某商品的進(jìn)價為每件40元，售價為每件50元，每個月可賣出210件；如果每件商品的售價每上漲1元，則每個月少賣10件（每件售價不能高于65

8、元），設(shè)每件商品的售價上漲x元（x為正整數(shù)），每個月的銷售利潤為y元（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式并直接寫出自變量x的取值范圍；（2）每件商品的售價定為多少元時，每個月可獲得最大利潤？最大的月利潤是多少元？（3）每件商品的售價定為多少元時，每個月的利潤恰為2200元？根據(jù)以上的結(jié)論，請你直接寫出售價在什么范圍時，每個月的利潤不低于2200元？（武漢市中考試題）B級1已知拋物線與x軸的兩個交點在（1，0）兩旁，則的取值范圍為 _.2設(shè)拋物線的圖象與x軸只有一個交點，則的值為 _.（全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）3 設(shè)是整數(shù)，且方程的兩根都大于而小于，則= . （全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）4已知拋物線與x軸的正方

9、向相交于A，B兩點，頂點為C，ABC為等腰直角三角形，則= .5如圖，已知拋物線與x軸交于A，B兩點，交y軸負(fù)半軸于C點，ACB=90°，且，則ABC的外接圓的面積為 . 6已知拋物線，（1）求證：無論k為何實數(shù)，拋物線經(jīng)過x軸上的一定點；（2）設(shè)拋物線與y軸交于C點，與x軸交于A(，0)，B(，0)，兩點，且滿足：，.問：過A，B，C三點的圓與該拋物線是否有第四個交點？試說明理由，如果有，求出其坐標(biāo) （武漢市中考試題）7已知拋物線上有一點位于x軸下方.（1）求證：已知拋物線必與x軸有兩個交點A(，0)，B(，0)，其中；（2）求證：;（3）當(dāng)點M為（1，-2）時，求整數(shù)，. （學(xué)習(xí)

10、報公開賽試題）8隨著綠城南寧近幾年城市建設(shè)的快速發(fā)展，對花木的需求量逐年提高，某園林專業(yè)戶計劃投資種植花卉及樹木，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，種植樹木的利潤y1與投資量x成正比例的關(guān)系，如圖1所示；種植花卉的利潤y2與投資量x成二次函數(shù)關(guān)系，如圖2所示（注：利潤與投資量的單位：萬元）（1）分別求出利潤y1與y2關(guān)于投資量x的函數(shù)關(guān)系式；（2）如果這位專業(yè)戶以8萬元資金投入種植花卉和樹木，他至少獲得多少利潤？他能獲得的最大利潤是多少？ （南寧市中考試題）9已知以x為自變量的二次函數(shù)，該二次函數(shù)圖象與x軸兩個交點的橫坐標(biāo)的差的平方等于關(guān)于x的方程的一整數(shù)根，求的值（紹興市競賽試題）10如圖，在直角坐標(biāo)系中

11、，點A的坐標(biāo)為（-2，0），連結(jié)OA，將線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°，得到線段OB（1）求點B的坐標(biāo)；（2）求經(jīng)過A，O，B三點的拋物線的解析式；（3）在（2）中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使BOC周長最??？若存在，求點出C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（4）如果點P是（2）中的拋物線上的動點，且在軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由（深圳市中考試題）11如圖1，拋物線經(jīng)過兩點A（-3，0），B（-1，0）兩點.（1）求拋物線的解析式；（2）設(shè)拋物線的頂點為M，直線與軸交于點C，與直線OM交于點D，現(xiàn)將拋物線平移，保持頂點在直線OD上，若平移的拋物線與射線CD（含端點C）只有一個公共點，求它的頂點橫坐標(biāo)的值或取值范圍；（3）如圖2，將拋物線平移，當(dāng)頂點至原點時，過Q(0，3)作不平行于x軸的直線交拋物線于E，F(xiàn)兩點，問在y軸的負(fù)半軸上是否存在點