高中數(shù)學(xué)總結(jié)：基本初等函數(shù)

1、精品資料歡迎下載高中數(shù)學(xué)知識點(diǎn)總結(jié)第二章基本初等函數(shù) ( ) 2.1 指數(shù)函數(shù)【 】指數(shù)與指數(shù)冪的運(yùn)算（ 1）根式的概念如果 xna, aR, xR, n1，且 nN ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根當(dāng) n 是奇數(shù)時(shí)， a 的 n次方根用符號 n a 表示；當(dāng) n 是偶數(shù)時(shí)，正數(shù) a 的正的 n 次方根用符號n a 表示，負(fù)的 n 次方根用符號na 表示； 0的 n 次方根是 0；負(fù)數(shù) a 沒有 n 次方根式子 n a 叫做根式，這里 n 叫做根指數(shù)， a 叫做被開方數(shù) 當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)， a 為任意實(shí)數(shù)； 當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)， a0 根式的性質(zhì)： ( n a )na ；當(dāng) n 為奇數(shù)時(shí)，

2、nana ；當(dāng) n 為偶數(shù)時(shí)，n an | a |a(a0)a(a0)（ 2）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念mn am (a正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a n0, m, nN , 且 n 1) 0 的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0mmn ( 1 ) m (a正數(shù)的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義是：a n(1) n0, m, nN , 且 n1) 0 的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒aa有意義注意口訣： 底數(shù)取倒數(shù)，指數(shù)取相反數(shù)（ 3）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì) ar a sar s (a0, r , s R) (ar ) sars ( a 0, r , s R) (ab)rar br (a0, b0, r R)【】指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（ 4）指數(shù)函數(shù)函數(shù)名

3、稱指數(shù)函數(shù)定義函數(shù) ya x (a0 且 a1) 叫做指數(shù)函數(shù)a10 a1yya xy a xy圖象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定義域R精品資料歡迎下載值域(0, )過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(0,1) ，即當(dāng) x0 時(shí)， y1 奇偶性非奇非偶單調(diào)性在 R 上是增函數(shù)在 R 上是減函數(shù)ax1( x 0)a x1(x 0)函數(shù)值的ax1( x 0)a x1(x 0)變化情況ax1( x 0)a x1(x 0)a 變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a 越大圖象越高；在第二象限內(nèi)，a 越大圖象越低 2.2 對數(shù)函數(shù)【 】對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算（ 1）對數(shù)的定義若 axN ( a0, 且a1) ，則 x 叫做以

4、 a 為底 N 的對數(shù)，記作 xlog a N ，其中 a 叫做底數(shù)，N 叫做真數(shù)負(fù)數(shù)和零沒有對數(shù)對數(shù)式與指數(shù)式的互化：x log a Na xN ( a 0, a1, N0) （ 2）幾個(gè)重要的對數(shù)恒等式log a 10 ， log a a 1 ， loga abb （ 3）常用對數(shù)與自然對數(shù)常用對數(shù)： lg N ，即 log10N ；自然對數(shù)： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828）（ 4）對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)如果 a0, a1, M0, N0 ，那么加法： log a Mlog a Nlog a (MN )減法： log a Mloga N log a MN數(shù)乘： n l

5、og a Mlog a M n (nR) alog a NN log b M nn log a M (b0, nR) 換底公式： log a Nlog b N (b 0,且 b 1)ablog b a【】對數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)（ 5）對數(shù)函數(shù)函數(shù)名稱對數(shù)函數(shù)定義函數(shù) ylog a x( a 0 且 a1) 叫做對數(shù)函數(shù)精品資料歡迎下載a10a 1x1y loga xx1yyy loga x圖象(1,0)O(1,0)xO定義域(0, )值域R過定點(diǎn)圖象過定點(diǎn)(1,0) ，即當(dāng) x1 時(shí)， y 0x奇偶性非奇非偶單調(diào)性在 (0,) 上是增函數(shù)在 (0,) 上是減函數(shù)log a x0(x1)log ax0

6、(x1)函數(shù)值的log a x0(x1)log ax0( x1)變化情況log a x0(0x 1)log ax0(0x 1)a 變化對圖象的影響在第一象限內(nèi)，a 越大圖象越靠低；在第四象限內(nèi)，a 越大圖象越靠高(6) 反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù) yf ( x) 的定義域?yàn)?A ，值域?yàn)?C ，從式子 yf (x) 中解出 x ，得式子 x( y) 如果對于 y 在 C 中的任何一個(gè)值，通過式子x( y) ， x 在 A 中都有唯一確定的值和它對應(yīng)，那么式子x( y) 表示 x 是 y 的函數(shù)，函數(shù) x( y) 叫做函數(shù) yf ( x) 的反函數(shù)，記作xf 1 ( y) ，習(xí)慣上改寫成yf 1 ( x

7、) （7）反函數(shù)的求法確定反函數(shù)的定義域，即原函數(shù)的值域；從原函數(shù)式y(tǒng)f (x) 中反解出 xf 1 ( y) ；將 xf 1( y) 改寫成 yf 1( x) ，并注明反函數(shù)的定義域（8）反函數(shù)的性質(zhì)原函數(shù) yf (x) 與反函數(shù) yf 1 ( x) 的圖象關(guān)于直線yx 對稱函數(shù) yf ( x) 的定義域、值域分別是其反函數(shù)yf 1( x) 的值域、定義域若 P(a,b) 在原函數(shù) yf (x) 的圖象上，則 P' (b,a) 在反函數(shù) yf 1 (x) 的圖象上精品資料歡迎下載一般地，函數(shù)yf ( x) 要有反函數(shù)則它必須為單調(diào)函數(shù) 2.3 冪函數(shù)（ 1）冪函數(shù)的定義一般地，函數(shù)y

8、x 叫做冪函數(shù)，其中x 為自變量，是常數(shù)（ 2）冪函數(shù)的圖象（ 3）冪函數(shù)的性質(zhì)圖象分布：冪函數(shù)圖象分布在第一、二、三象限，第四象限無圖象冪函數(shù)是偶函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、二象限(圖象關(guān)于 y 軸對稱 ) ；是奇函數(shù)時(shí)，圖象分布在第一、三象限(圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱 )；是非奇非偶函數(shù)時(shí)，圖象只分布在第一象限過定點(diǎn)：所有的冪函數(shù)在(0,) 都有定義，并且圖象都通過點(diǎn)(1,1)單調(diào)性： 如果0 ，則冪函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，并且在 0,) 上為增函數(shù) 如果0，則冪函數(shù)的圖象在 (0,) 上為減函數(shù)，在第一象限內(nèi)，圖象無限接近x 軸與 y 軸qZ ），奇偶性： 當(dāng)為奇數(shù)時(shí)， 冪函數(shù)為奇函數(shù)， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)， 冪

9、函數(shù)為偶函數(shù) 當(dāng)（其中 p, q 互質(zhì)， p 和 qpqq若 p 為奇數(shù) q 為奇數(shù)時(shí)，則 yx p 是奇函數(shù)，若p 為奇數(shù) q 為偶數(shù)時(shí)，則y x p 是偶函數(shù)，若p 為偶數(shù) q 為奇數(shù)時(shí)，q則 yx p 是非奇非偶函數(shù)圖象特征：冪函數(shù)yx , x(0,) ，當(dāng)1時(shí)，若 0x 1，其圖象在直線yx 下方，若 x1 ，其圖象在直線y x上方，當(dāng)10 x 1，其圖象在直線y x上方，若x 1，其圖象在直線y x下方時(shí)，若補(bǔ)充知識二次函數(shù)精品資料歡迎下載（ 1）二次函數(shù)解析式的三種形式一般式：f ( x)ax 2bxc( a0) 頂點(diǎn)式：f ( x)a(xh)2k (a0) 兩根式：f ( x)a

10、( xx1 )( xx2 )(a0)（ 2）求二次函數(shù)解析式的方法已知三個(gè)點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，宜用一般式已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)或與對稱軸有關(guān)或與最大（?。┲涤嘘P(guān)時(shí)，常使用頂點(diǎn)式若已知拋物線與x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)，且橫線坐標(biāo)已知時(shí)，選用兩根式求f ( x) 更方便（ 3）二次函數(shù)圖象的性質(zhì)二次函數(shù) f ( x)ax 2bxc( a0)的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為xb, 頂點(diǎn)坐標(biāo)是2ab4ac b2) (,2a4a當(dāng) a0時(shí)，拋物線開口向上，函數(shù)在(,b 上遞減，在 b ,) 上遞增，當(dāng) xb時(shí)，2a2a2a4acb20 時(shí)，拋物線開口向下， 函數(shù)在 (,b 上遞增， 在 b ,) 上遞減， 當(dāng) xbfmin

11、 ( x)；當(dāng) a4a2a2a2a4ac b2時(shí)， fmax (x)4a二次函數(shù) f ( x)ax 2bxc( a0)當(dāng)b24ac 0 時(shí)，圖象與 x 軸有兩個(gè)交點(diǎn)M1(x1,0),M2(x2,0),|M1M2 | |x1x2 | a|（ 4）一元二次方程ax2bxc0( a0) 根的分布一元二次方程根的分布是二次函數(shù)中的重要內(nèi)容，這部分知識在初中代數(shù)中雖有所涉及，但尚不夠系統(tǒng)和完整，且解決的方法偏重于二次方程根的判別式和根與系數(shù)關(guān)系定理（韋達(dá)定理）的運(yùn)用，下面結(jié)合二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，系統(tǒng)地來分析一元二次方程實(shí)根的分布20(a0) 的兩實(shí)根為 x1 , x2 ，且 x1 x2 令 f ( x)

12、 ax2bxc ，從以下四個(gè)方設(shè)一元二次方程 ax bx c面來分析此類問題：開口方向：a對稱軸位置： xb判別式：端點(diǎn)函數(shù)值符號2ak x1 x2精品資料歡迎下載yf (k ) 0a0k x1Ox2xbx2a x1 x2kya 0f ( k)0Ox2x1kxbx2ax1 kx2af( k) 0ya0O kx1x2xf (k )0 k1 x1 x2k2yxb2ak x1Ox2xf (k)0a 0ybx2aOkxx1x 2a 0f ( k)0yf ( k)0x1 Okx2xa0yf (k1 )x1Ok1a00 f (k2 ) 0x 2k 2xbx2aybx2ak1k2Ox1x2xf (k1 )0

13、0f (k 2 )a 0有且僅有一個(gè)根x1 （或 x2）滿足k1 x1（或 x2 ） k2f( k1) f( k2 )0，并同時(shí)考慮f( k1)=0 或 f( k2)=0 這兩種情況是否也符合精品資料歡迎下載ya0f (k1 )0x1k 2O k1x2xf (k 2 )0 k1 x1 k2 p1 x2p2此結(jié)論可直接由推出yf (k1 )0x1k2Ok1x2xa0f (k2 )0（ 5）二次函數(shù)f ( x)ax2bxc(a0) 在閉區(qū)間 p, q 上的最值1設(shè) f (x) 在區(qū)間 p, q 上的最大值為 M ，最小值為 m ，令 x0( pq) 2（）當(dāng) a0 時(shí)（開口向上）若bp ，則 m f ( p) 若 pbq ，則 m f (b ) 若2a2a2afff(q)(p)(q)OxOxf(p)bb )f (若bf (2a)b2a2ax0 ，則 M f (q)x0 ，則 M f ( p)2a( ) 當(dāng) a0 時(shí)( 開口向下 )f(p)f若b，則x(q)0若pbx0，則Mb)若pMf